1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级 :_姓名:_设计人:_日期:_课前预习 预习案温馨寄语一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。高尔基学习目标 1掌握向量数乘运算的概念.2能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.3掌握向量的共线定理及应用.学习重点 平面向量数乘运算法则的应用.来源:gkstk.Com学习难点 平面向量数乘运算法则的应用自主学习 1向量的数乘运算的概念(1)定义：实数 与向量 a 的积是一个_.(2)运算律： = = = 来源:学优高考网 gkstk特别地， ( )= ( )， .2共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，
2、使_.预习评价 1在四边形 ABCD 中，若 ，则此四边形是A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形2设 ， 是两个不共线的向量，若向量 m= + k (kR)与向量 n= 2 共线，则A.k=0 B.k=1 C.k=2 D. 3若向量 ，a 满足 2 -3( -2a)=0,则向量 =_.4向量 a 与 b 不共线，向量 c=3a-b，d=6 a-2b，则向量 c 与 的关系_.(共线，不共线)5 =_.知识拓展 探究案合作探究 1向量数乘的概念及运算根据向量数乘的概念，思考下面的问题：(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量
3、？2所得向量 a 的几何意义是什么？3向量 的大小与方向如何？4共线向量定理根据共线向量定理，探究下面的问题：(1)若向量 a 与向量 b(b0)共线，则 a=b，如何确定 的值？(2)定理中为何要限制 a0？5若向量 a，b 不共线，且 a=b，则 ， 的值如何？为什么？教师点拨 1对向量数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与 的正负有关.(2)当 =0 时， a=0.(3)向量的数乘运算要遵循向量的数乘运算律.2共线向量定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线.(2)证明点共线，当两向量共线，且有公
4、共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线.交流展示向量的数乘运算及理解 已知向量 a，b 满足：|a| 3， b5，且 ab，则实数 A. B. C. D.变式训练 设 a 是非零向量, 是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )A.a 与 a 的方向相同 B.a 与-a 的方向相反C.a 与 2a 的方向相同 D.|a|=|a|交流展示共线向量定理及其应用 已知向量 ， ， ，则A.A、B、C 三点共线 B.A、B、D 三点共线C.A、C、D 三点共线 D.B、C、D 三点共线变式训练 在 中，点 是 的中点，点 在 上，且 ，求证： ， ， 三点共线交流展示向量线
5、性运算的应用 下列各式计算正确的个数是 ( )(-7)6a=-42a;a-2b+2(a+b)=3a; a+b-(a+b)=0.A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个变式训练 =A.2ab B.2baC.ba D.ab学习小结 1向量的数乘运算方法(1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方法为“合并同类项”“ 提取公因式”，“同类项”“公因式” 指的是向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数.(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知量，通过解方程的方法求解.2由共线向量定理求向量系数的步骤(1)把向量等式通过向量线性运算，转化为与另一个式子相同的形式.(2)
6、由两等式相同知对应系数相同，列方程可求向量的系数.3用共线向量定理证明三点共线的三个步骤(1)定向量：由三点可确定多个不同的向量.(2)证共线：证明两个向量共线.(3)得结论：说明三点共线.当堂检测 1化简下列各式:(1)- + - - ;(2)2(a+2b)+3(3a+2b)-4(a-b).2已知向量 a,b 不共线,若向量 a+b 与 b+a 的方向相反 ,则实数 的值为 .3已知关于 的方程有 ，则 A. B. C. D.无解4在平行四边形 ABCD 中， ， ， ，则_(用 e1,e2 表示).5已知非零向量 e1，e 2，a，b 满足 a=2e1-e2，b=ke 1+e2.(1)若
7、e1 与 e2 不共线，a 与 b 共线，求实数 k 的值.(2)是否存在实数 k，使得 a 与 b 不共线，e 1 与 e2 共线? 若存在，求出 k 的值，否则说明理由知识拓展 已知两个向量 e1,e2 不共线.如果 a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数 ,使得向量 d=a+b 与 c 共线?2.2.3 向量数乘运算及其几何意义详细答案 课前预习 预习案【自主学习】1(1)向量 a，a，相同 相反 0(2)()a aaab a a ab2ba【预习评价】1C2D36a4共线52ba知识拓展 探究案【合作探究】1(1)实数 与向量 a 数乘，得到向量 a
8、，其方向由 的正负及向量 a 的方向共同确定(2)所得向量与原向量是共线向量.2是把向量 a 沿 a 的方向放大(1)或缩小(00 时,a 与 a 的方向相同,a 与-a 的方向相反,且|a|=|a|.因为 20,所以 a 与2a 的方向相同.【交流展示共线向量定理及其应用 】B来源 :学优高考网【解析】本题主要考查平面向量的共线的定理与向量的应用，由于 与 有公共点 B，因此 A、 、 D三点共线，故答案为 B.【变式训练】证明： 因为 ， ，所以 由于 ，可知 ，即 又因为 、 有公共点 ，所以 、 、 三点共线【解析】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线【
9、交流展示向量线性运算的应用 】C【解析】根据数乘向量的运算律可验证正确;错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.【变式训练】B【当堂检测】1(1)原式=( - )-( + )= -0= .(2)原式=2a+4b +9a+6b-4a+4b=(2+9-4)a+(4+6+4)b=7a+14b.2-1【解析】本题主要考查向量的相关知识,解题的关键是根据 a+b 与 b+a 的方向相反得到恒等式,进而得到关于 的方程,从而得出 的值.由 a+b 与 b+a 的方向相反得 ,a+b=-k(b+a),k0,则 =-k,-k=1,即 2=1,又 k0,所以 =-1,此时a+b 与 b+
10、a 的方向相反.3B【解析】本题主要考查向量的线性运算.向量的线性运算同多项式的合并化简类似，具体解法如下：由已知得 ，则 .来源:gkstk.Com45（1）由 ，得 ，而 与 不共线，所以2,k.（2）不存在.若 与 共线，则 ，有因为 为非零向量，所以 2且 k，所以 ，即 ，这时 与 共线，所以不存在实数 k满足题意.【知识拓展】显然 c0,否则 4e1-7e2=0,即 e1= e2,与 e1,e2 不共线矛盾.又 d=a+b=(+2)e1+(2-4)e2(0),假设向量 d=a+b 与 c 共线,则存在一个实数 ,使得 d=c,即( +2)e 1+(2-4)e2=4e1-7e2,从而 ,消去 ,得 15=2(0).所以存在非零实数 ,只要它们满足 15=2(0),就能使得向量 d 与 c 共线.
