1、学优中考网 山东 17 市 2011 年中考数学试题分类解析汇编专题 10：四边形1、选择题1. （山东济南 3 分）如图，菱形 ABCD 的周长为 16，A 60，则对角线 BD 的长度是A2 B2 C4 D43 3【答案】C。【考点】菱形的性质，正三角形的的判定和性质。【分析】根据菱形四边相等的性质，得 AB=AD=4，A60 ，ABD 是正三角形，BD=AB=4。故选 C。2.（山东济南 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，对角线AC、BD相交于点 O下列结论不一定正确的是AACBD BOBC OCBCS AOB S COD DBCDBDC【答案】D。【考点】等腰梯形的性质
2、，全等三角形的判定和性质。【分析】A根据等腰梯形对角线相等的性质，得 ACBD，选项正确；B根据等腰梯形腰和同一底上的底角相等的性质以及全等三角形 SAS 的判定，得ABCDCB，从而由全等三角形对应角相等的性质，得OBCOCB，选项正确；C 由ABO DCO，得 SAOBS COD，选项正确；D BD 不一定等于BC，BCD 不一定等于BDC，选项不一定正确。故选 D。3.（山东潍坊 3 分） 已知直角梯形 ABCD 中，AD BC ，BCD=90，BC=CD=2AD， E、F 分别是 BC、CD 边的中点，连接 BF、DE 交于点 P，连接CP 并延长交 AB 于点 Q，连接 AF，则下列
3、结论不正确的是 .ACP 平分 BCD B四边形 ABED 为平行四边形CCQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 DABF 为等腰三角形【答案】C。【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【分析】用排除法证明，即证明 A、B、D 正确，C 不正确：A易证BCFDCE（SAS） ，FBC=EDC，BF=ED，BPEDPF（AAS） ，BP=DP，BPCDPC （SSS） ，BCP=DCP，即 A 正确；BAD=BE 且 ABBE， 四边形 ABED 为平行四边形， B 正确；DBF=ED，AB=ED ，AB=BF，即 D 正确。综上，选项 A、B 、D
4、正确。故选 C。4.（山东泰安 3 分）如图，点 F 是ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线与点E，则下列结论错误的是A、 B、ECC、 D、BFDEFA【答案】C。【考点】平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等量代换。【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得CDAB，ADBC，CDAB，ADBC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB ，ADBC，CDAB，ADBC， ，故 A 正确； ，EDFBDEFB，故 B 正确； ，故 C 错误； ， ，DEFCBFDE C故 D 正确。故选 C。5.（山东泰安 3
5、 分）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S 2，则 S1S 2 的值为A、16 B、17 C、18 D、19【答案】 B。【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】由图可得，S 1 的边长为 3，S 19。根据等腰直角三角形的性质和勾股定理易知，AC BC，BC CE CD，AC2CD，CD632，CE222 2，S 28。S 1S 217。故选 B。6 （山东莱芜 3 分）如图，E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD学优中考网 的中点，且 ABCD，下列结论 EGFE 四边形 EFGH 是矩形
6、HF 平分EHG EG （BC AD） 四边形 EFGH 是菱形12其中正确的个数是A、1 B、2 C、 3 D、4【答案】C。【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质。【分析】由所给题意，E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点，根据三角形中位线定理得到：HG DC，EF DC，HE AB，GF AB。由已知 ABCD 得到：12121212HGEFHEGF。根据菱形的判定定理知四边形 EFGH 是菱形，又根据菱形对角线互相垂直和平分对角的性质得到 EGFE，HF 平分EHG 。而不能判定四边形 EFGH 是矩形和EG （BCAD） 。故正确。故选 C。127.（山东聊城 3
7、 分）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比为 43，则这个菱形的面积是A12cm 2 B24cm 2 C48cm 2 D96cm 2【答案】B。【考点】菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式。【分析】根据利菱形四边相等和对角线互相垂直的性质，得菱形的边长是 5cm，又由于两条对角线的比为 43，根据勾股定理可得出两条对角线的长分别为 8cm 和 6cm，从而根据菱形的面积等于对 角 线 乘 积 一 半 的 公式，得到这个菱形的面积是 24cm2。故选 B。8.（山东临沂 3 分）如图ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点D、F，BEDF 交 DF 的延长线于点 E，已知
