1、山西省 2013 届高考数学一轮单元复习测试：圆锥曲线与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 2x y30 关于直线 x y20 对称的直线方程是( )A x2 y30 B x2 y30C x2 y10 D x2 y10【答案】A2已知椭圆2()ab的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且BFx轴， 直线 B交 y轴于点 P若 A，则椭圆的离心率是（ ）A 3B 2C 13D 12 【
2、答案】D3设椭圆21(0,)xymn的右焦点与抛物线 28yx的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的方程为 ( ）A216xyB216xyC21486D21648y【答案】B4若双曲线 )0(12bayx的左右焦点分别为 1F、 2，线段 21F被抛物线1b的焦点分成 3:2 的两段，则此双曲线的离心率为( )A 98B 637C 53D521【答案】D5已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1( ，0)，点 P 位于该双曲线上，线段 PF1 的5中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( )A y21 B x2 1x24 y24C 1 D 1x22 y23 x23 y22【答案】B6已知点
3、P 是抛物线 8上一点，设 P 到此抛物线准线的距离是 1d，到直线10xy的距离是 2d，则 12的最小值是( )A 3B 3C 6D 3【答案】C7已知定点 A(1,0)和定直线 l： x1，在 l 上有两动点 E， F 且满足，另有动点 P，满足，( O 为坐标原点)，则动点 P 的轨迹方程为( )A y24 x B y24 x(x0)C y24 x D y24 x(x0)【答案】B8 直线L经过双曲线21aby （a0，b0）右焦点F与其一条渐近线垂直且垂足为A，与另一条渐近线交于B点， 2B，则双曲线的离心率为（ ）A34B3C 3D2【答案】B9抛物线 y x2 上的点到直线 4x
4、3 y80 距离的最小值是( )A B43 75C D385【答案】A10已知椭圆 C1： 1( a b0)与双曲线 C2： x2 1 有公共的焦点， C2 的一条渐近x2a2 y2b2 y24线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A， B 两点若 C1 恰好将线段 AB 三等分，则( )A a2 B a213 132C b2 D b2212【答案】C11已知点 P(x， y)在直线 x2 y3 上移动，当 2x4 y 取得最小值时，过点 P(x， y)引圆2 2 的切线，则此切线段的长度为( )(x12) (y 14) 12A B 62 32C D12 32【答案】A12长为 3 的线段 A
5、B 的端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上移动， AC2 B，则点 C 的轨迹是( )A线段 B圆C椭圆 D双曲线【答案】C第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知双曲线 )0,(12bayx的离心率为 32，焦距为 2c，且 2a2=3c，双曲线 上一点 P 满足 为 左 右 焦 点 ）、 2121FF,则 |21PF 【答案】414设 F1， F2分别为椭圆 y21 的左，右焦点，点 A， B 在椭圆上，若 1A5 2B，则点x23A 的坐标是_【答案】(0，1)15已知点(2,3)在双曲线 C：
6、 1 ( a0， b0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为x2a2 y2b2_【答案】216已知双曲线 1( a0， b0)的左顶点与抛物线 y22 px(p0)的焦点的距离为 4，且双x2a2 y2b2曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为_【答案】2 5三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知向量 1m=（0， x） ， 1n=（1，1） ， 2m=（ x，0） ， 2n=（ y2，1） （其中 x， y 是实数） ，又设向量 = + 2， = 2 1n，且 ，点 P（ x，y）的轨迹为曲线 C.(
7、）求曲线 C 的方程；(）设直线 1:kxyl与曲线 C 交于 M、 N 两点，当| MN|= 324时，求直线 l 的方程.【答案】 （I）由已知， m22(0,),)(,),yyxn(,0)2,.xx/,()2)(0yx即所求曲线的方程是： .12(）由 .04)(:.1,22kxykxy得消 去解得 x1=0, x2= 2,(4分别为 M， N 的横坐标）.由 ,234|1| 221 kxkMN.:解 得所以直线 l 的方程 x y+1=0 或 x+y1=0.18给定椭圆 C： )0(12ba，称圆心在原点 O，半径为 2ba的圆是椭圆 的“准圆” 。若椭圆 的一个焦点为 ,2(F，其短
8、轴上的一个端点到 F的距离为3.(）求椭圆 C的方程和其“准圆 ”方程.(）点 P是椭圆 的“准圆”上的一个动点，过动点 P作直线 21,l使得 21,l与椭圆 C都只有一个交点，且 21,l分别交其“准圆”于点 NM,；(1）当 为“准圆”与 y轴正半轴的交点时，求 21l的方程.(2）求证： MN为定值.【答案】 （） 1,3,2bac， 椭圆方程为 132yx准圆方程为 42yx。 (） （1）因为准圆 2与 y轴正半轴的交点为 )2,0(P，设过点 )2,0(P且与椭圆有一个公共点的直线为 kx，所以由 132yxk消去 ，得 0912)3(2.因为椭圆与 k只有一个公共点，所以 0)
