1、2. 3 .1 等差数列的前 n 项和（一） 学案编号：GYBX5T2-3-1学习目标1掌握等差数列前 n 项和公式及其推导过程和思想方法2会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 自主学习1等差数列的定义： =d ， （n2，nN ）2等差数列的通项公式：( 或 =pn+q (p、q 是常数)3几种计算公差 d 的方法：4 d= d= d=4等差中项： 成等差数列5等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q N )6数列的前 n 项和：数列 中， 称为数列 的前 n 项和，记 .例如 a1a 2a 16可以记做 ；a 1a 2a 3a n1 (n2)
2、“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为 1+100=101；2+99=101 ；50+51=101，所以 10150=5050” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介
3、绍的“倒序相加”法探究一 等差数列前 n 项和公式的推导问题 求和：123100？1 设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，你能利用“倒序相加法”求等差数列a n的前 n 项和 Sn 吗？探究二 等差数列前 n 项和的性质设a n是等差数列，公差为 d，S n 是前 n 项和，易知a1a 2a m，a m1 a m 2a 2m，a 2m1 a 2m2 a 3m 也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前 n 项和符号 Sn 表述为：若a n成等差数列，则 Sm， ，_也成na11namna,2bAqpnma nSna1dm)(nn)(1n等差数列1 若数列a n是公差为 d 的等差数列，求
4、证：数列 也是等差数列Snn跟踪训练 1 已知等差数列a n中，(1)a1 ，d ，S n15，求 n 及 an； (2)a11，a n512，S n1 022，求 d.32 122 设 Sn、T n 分别为两个等差数列 an和 bn的前 n 项和，证明： .anbn S2n 1T2n 1跟踪训练 2 设a n为等差数列，S n 为数列a n的前 n 项和，已知 S77，S 1575，T n 为数列的前 n 项和，求 Tn.Snn3 在等差数列a n中，已知 d2，a n11，S n35，求 a1 和 n.4 (1)等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列a n的
5、前 3m 项的和 S3m；(2) 两个等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知 ，求 的值SnTn 7n 2n 3 a5b5达标检测1记等差数列前 n 项和为 Sn，若 S24，S 420，则该数列的公差 d 等于 （ ）A2 B3 C6 D72已知等差数列a n中，a 2a 88，则该数列的前 9 项和 S9 等于( )A18 B27 C36 D453等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S1284，S 20460 ，则 S6_.4已知等差数列a n的前 3 项依次为 a,4,3a，前 k 项和 Sk2 550，求 a 及 k.2.3.1 等差数列的前 n 项和
6、(一) 练习题一、基础过关1设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a11，公差 d 2，S k2 S k24，则 k 等于( )A8 B7 C6 D52设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，已知 a23，a 611 ，则 S7 等于 ( )A13 B35 C49 D633含 2n1 项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( )A. B. 2n 1n n 1nC. D.n 1n n 12n4已知等差数列a n中，a a 2a 3a89，且 an0，则 S10 为 ( )23 28A9 B11 C13 D155设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S39，S 636.则
7、a7a 8a 9 等于 ( )A63 B45 C36 D276设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 S33，S 624，则 a9_.7已知等差数列a n中，a 11，a 33.(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列a n的前 k 项和 Sk35，求 k 的值8已知等差数列a n中，a 3a716，a 4a 60，求a n的前 n 项和 Sn.二、能力提升9一个等差数列的项数为 2n，若 a1a 3a 2n1 90，a 2a 4a 2n72，且a1a 2n33，则该数列的公差是 ( )A3 B 3 C2 D110在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则该数列有_项11已知等差数列a n中，|a 5|a 9|，公差 d0，则使得前 n 项和 Sn 取得最小值时的正整 数 n的值是_12有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是 24 和 30，若最后一项与第一项之差为 ，试求此数列的首项、公差和项数212三、探究与拓展13已知公差大于零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足： a3a4117，a 2a 522.(1)求数列a n的通项公式 an；(2)若数列b n是等差数列，且 bn ，求非零常数 c.Snn c