8、A=30 ，BC=2，AF=BF ，则四边形 BCDE 的面积是A、2 B、3 C、4 D、4 3【答案】A。【考点】矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。【分析】DE 是 AC 的垂直的平分线， D 是 AC 的中点，F 是 AB 的中点，DFBC，C=90，四边形 BCDE 是矩形。 A=30，C=90 ，BC=2，根据勾股定理能求出 AC 的长：AC=2 ，从而求出 DC 的长：DE= ，从而求出四边形 BCDE 的面积：332 =2 。故选 A。9.（山东临沂 3 分）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CDAD=2，BC=6，B=60，则梯形 ABCD 的周长是A、
9、12 B、14 C、16 D、18【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质。【分析】从上底的两个端点向下底作垂线，构造直角三角形和矩形，求得直角三角形的直角边的长利用已知的锐角的度数求得等腰梯形的腰长，然后求得等腰梯形的周长：作 AEBC 于 E 点，DFBC 于 F 点，ADBC， 四边形 AEFD 为矩形，AD=2 ，BC=6，EF=AD=2 ，BE=CF=（62）2=2，B=60，BAE=30，AB=DC=2BE=22=4，等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+DA=4+6+4+2=16。故选 C。10.（山东淄博 3 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC
10、，AB=DC=1，BD 平分ABC，BDCD，则 ADBC 等于A2 B3 C4 D5【答案】B。【考点】角平分线的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的性质，垂直的性质，三角形内角和定理，含 300 角的直角三角形的性质。【分析】BD 平分ABC ，ABDDBC。又ADBC， DBCADB。ABD ADB。ADAB1。又等腰梯形 ABCD，CABC2DBC。又BDCD ，CDB 90 0。DBC 30 0。BC2DC 2。ADBC 123。故选 B。学优中考网 2、填空题1. （山东德州 4 分）如图，D，E，F 分别为ABC 三边的中点，则图中平行四边形的个数为 【答案】3。【考点
11、】平行四边形的判定，三角形中位线定理。【分析】根据三角形中位线的性质定理，可以推出 DEAF，DFEC，DFBE 且DE=AF，DF=EC ，DF=BE，根据平行四边形的判定定理，即可推出有 3 个平行四边形。2.（山东烟台 4 分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .【答案】2。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】如图，连接 O1B，O 1C，可由 ASA 得O 1BFO 1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系：阴影部分 O1FCG 的面积为正方形 ABCD 面积的。同理得出另一个正方形的阴影部分
12、面积与正方形面积的关系，从而得阴影部14分的面积是： 。2143.（山东潍坊 3 分）已知长方形 ABCD，AB=3cm ，AD=4cm，过对角线 BD的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，则 AE的长为 【答案】 。78【考点】矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质， 。【分析】连接 EB，构造直角三角形，设 AE 为 ，由线段垂直平分线上的x点到线段两端距离相等的性质有 DEBE4 ，利用勾股定理AE2AB 2BE 2，得到有关 的方程： 23 2（4 ） 2，解得 。x 78x4.（山东聊城 3 分）如图，在 ABCD 中，AC、BD 相交于点
13、O，点 EA是AB 的中点若 OE3cm ，则 AD 的长是 cm【答案】6。【考点】平行四边形的性质，三角形中位线的性质。【分析】由平行四边形对角线互相平分的性质，得 BODO，由已知 E 是 AB 的中点，知OE 是BAD 的中位线，从而根据三角形中位线等于第三边一半的性质，得AD2OE 6cm。5.（山东临沂 3 分）如图， ABCD，E 是 BA 延长线上一点，AB=AE，连接ACE 交 AD 于点 F，若 CF 平分 BCD，AB=3，则 BC 的长为 【答案】6。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质。【分析】平行四边形的对边平行，AD
14、BC，AB=AE，所以 BC=2AF，若 CF 平分BCD，可证明 AE=AF，从而可求出结果：CF 平分BCD，BCE=DCF，ADBC，BCE=DFC，BCE= EFA，BECD，E=DCF，E= EFA，AE=AF=AB=3，AB=AE ，AFBC，BC=2AF=6。6.（山东淄博 4 分）如图，正方体的棱长为 3，点 M，N 分别在 CD，HE 上，CM= DM12HN=2NE，HC 与 NM 的延长线交于点 P，则 tanNPH 的值为 【答案】 。3【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】CM DM，HN2NE ，CM CD，HN HE CD，12132
