1、题型六 新定义与阅读理解针对演练1. （2015 南宁）对于两个不相等的实数 a,b，我们规定符号 maxa,b表示 a,b 中较大的数，如：max2,4=4.按照这个规定，方程 maxx,-x 的解为 （ ）21A. 1- B. 2- C. 1- 或 1+ D. 1+ 或-12222. （2015 杭州拱墅区模拟）阅读理解：我们把对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为x ，即当 n 为非负整数时，若 n- xn+ ,则xn,例如：0.671， 2.4912，.给出下列关于x的问题： 2；2x=2x;当 m 为非负整数时， m+2xm+2x; 若2x-1 =5,则实数 x 的取值范围是 x
2、；满足413x x 的非负实数 x 有三个 ,其中正确结论的个数是 3（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 来源:学优高考网3. （ 2015 达州）对于任 意实数 m、n，定义一种运算 m n=mn-m-n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算.例如：35=35-3-5+310.请根据上述定义解决问题：若 a2x7,且解集中有两个整数解，则 a 的取值范围是_.4. 用“”定义一种新运算：对于任意实数m、n 及抛物线 y=a ,当 y=a （m,n）后都可以得到 y=a +n,2x2 2()xm例如：当 y=2 （3,4）后都可以得到 y=2 +4.若函数 y= 2(3)x（1，n）
3、得到的函数如图所示，则 n_. 第 4 题图 5. 在一列数 ， , ,， 中，已知 =1,且当 k2 时， = +1-4（1x23kx1kx1）,（取整数符号a表示不超过实数 a 的最大整数，如2.614k2， 0.20） ，则 等于_.2015x6. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“”为：来源:gkstk.Comab= (0) 求 1（-2）的值.小明是这样解决问题的：由新定义可知 a=1,b=-2,因为 b0，所以 1（-2） .2请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：23_；（2）若 5m= ，则 m=_；6（3）函数 y=2x
4、 （x 0）的图象大致是 _.7.对 x,y 定义一种新运算 T，规定：T（x,y） （其中 a、b 均为非零常数） ，这里2axy等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1） =b.已知 T（1，-1）-02，T（4，2）1.（1）求 a、b 的值；（2）若 T（m, m+3）-1，求 m 的值.8. 定义一种对正整数 n 的运算“F”：（1）当 n 为奇数时，结果为 3n+5;（2）当 n 为偶数时，结果为 （其中 k 是使 为奇数的正整数） ，并且运算可以重复2k2kn进行.例如 n=26 时，则 那么，()(1)(2)641FFF 第 一 次 第 二 次 第 三 次当 n=1796 时
5、，第 2010 次“F”运算的结果是多少？9. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点都是格点，则称为格点多边形.记格点多边形的面积为 S，其内部的格点数记为 n,边界上的格点数记为 l，例如图中ABC 是格点三角形，对应的 S=1,n=0,l=4. （1）写出图中格点四边形 DEFG 对应的 S、n、l.（2）奥地利数学家皮克发现格点多边形的面积可表示为 S=n+al+b，其中 a、b 为常数.利用图中条件求 a、b 的值；来源:gkstk.Com若某格点多边形对应的 n=20,l=15,求 S 的值；在图中画出面积等于 5 的格点正方形 PQRS.11.