9、31(94122k，解得 1k。 所以 2,l方程为 ,xy. (2）当 1中有一条无斜率时，不妨设 1l无斜率，因为 l与椭圆只有一个公共点，则其方程为 3x，当 1方程为 3x时，此时 1l与准圆交于点 1,，此时经过点 ,（或 ,）且与椭圆只有一个公共点的直线是 y（或 1） ，即 2l为 y（或 ） ，显然直线 21,l垂直；同理可证 1方程为 3x时，直线 ,垂直. 当 2,l都有斜率时，设点 )(0yP，其中 420yx.设经过点 ),(0yxP与椭圆只有一个公共点的直线为 0)(yxt，则 132ytt消去 y，得 03)(3)(6)312002 ttyxt（ .由 0化简整理得
10、： )320020ttx（ .因为 42yx，所以有 )3(xy（ .设 21,l的斜率分别为 21,t，因为 21,l与椭圆只有一个公共点，所以 21,t满足上述方程 0)3(2)32000 xtytx（ ，所以 ，即 21,l垂直. 综合知：因为 经过点 ),(0yxP，又分别交其准圆于点 NM,，且 21,l垂直，所以线段 MN为准圆 42yx的直径，所以 N=4. 19己知椭圆 C ： 旳离心率 e = ,左、.右焦点分别为 ，点.，点尽在线段 PF1的中垂线 i.(1) 求椭圆 C 的方程 ；(2) 设直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点，直线 、的倾斜角分别为，且 ，求证：直线/过
11、定点，并求该定点的坐标.【答案】由已知 +=，得 220FMNk,120kxm化简，得 2kx1x2+（m-k）（x 1+x2-2m）=04()mkkA 整理得 m=-2k直线 MN 的方程为 y=k（x-2），因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）20如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 ODAB，Q 为线段 OD 的中点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；(II)过点 B 的直线 l与曲线 C 交于 M、N.两点，与 OD 所在直线交于 E
12、 点， M1， NE2证明： 21为定值.【答案】 （）以 AB、 OD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系，动点 P 在曲线 C 上运动且保持| PA|+|PB|的值不变且点 Q 在曲线 C 上,| PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 521| AB|=4曲线 C 是为以原点为中心， A、 B 为焦点的椭圆设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则2a=2 5, a= ,c=2,b=1 4 分曲线 C 的方程为2x+y2=1【法 1】 （）：设 MNE点的坐标分别为 10(,)(,)(,)MNEy，易知 B点的坐标为 (2,0)且点 B 在椭圆 C
13、 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交 1E， 1011,(2,)xyxy 112x， 10y 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得： (52101，去分母整理，得 10202y同理，由 2ENB可得： 0222y 1， 是方程 50yx的两个根 11 分 1021【法 2】 （）：设 ,M点的坐标分别为 12(,)(,)(,)MxyNEy，易知 B点的坐标为 (20)且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，则直线 的方程是 )2(xky将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 y 并整理得0520)51(2
14、kxk 22150kx， 2150kx 又 1EMB， 则 1011(,)(,)yxy 112x，同理，由 2N， 22 0)(42112121 xxx21如图，直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(2,0)，直角顶点 B(0，2 )，顶点 C 在 x 轴上，2点 P 为线段 OA 的中点(1)求 BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心，求圆 M 的方程；(3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 相切，求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程【答案】(1) kAB ， AB BC， kCB ，222 BC 边所在直线方程为 y x2 22 2(2)在 BC 边所在直线方程中，
15、令 y0，得 C(4,0)，圆心 M(1,0)又| AM|3，外接圆的方程为( x1) 2 y29.(3) P(1,0)， M(1,0)，圆 N 过点 P(1,0)， PN 是该圆的半径又动圆 N 与圆 M 内切，| MN|3| PN|，即| MN| PN|3，点 N 的轨迹是以 M、 P 为焦点，长轴长为 3 的椭圆 a ， c1， b ，32 a2 c2 54轨迹方程为 1.x294y25422已知椭圆 1C的方程为 12yx，双曲线 2C的左、右焦点分别是 1C的左、右顶点，而 2的左、右顶点分别是 1的左、右焦点.(1）求双曲线 的方程；(2）若直线 :2lykx与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，求 k的范围。【答案】 （1）设双曲线 2C的方程为21,xyab243a，再由 2c得 ，故 2C的方程为21xy(2）将 yk代入23得 2(3)690kx 由直线 l与双曲线 C2交于不同的两点得：222130(6)(13)6()0kkk则由 32k解得：1k故 k 的取值范围为 3,1|kx且 .
