1、1.1.2 弧度制班级 :_姓名:_设计人:_日期:_课前预习 预习案学习目标 1了解弧度制的概念.2能进行弧度和角度的互化.3会计算弧长和扇形面积.学习重点 理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算学习难点 弧度的概念及其与角度的关系自主学习 1角的单位制(1)角度制(2)弧度制2任意角的弧度数与实数的对应关系(1)正角：正角的弧度数是一个_.(2)负角：负角的弧度数是一个_.(3)零角：零角的弧度数是_.(4)如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l 那么，角 的弧度数的绝对值是| | =_.3角度与弧度的互化4弧度制下的弧长与扇形面积公式若扇形的半径为 R，弧长为 l，面积为 S
2、，圆心角为 (02)，则(1)弧长公式_ : l=_.(2)扇形面积公式：S=_.预习评价 1下列各种说法中，不正确的是.“度”与“弧度” 是度量角的两种不同的度量单位B.1的角是周角的 ，1rad 的角是周角的C.1rad 的角比 1的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关2已知圆的半径为 2，则弧长为 4 的弧所对的圆心角 (0 2)的弧度数为_.3请将下列角度化为弧度，弧度化为角度.60=_，150=_. = _， = _.4若扇形的圆心角为 60，半径为 1，则扇形的弧长 l_，面积S=_ .知识拓展 探究案合作探究 1弧度制及角度制与弧度制的互化观察如图所示的 1 弧度的
3、几何表示，并结合公式| = ，思考下面的问题：(1)根据圆心角为 n时，所对的弧长为 .若 n30，请完成下表：半径 r r1 = 1r2 =2r3 =3r4=4弧长 l弧长与半径的比值(2)结合上表，思考扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？(3)如何将 1 弧度化为度？2结合扇形的弧长和面积公式： ，探求下面的问题(1)在上述公式中的角 是否可以用角度制表示？(2)在角度制下扇形的弧长与面积公式是什么？3：在弧长 的公式中， 一定是正角吗？教师点拨 1对弧度制定义及角度制与弧度制互化的四点说明(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值.(2)用弧度与
4、度去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.(3)用弧度度量角时，通常把一个角写成 的倍数形式，无特别要求 不必化成小数形式. (4)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.2对扇形的弧长及面积公式的两点说明(1)成立条件：弧长和面积公式是在弧度制下才成立， 若已知角是以 “度” 为单位，则应先化成弧度后再计算.(2)知“二”求“二” ：使用弧度制计算弧长和扇形面积，可避免复杂的代数运算，已知，R ，l，S 中的任意两个 量可求另外的两个量.交流展示弧度制的概念 1下列命题中，真命题是A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度角的和D
5、.一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位215 化为弧度是A. B. C. D.3 化成 的形式是A. B. C. D.变式训练 1下列说法中错误的是 ( )A.弧度制下,角与实数之间建立了一一对应关系B.1 度的角是周角的 ,1 弧度的角是周角的C.根据弧度的定义,180 一定等于 弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角 ,它们均与圆的半径长短有关2下列角中，终边在 y 轴正半轴上的是A. B. C. D.3把1125 化成 2k ( 02,kZ )的形式是A. 6 B. 6 C. 8 D. 8交流展示角度制与弧度制的互化 4下列转化结果错误的是A.60化成弧度是 B.
6、 化成度是-600C.-150化成弧度是 D. 化成度是 155将 化为 的形式，则 =_.变式训练 已知 =1 690，(1) 把 表示成 2k+ 的形式，其中 kZ，0,2 ).(2) 求 ，使 与 的终边相同，且 -4 ，-2 ）.交流展示扇形的弧长和面积的计算 6若 2 弧度圆心角所对的弧长为 2 ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是A.4 B.2 C. 来源:gkstk.Com D.17如果一扇形的圆心角为 120，半径等于 10 cm，则扇形的面积为 _.8若扇形 的面积是 1 ，它的周长是 4 ，则该扇形圆心角的弧度数是_变式训练 5(2012安徽测试)设扇形的周长为 6,面积为 2
7、,则扇形的圆心角是(单位:弧度) ( )A.1 B.4 C. D.1 或 46已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为A. B. C. D.7一个半径为 R 的扇形,若它的周长等于它所在圆的周长的 ,则扇形圆心角的弧度数为 . 8已知扇形的面积为 25 cm2,当扇形的圆心角为多大时,扇形的周长取得最小值?学习小结 1关于角度和弧度概念辨析问题的解题思路(1)要紧扣概念的本质及概念中的易错、易混的词眼.同时要区分好相近概念的异同点 .(2)利用公式 求圆心角的弧度数时，注意 的正负由角的旋转方向确定，逆时针旋转为正数，顺时针旋转为负数.21.角度制与弧度制互化的关键与方法
8、(1)关键：抓住互化公式 是关键.(2)方法：度数 弧度数；弧度数 度数 .提醒：(1)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.(2)角度化为弧度时，其结果写成多少 的形式，不必把 写成小数.2.象限角和轴线角的弧度表示第一象限角集合 ；第二象限角集合 ；第三象限角集合 ；第四象限角集合或 ；终边落在 x 轴上的角的集合 ；终边落在 y 轴上的角的集合 ；终边落在坐标轴上的角的集合 .3求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为： .面积公式为 (其中是扇形的弧长， 是扇形圆心角的弧度数).(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知
9、哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组) 求解.4扇形周长及面积的最值问题的求解技巧(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积 S 转化为关于 的二次函数，但要注意 的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足 .(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值.其求法是把周长 L 转化为关于 的函数，但要注意 的取值范围.当堂检测 1下列说法正确的是A.1 弧度角的大小与圆的半径无关 B.大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大C.圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等 D.用弧度来表示的角都是正角2半径为 cm，中心角为 60的扇形的弧长为A. B.