6、 定义：如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形” ，这条中线为“匀称中线” （1）请根据定义判断下列命题的真假；（请在真命题后的括号内打“” ，假命题后的括号内打“ ”）等腰直角三角形一定不存在匀称中线.（ ）如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线.（ ）（2）已知：如图，在 Rt ABC 中，C=90，ACBC,若ABC 是“匀称三角形” ，求BCACAB 的值； （3）拓展应用:如图，ABC 是O 的内接三角形，ABAC，BAC45,将ABC 绕点 A 逆时针旋转 45得到ADE，点 B 的对应点为 D，连接 CD 交O 于 M,
7、连接 AM.请根据题意用实线在图中补全图形；若ADC 是“匀称三角形”,求 tanAMC 的值.12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 内，已知点 A（-1 ，0） ，B（-1，1） ，C（1，0） ，D（1，1） ，记线段 AB 为 T1，线段 CD 为 T2，点 P 是坐标系内一点给出如下定义：若存在过点 P 的直线 l 与 T1，T 2 都有公共点，则称点 P 是 T1-T2 联络点例如，点 P（0， ）12是 T1-T2 联络点 （1）以下各点中，_是 T1-T2 联络点（填出所有正确的序号） ；（0，2） ；（-4，2） ； （3，2） （2）直接在图中画出所有 T1-T2 联络点所
8、组成的区域，用阴影部分表示；（3）已知点 M 在 y 轴上，以 M 为圆心，r 为半径画圆，M 上只有一个点为 T1-T2 联络点：若 r=1，求点 M 的纵坐标；求 r 的取值范围13. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” ，例如图，图，图中，AF,BE 是ABC 的中线，AFBE,垂足为 P，像ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”.设 BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索（1）如图，当ABE=45 ，c= 时，a=_,b=_;2如图，当ABE30，c=4 时，a=_,b=_;归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2,b2,c2 三者之间的关系，用等式表示出来
9、，并利用图证明你发现的关系式；拓展应用（3）如图，在ABCD 中，点 E,F，G 分别是 AD,BC,CD 的中点，BEEG ,AD= ,AB=3.求 AF 的长.25【答案】针对演练1. D【解析】分类讨论：（1）当 x-x，即 x0 时，max x，-x=x，即 x= ， -212x2x-1=0，解得 =1- 0（舍去） ， =1+ ；（2）当 x-x，即 x0 时，max x，-1x22x=-x ，即-x= ， +2x+1=0，解得 = =-10，符合题意，综上所述，符合题1x意的方程的解是 1+ 或-1.2. B【解析】 1，故错误；2x =2x,例如当 x=0.3 时， 2x =1,
10、2x=0，故错误；当 m 为非负整数时，不影响“四舍五入” ，故m+2xm+ 2x是正确的；若 2x-1 =5，则 5- 2x-15+ ，解得 x ，故1143正确；x x，则 x- x x+ ,解得-1 x1，故错误;综上可得正确.313故选 B.3. 4a5【解析】由 新定义，得 2x=2x-2-x+3=x +1，a2x7，ax+17，解得a-1x 6，a2x7 的解集中有两个整数解，3 a-14，4a5.4. 2【解析】根据题意得 y= （1,n）是函数 y= +n，由图象得此函数的顶点坐标2 2(1)为（1，2） ，所以此函数的解析式为 y= +2，n=2. 2()x5. 3【解析】
11、121,4)1402,4x23234455632,()3,41, 140,52,(),611,41402,4xxxx，在 , 中，按照 1，2，3，4，1，2，3，4，每 4 个数一个循环，23k20154=5033, 是第 504 个循环的第 3 个数， =3. 205x 2015x6. ;6;D【解析】 （1）2 3= ;（2）当 m0 时，5m= ,解得 m=6,当 m0 时，233565m=- ,解得 m=-6,6m= 6;（3）当 x0 时，y=2x= ,此时是双曲线的第一象限部分；当 x0 时，y=2x=- ,此时是双曲线的第二象限部分；故函数 y=2x（x0）的图象大致是 D.2
12、7. 解：（1）T（1，-1） =-2,即 a-b=-2,21T（4,2）= =1,即 2a+b=5,来源:gkstk.Com48a解得 a=1,b=3;（2）根据题意得 =-1，3()2m解得 m=- ，17经检验，m=- 是方程的解.8. 解：根据题意，得当 n=1796 时，第一次运算， 449；来源:学优高考网 gkstk21796第二次运算，3n+5=3449+51352；第三次运算， 169；35第四次运算，3169+5512；第五次运算， 1；92第六次运算，31+58；第七次运算， 1，32可以看出，从第五次开始，结果就只是 1，8 两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是8，