15、3又PCMPHN， ，即 PH2CH2CD。PCMHNtanNPH 。137.（山东淄博 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 BC 边的中点，过点B 作 BGAE，垂足为 G，延长 BG 交 AC 于点 F，则 CF= 【答案】 。23【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定。学优中考网 【分析】过点作 EHBF 交 AC 于点 H，则由点 E 是 BC 边的中点知，点 H 是 FC边的中点，即 CF2HF。又由正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 BC 边的中点，应用勾股定理和相似三角形的判定和性质可求出 AC2 ，AE ，AG
16、。545从而由 ，即 ，即 。解之得，AFG4HE5ACF4152CF41。2C33、解答题1. （山东滨州 10 分）如图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线 MNBC设 MN 交BCA 的平分线于点E，交BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE、AF那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论【答案】解：当点 O 运动到 AC 的中点时四边形 AECF 是矩形。证明如下：CE 平分BCA，12。又MNBC， 13。32。EO CO。同理，FOCO。EO FO，又OAOC，四边形 AECF 是平行四边形。又12，45，1524
17、。又1524180，2490 。四边形 AECF 是矩形。【考点】角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定。【分析】当点 O 运动到 AC 的中点（或 OAOC）时，四边形 AECF 是矩形。由于 CE 平分BAC，那么有12，而 MNBC，利用平行线的性质有13，等量代换有23，于 OEOC，同理 OCOF，于是 OEOF，而 OAOC，那么可证四边形AECF 是平行四边形，又 CE、CF 分别是BCA 及其外角的平分线，易证ECF 是 90，从而可证四边形 AECF 是矩形。2.（山东东营 8 分）如图在四边形 ABCD 中，BD 平分ADC，ABC=120，C=60 ，BDC=30 ；延
18、长 CD 到点E，连接 AE，使得 E= C 。12(1) 求证：四边形 ABDE 是平行四边形；(2) 若 DC=12求 AD 的长【答案】解：（1）证明：ABC120 0，C60 0， ABC C180 0。ABEC，即 ABED。又C60 0，E C30 0，BDC30 0，EBDC。12AEBD。四边形 ABDE 是平行四边形。（2）由（1） ，ABDC，四边形 ABCD 是梯形。又DB 平分ADC，BDC30 0，ADCBCD60 0。四边形 ABCD 是等腰梯形。BCAD。在BCD 中，C30 0，BCD60 0， DBC90 0。又已知 DC=12，ADBC DC6。12【考点】
19、平行线的判定，平行四边形的判定，等腰梯形的判定和性质，直角三角形的判定，300 角直角三角形的性质。【分析】 （1）由已知可证 ABED，AE BD，从而得证。（2）由已知和（1）可证四边形 ABCD 是等腰梯形，从而证得BCD 是直角三角形，根据直角三角形中 300 角所对直角边是斜边一半的性质，得求。3.（山东菏泽 7 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，C=45，AD=1， BC=4，E 为 AB 中点，EFDC 交 BC 于点 F，求 EF 的长【答案】解：过点 A 作 AGDC ，ADBC， 四边形 AGCD 是平行四边形。GC=AD。BG=BCAD=41=3。在 R
20、t ABG 中，AG= 。 2BG3EFDC AG ， ，EF= 。EF1A3AG2【考点】梯形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例【分析】过点 A 作 AGDC，然后证明四边形 AGCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到 GC=AD，然后利用已知条件求出 BG，再在 RtABG 中利用勾股定理求出 AG，学优中考网 又 EFDC AG ，利用平行线分线段成比例即可解决问题。4.（山东济南 4 分）如图，点 M 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上求证：AMCM 【答案】证：四边形 ABCD 是正方形，AB=CB，ABMCBM。又BMBM，ABM CBM（SAS