10、 C. D.3在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是_弧度，扇形面积是_.4半径为 3 cm，圆心角为 120的扇形面积为_cm 2.知识拓展 1若一扇形的圆心角为 ，半径为 20 cm，则扇形的面积为A.40cm2 B.80cm2 C.40 cm2 D.80 cm22已知扇形的面积为 ，半径为 1，则该扇形的圆心角的弧度数是_.3已知扇形的周长是 6cm，面积是 2 ，试求扇形的中心角的弧度数.1.1.2 弧度制详细答案 课前预习 预习案【自主学习】11.(1) 度 (2) 半径长 1 rad 1 弧度 弧度2(1)正数 (2)负数 (3)0 (4) 32 360 180 )4(
11、1)R (2) 2【预习评价】1D223 30 120 来源:学优高考网4 知识拓展 探究案【合作探究】1(1)半径 r r1=1r2=2r3=3r4=4弧长 l弧长与半径的比值(2)从上表可知，随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关. (3)由 1 弧度的几何表示，可知 1 弧度所对弧占圆周的 ，故 1 弧度化为度为 360=( )57.3.来源:gkstk.Com2(1)不可以.在不同的度量角的制度下，扇形的弧长和面积公式的形式是不同的，在应用时必须选用与角的度量制对应的公式. (2)弧长公式：l ，面积公式：S .3不一
12、定.由 l=|R，得|= ，借助于该公式可以解决已知弧长求弧所对的圆心角的问题，所求得的角的单位制是弧度制，正负由角的旋转方向决定.【交流展示弧度制的概念 】1D【解析】本题考查弧度制的概念.弧度只与弧长与半径的比值相关，与扇形的面积无关.2A【解析】3B;【解析】 ，故为 .来源:学优高考网 gkstk【变式训练】1D【解析】依据弧度的意义可知 A 正确;1 度的角是周角的 ,1 弧度的角是周角的 ,B 正确;根据弧度的定义,180一定等于 弧度,C 正确;根据角度制与弧度制的定义可知,角的大小与圆的半径长短无关,而是与弧长和半径的比值有关,所以 D 错误.2B【解析】本题主要考查角的概念。
13、根据角的概念可知， 是以 x 轴的正半轴为始边，逆时针旋转了 90 度，故在 y 轴的正半轴上，故选 B.3D【解析】本题主要考查终边相同的角的集合的表示形式. ，化为弧度可得 8.【交流展示角度制与弧度制的互化 】4C5【解析】 ，故答案为【变式训练】（1）因为2569043081；所以2581.（2）因为 ，且 4,2；所以718.【交流展示扇形的弧长和面积的计算 】6D【解析】本题主要考查扇形面积公式以及弧长，圆心角，半径之间的关系.由题意可得 ，得 ， ， 选 D.7 ；【解析】本题考查扇形面积公式的应用.82【解析】本题主要考查扇形面积公式的应用.设该扇形圆心角的弧度数是 ，半径为 ，根据题意，有 解得所以扇形圆心角的弧度数是 2【变式训练】来源:学优高考网 gkstk5D【解析】设扇形的半径为 x,所以弧长为 6-2x,扇形的圆心角为 ,因为扇形的面积为 2,所以(6-2x)x=2,解得 x=1 或 x=2,所以扇形的圆心角为 4 或 1.6A【解析】由题意得28,rl解得2,rl故 .7 -2