13、次数是奇数时，结果是 1，而 2010 次是偶数，因此最后结果是 8.9. 解：（1）观察图形，可得 S=3,n=1,l=6;（2）根据格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 中的 S、n、l 的值得 ，解4163ab得 ，12abS=n+ l-1;将 n20，l15 代入可得 S20+ 15-126.5；12如解图：第 9 题解图11. 解：（1）；.（2）C=90，ACBC，如解图，由（1）可知ABC 的匀称中线是 AC 边上的中线，设 D 为 AC 的中点，则 BD 为匀称中线.设 AC=2a，则 CD=a，BD=2a，C=90 ，BC=3a，AB= a，来源:学优高考网 gkstk
14、22()3)7BCACAB= 2 ；（3）如解图；ABC 绕点 A 逆时针旋转 45得ADE，DAE=BAC=45 ，AD=AB，DAC=90，ADAC，ADC 是匀称三角形，ADAC=2 ，即 ABAC=2 .33如解图，过点 C 作 CHAB 于点 H，则AHC=BHC=90 ，设 AC= k，则 AH=CH= k = k，3326BH=2k- k= k，624tanB= = ，CH632542k在O 中，由AMC=B 得 tanAMC= .326512. 解：（1）；（2）所有 T1-T2 的联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界） ，如解图所示，第 12 题解图（3）点 M 在 y
15、轴上，M 上只有一个点为 T1-T2 的联络点，阴影部分关于 y 轴对称，第 12 题解图 第 12 题解图M 和直线 AC 相切于（0，0） ，或与直线 BD 相切于（0，1） ，如解图所示，又M 的半径 r=1，点 M 的坐标为（0，-1）或（0，2） ，检验：此时M 与直线 AD，BC 无交点，M 上只有一个点为T1-T2 联络点，符合题意点 M 的坐标为（0，-1）或（0，2） ，点 M 的纵坐标为-1 或 2；阴影部分关于直线 y 对称，故不妨设点 M 位于阴影部分下方1点 M 在 y 轴上，M 上只有一个点为 T1-T2 联络点，阴影部分关于 y 轴对称，M 与直线 AC 相切于
16、O（ 0，0） ，且M 与直线 AD 相离作 MEAD 于点 E，设 AD 与 BC 的交点为 F，如解图，MO=r ，MEr，F（0， ） 12在 Rt AOF 中，AOF=90 ，AO =1，OF ，12AF ，sinAFO ，2AO5AOF5在 Rt FEM 中， FEM=90，FM=FO +OM=r+ ，12sinEFMsinAFO ，25MEFMsinEFM （2r+1） （2r+1） r，5又r0，0r +2.513. 解：（1 ）2 ，2 ；2 ，2 ;（45137分）解法提示：由题可得 EF 即为ABC 的中位线,EFAB，且 EF= AB，12EPF BPA， = ，PEFB
17、A当ABE =45，c=2 时，来源:学优高考网 gkstk2PA=PB=2，PF=PE=1，则在 RtPFB 中，FB = ，215APE =BPF，APE BPF，即 AEBF ，a=b=2FB=2 ；来源:学优高考网 gkstk5当ABE =30，c=4 时，PA=2，PB=2 ，3PF=1，PE= ，则在 RtPFB 和 RtPEA 中，FB= ，EA= ，21(3)12(3)7a=2FB=2 ，b=2 EA=2 .7（2）猜想 , , 三者之间的关系是 + =5 .（5 分）2c2ab2c证明如下：如解图，连接 EF，设 AF 与 BE 交于点 P.AF，BE 是ABC 的中线，EF
18、 是ABC 的中位线. EFAB，且 EF AB c.（6 分）12 = .PEFBA解法 1：设 PF=m,PE=n，则 AP2m ，PB2n,在 Rt APB 中， + = ；2()c在 Rt APE 中， + = ；21()b在 Rt BPF 中， + = ；2na由，得 + = .（7 分）m4c 第 13 题解图由+，得 5（ + ）= .来源:学优高考网2mn2()4ab . （8 分）22abc解法 2：在 Rt APE 和 Rt BPF 中， 222,AEPBFP = ，E222()()ABPEF ，22 + = + ，即 .（8 分）1()bac1225abc（3）设 AF，
19、BE 交于点 P.如解图，取 AB 的中点 H，连接 FH，AC .E，G 分别是 AD，CD 的中点，F 是 BC 的中点，EGACFH.又BEEG ，FHBE.（9 分）四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC=2 ，5AE=BF= ,AEBF ,AP= FP，ABF 是“中垂三角形” ，（11 分） 5 ，即 ，2ABF22235()AFAF4.（12 分）一题多解：如解图，连接 AC，CE ，延长 CE 交 BA 的延长线于点 H.在ACD 中，E，G 分别是 AD、CD 的中点，来源:学优高考网EGAC.BEEG ，ACBE.（9 分）第 13 题解图又 ABCD 中，AE BC，AD BC，BC 2AE ，AHAEHBC. ，12EHBCHA= AB,HE=EC.BE,CA 是HBC 的中线，HBC 是“中垂三角形” ， （11 分） .225HBCAB=3,AD=2 ,HB=6,BC=2 , ，即 HC=8.2265()HCAF 是HBC 的中位线，AF= HC=4.12第 13 题解图