21、）。AMCM。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】应用正方形四 条 边 都 相 等 和 每 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 的 性 质 ， 得 ABMCBM，从而根据全等三角形对应边相等的性质得证。5.（山东潍坊 8 分）已知正方形 ABCD 的边长为 ，a两条对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是射线 上任AB意一点，过 P 点分别作线段 AC、BD（或延长线）的垂线 PE、PF，垂足为 E、F.（1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PEPF 的值；（2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PE PF 的值.【答案】解：（1）ABCD
22、是正方形，ACBD。PF BD，PFAC。同理 PEBD ， 四边形 PFOE 为矩形。PEOF。又PBF45 ，PF BF 。PEPFOFFBOB cos45 。a2a（2）ABCD 是正方形，ACBD，PFBD。PFAC。同理 PEBD ， 四边形 PFOE 为矩形。故 PEOF又PBFOBA45 ，PFBFPEPFOFBFOB cos45 。a2a【考点】正方形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数。【分析】 （1）因为 ABCD 是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过 P 点分别作直线AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足为 E、F，所以可证明四边形 PFOE 是矩形，
23、从而求出解。（2）同（1） 。6.（山东济宁 5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC、BD 相交于 O，过点 O 作直线 EFBD，分别交 AD、BC 于点E 和点 F，求证：四边形 BEDF 是菱形。【答案】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，OB=OD 。EDO=FBO，EOD= FOB ， OEDOFB （ASA ） 。DE=BF。又EDBF ，四边形 BEDF 是平行四边形。又EFBD 平行四边形 BEDF 是菱形。【考点】平行四边形的性质和判定，对顶角的性质，全等三角形的判定的性质，菱形的判定。【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，利用 ASA 可证得O
24、EDOFB，从而对应边DE 和 BF 相等，因而四边形 BEDF 是平行四边形。由已知 EFBD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定可证。7 （山东泰安 10 分）已知：在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，BC=2AD，E 是BC 的中点，连接 AE、AC（1）点 F 是 DC 上一点，连接 EF，交 AC 于点 O（如图 1） ，求证：AOECOF；（2）若点 F 是 DC 的中点，连接 BD，交 AE 与点 G（如图 2） ，求证：四边形 EFDG 是菱形【答案】解：（1）证明：点 E 是 BC 的中点，BC=2AD，EC=BE= BC=AD。12又ADDC，四边形 AE
25、CD 为平行四边形。AEDC。AEO=CFO，EAO= FCO。 AOECOF。（2）证明：连接 DE，AD 平行且等于 BE，四边形 ABED 是平行四边形， 又ABE=90，四边形 ABED 是矩形。GE=GA=GB=GD= BD= AE。12E、F 分别是 BC、CD 的中点，EF、GE 是CBD 的两条中线。学优中考网 EF= BD=GD，GE= CD=DF。1212又 GE=GD，EF=GD=GE=DF。四边形 EFDG 是菱形。【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，菱形的判定。【分析】 （1）由点 E 是 BC 的中点， BC
26、=2AD，可证得四边形 AECD 为平行四边形，即可得AOE COF。（2）连接 DE，易得四边形 ABED 是平行四边形，又由 ABE=90，可证得四边形ABED 是矩形，根据矩形和三角形中位线的性质，易证得 EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG 是菱形。8.（山东临沂 7 分）如图，ABC 中，AB=AC ，AD、CD 分別是ABC 两个外角的平分线（1）求证：AC=AD ；（2）若B=60，求证：四边形 ABCD 是菱形【答案】证明：（1）AB=AC，B=BCA。AD 平分FAC，FAD=B。ADBC。D=DCE。CD 平分ACE，ACD=DCE。D=ACD。AC=AD。（2）B
27、=60，AB=AC，ABC 为等边三角形。 AB=BC。ACB=60。FAC=ACE=120。BAD=BCD=120 ，B=D=60，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC，平行四边形 ABCD 是菱形。【考点】等腰三角形的判定和性质，平行的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定。【分析】 （1）根据角平分线的性质得出FAD=B ，以及 ADBC，再利用D= ACD，证明 AC=AD。（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形 ABCD 是平行四边形，再利用菱形的判定得出。9.（山东临沂 11 分）如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD
