1、第一节 导数概念一.导数的定义1 引例例 1：变速直线运动的速度设有一物体 M，沿直线从 O 点开始作变速直线运动，在 时刻运动到点 P，与点 O 的距t离为 ，求物体 M 在 时刻的瞬时速度。)(tS0t已知匀速直线运动的速度为： ，tsV)(变速直线运动在 到 这一时间段内的平均速度为 ，0t tsstV )()(00如果当 时，上式的极限存在，记为 ，即t。 即为所求的物体 M 在 时刻的瞬时tsstVttt )(limli)(li)( 0000 0t速度。例 2：曲线的切线问题2导数的定义定义 1：设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （)(xfy0 x0x+ 仍
2、在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；如果 与0xy)(0ffyy之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称此极限值为函数0)xf在点 处的导数（微商） ，记作： ， ， 。)(xfy 0|/xy(0/ 0|xdy即： fxfyfx )(limli00/注：（1）函数 在点 处可导，亦可称函数 在点 处的导数存在（或具)(f0 )(xfy0有导数） 。（2）函数导数的另外两种定义： ，hffxfh)(lim)(000/ 。00/ )(lim)(0xfxfx（3）如果 不存在，称函数 在点 处不可xffxy)(limli 000 )(xfy0导。（4） / 为函数 在区间 （或 ）上的
3、平均变化率；y)(fy,0x,00x而导数 是因变量 在点 对于 的变化率，反映因变量 随自变量 的变化而变化)(0/xf 0xy的快慢程度。导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。（5 ）根据导数的定义和极限存在的充要条件，相应地定义函数 在点 处右可导、)(xfy0左导数如下（分别记右可导、左导数为 ， ）：)(0/xf)(0/f， 。00/ )(lim)(0xfxfx 00/ )(lim0xffx且有：函数 在点 处可导 函数 在 处， 、 都存在，)(fy )(fy)(/f)(0/xf= .)(0/xf0/(即函数 在点 处可导数的充要条件是函数 在点 处既右可导、有左可)(fy0
4、x )(xfy0导)。3函数 在区间上（内）可导的概念：)(f（1）若函数 在开区间 内每一点都可导，则称函数 在开区间xy),(ba)(xfy内可导。),(ba（2）若函数 在开区间 内每一点都可导，且 存在，则称函数)(xfy),( )(/af在区间 上可导。)(xfy,ba（3）若函数 在开区间 内每一点都可导，且 ， 存在；则称函)(xfy),(ba)(/f/bf数 在闭区间 上可导。)(xfy,4导函数若函数 在开区间 内可导，则对 ，总有确定的)(f),(ba),(bax与之对应，从而得到一个以 为自变量的新函数，称此函数xffxf)(lim)(0/ x为函数 的导函数，简称为导数
5、，记为： ， ， 。)fy /yd)(/f二导数的几何意义：由导数的定义可知:函数 在点 处的导数 在几何上表示曲线 在点处的切线斜率，即,其中 是切线的倾角.如下图：表示函数曲线 在点 （ 处的切00/ )(lim)(0xfxfx)(xfy),(0yM)(0xf线的斜率。曲线 上点 的曲线的切线方程为：)(fy),(0yM)(0/0xfy曲线 上点 的曲线的法线方程为： 。xf,0 )(100/0f三简单函数的导数例 2： 求函数 （n 为正整数）在 处的导数更一般地,对于幂函数 （ 为常数）,有例 3： 求函数 的导数即 例 4：求函数 的导数.解 ： =即：这就是指数函数的导数公式,特殊地,当 时,因 ,故有： 例 5：求函数 的导数.x1)(ln/例 6：求曲线 在点 处的切线方程y)2,4(五函数的可导性与连续性的关系函数 在点 处可导 函数 在点 连续)(xf0 )(xfy0函数 在点 处可导 函数 在点 连续。y如： 在点 处连续，但在点 处不可导。x00x即函数连续是函数可导的必要条件，而非充分条件。例 7：设 ，试确定 、 的值，使函数 在 处可导。1,)(2xbaxf ab)(xf1下一节 返回高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库
