1、3.1.2 导数的几何意义一、选择题1曲线 yx 33x 在点(2,2) 的切线斜率是 ( )A9 B6C3 D1答案 A解析 y(2x) 33(2 x)2 369x6x 2x 3，9 6x x2，yx (96x x2)9，limx 0yx lim x 0由导数的几何意可知，曲线 yx 33x 在点(2,2) 的切线斜率是 9.2曲线 y x32 在点(1， )处切线的倾斜角为( )13 73A30 B45C135 D60答案 B解析 y (1x) 3 (1) 3xx 2 x3， 1x x2，13 13 13 yx 13 (1x x2)1，limx 0yx lim x 0 13曲线 y x32
2、 在点 处切线的斜率是 1，倾斜角为 45.13 ( 1， 73)3函数 y 在点( ，2) 处的切线方程是( )1x 12Ay4x By 4x4Cy 4(x1) Dy2x4答案 B解析 y ， ， 4，2xx 12 yx2x 12 lim x 02x 12切线的斜率为 4.切线方程为 y4 24x4.(x 12)4如果曲线 yf( x)在点( x0，f (x0)处的切线方程为 x2y30，那么( )Af(x 0)0 Bf ( x0)0Cf(x 0)0 Df(x 0)不存在答案 B解析 由导数的几何意义可知 f( x0) 0，所以函数图像在点(4，f (4)处的切线的倾斜角为锐角9曲线 yx
3、3x 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y4x1，则点 P0 的坐标是( )A(0,1) B(1，5)C(1,0) 或(1，4) D(0,1) 或(4,1)答案 C解析 k limx 0f(x0 x) f(x0)x limx 0(x0 x)3 (x0 x) x30 x0x 3x 3x 0x(x )21limx 0 203x 14，203x 3，即 x01，20点 P0 的坐标为(1,0)或(1， 4)10设曲线 yax 2 在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a 等于( )A1 B.12C D112答案 A解析 y| x1 limx 1a(1 x)2 a12x limx 02
4、ax a(x)2x (2aax )2a，limx 02a2，a1.二、填空题11已知函数 f(x)x 32，则 f(2) _.答案 12解析 f(2) limx 0(2 x)3 2 23 2x limx 0(2 x 2)(2 x)2 (2 x)2 22x 44x (x) 242x4limx 0 126x (x) 212.limx 012曲线 yx 23x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为 _答案 (2,4)解析 设切点坐标为( x0，y 0)，y|x x 0 limx 0(x0 x)2 3(x0 x) (xoal(2,0) 3x0)x 2x 0 31k ，limx 02x0x 3xx故 x
5、02，y 0x 4，故切点坐标为 (2,4)2013曲线 yx 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴，x 2 所围成的三角形的面积为_答案 83解析 y 3x 2，所以 ky| x1 313，所以在点(1,1) 处limx 0 (x x)3 x3x的切线方程为 y3x 2，它与 x 轴的交点为 ，与 x 2 的交点为(2,4) ，所以 S (23，0) 124 .(2 23) 8314曲线 yx 3x 1 在点(1,3)处的切线是_答案 4xy 10解析 因为 y 3x 21，limx 0(x x)3 (x x) 1 (x3 x 1)x所以 ky| x1 314，所以切线的方程为 y34( x
6、1) ，即 4xy10.三、解答题15求曲线 yx 23x 1 在点 (1,5)处的切线的方程分析 点 是 曲 线 上 的 点 求 切 线 的 斜 率 k 得 切 线 方 程解析 y| x1 limx 0(1 x)2 3(1 x) 1 (12 31 1)x limx 05x (x)2x (5x )5，limx 0即切线的斜率 k5，曲线在点(1,5)处的切线方程为 y55(x1)即 5xy0.16直线 l：y xa(a0)和曲线 C：yx 3x 21 相切(1)求 a 的值；(2)求切点的坐标解析 设直线 l 与曲线 C 相切于 P(x0，y 0)点f(x) limx 0f(x x) f(x)
7、x limx 0(x x)3 (x x)2 1 (x3 x2 1)x3x 22x.由题意知，k1，即 3x 2x 01，解得 x0 或 x01.2013于是切点的坐标为 或(1,1) ( 13，2327)当切点为 时， a，a ；( 13，2327) 2327 13 3227当切点为(1,1)时，11a，a0( 舍去)a 的值为 ，切点坐标为( ， )3227 13 2327点评 利用曲线在一点处的导数等于在这一点的切线的斜率，确定出切点17求过点(2,0)且与曲线 y 相切的直线方程1x解析 易知(2,0)不在曲线 y 上，令切点为(x 0，y 0)，则有 y0 .1x 1x0又 y ，limx 0yx lim x 01x x 1xx 1x2所以 y|xx 0 ，1x20即切线方程为 y (x2)1x20而 y0x0 2 1x20由可得 x01，故切线方程为 yx 20.18曲线 yx 23x 上的点 P 处的切线平行于 x 轴，求点 P 的坐标解析 设 P(x0，y 0)，y (xx) 23(x x)(x 23x )2xx(x) 23x ， 2xx3.yx 2xx (x)2 3xx (2xx3)2x3，limx 0yx lim x 0y|x x 02x 03，令 2x0 30 得 x0 ，32代入曲线方程得 y0 ，94P .(32， 94)