28、 的顶点 A 重合，三角扳的一边交 CD 于点 F另一边交 CB 的延长线于点 G（1）求证：EF=EG；（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 AB= 、BC= ，求 的值abFEG【答案】解：（1）证明：GEB+BEF=90，DEF+BEF=90 ，DEF=GEB ，又ED=BE，RtFED RtGEB（ASA） 。EF=EG。（2）成立。证明如下：如
29、图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I，则EH=EI， HEI=90 ，GEH+HEF=90，IEF+HEF=90，IEF=GEH。RtFEIRtGEH（ASA） 。EF=EG。（3）如图，过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N，则MEN=90，EMAB，ENADCENCAD，CEM CAB。 ， 。NCM,ADBANEADDBba即IEF+FEM=GEM+FEM=90，GEM=FEN。GME= FNE=90，GMEFNE。 。 。FENGMFba【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质。【分析】 （1）由GEB+
30、BEF=90，DEF+ BEF=90 ，可得DEF=GEB，又由正方形的性质，可利用 SAS 证得 RtFEDRtGEB，则问题得证。学优中考网 （2）首先过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、I，然后利用 SAS 证得RtFEI Rt GEH，则问题得证。（3）首先过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N，易证得EMAB ，ENAD，则可证得 CENCAD，CEM CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得GME FNE ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。10.（山东青岛 8 分）在 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接AAF、
31、CE(1)求证：BECDFA；(2)连接 AC，当 CACB 时，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【答案】解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，B=D，BC=AD。E、F 分别是 AB、CD 的中点，BE= AB，DF= CD。12BE=DF。BECDFA （SAS） 。(2) 四边形 AECF 是矩形。证明如下：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，且AB=CD。E、F 分别是 AB、CD 的中点，AE= AB，CF= CD。12AECF ，且 AE=CF。四边形 AECF 是平行四边形。又CA=CB，E 是 AB 的中点，CEAB，即AEC
32、=90 0。 AECF 是矩形。A【考点】平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定。【分析】(1) 由四边形 ABCD 是平行四边形和 E、F 分别是 AB、CD 的中点，即可利用SAS 证得。(2) 一方面由四边形 ABCD 是平行四边形和 E、F 分别是 AB、CD 的中点可证得四边形 AECF 是平行四边形；另一方面由 CA=CB，E 是 AB 的中点，根据等腰三角形底边中线的性质可证得AEC=90 0，从而得证。11.（山东枣 庄 10 分 ）如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=AD=6，DEDC 交 AB 于 E，DF 平分EDC 交
33、 BC 于 F，连结 EF（1）证明：EF=CF；（2）当 时，求 EF 的长tanADE31【答案】解：（1）过 D 作 DGBC 于 G由已知可得，四边形 ABGD 为正方形。 DEDC，ADE+EDG=90=GDC+EDG。 ADE=GDC 。 又A= DGC ，且 AD=GD，ADE GDC （AAS） 。DE=DC，且 AE=GC。 在EDF 和CDF 中，EDF=CDF，DE=DC，DF= DF，EDFCDF（SAS） 。EF=CF 。（2）tanADE= ， AE=GC=2 。 AE1D3设 ，则 BF=8CF=8 ，BE=62=4。EFxx由勾股定理，得 。 2284解之，得 =5， 即 EF=5。 x【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理。【分析】 （1）要证 EF=CF，只要证它们是全等三角形的对应边。考虑EDF 和CDF， DF 是公共边，由ADEGDC 可证得 DE=DC，同时可证得EDF=CDF。从而得证。（2）要 EF 的长，只要在 RtOCD 应用勾股定理即可求得。学优中考网 学优)中) 考，网 学#优中%考，网
