1、【课题研究】2、4、2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【讲师】 讲义编写者：数学教师孟老师【复习前面的相关知识】1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 ， ，则abOAaBbA B （ ）叫 与 的夹角.2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的a夹角是 ，则数量| | |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | | |cos，ba（ ）.并规定 与任何向量的数量积为 0 03、向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积bab4、两个向量的数量积的性质：设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量abe1 = =|
2、 |cos；2 = 0ea3当 与 同向时， = | | |；当 与 反向时， = babab| | |特别的 = | |2或|4cos = ；5 | | | | |baab5、平面向量数量积的运算律交换律： = 数乘结合律：( ) = ( ) = (ab)b分配律：( + ) = + abcc一、 【学习目标】要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式能用所学知识解决有关综合问题二、 【自学内容和要求及自学过程】阅读教材 106107 页内容，回答问题（向量的坐标表示、模、两点间距离公式、垂直的充要条件、两非零向量夹角的余弦）怎样用坐标表示
3、平面向量的数量积？推导过程是什么？若已知两个非零向量 ， ，请你试用 和 的坐标表示),(1yxa),(2yxbabba结论：设 是 轴上的单位向量， 是 轴上的单位向量，那么i jy， 所以ji)(21jb 21122121 jyjixjii 又 ， ，i 0所以 a1yx这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即 b21若设 ，则根据数量积的坐标表示，你能求出 吗？),( |a结论：因为 = | |2，并且 ， ，a),(yxab21yx所以， = ，也即 .这就是向量的模长2|yx2|公式.根据向量的模长公式，请你推导出向量的两点间的距离公式.结论：如果表示向量 的有向线段的
4、起点和终点的坐标分别为a、 ，那么 ，又若 ，则),(1yx),(2 ),1212yx（ ),(yxa，所以：|a(平面内两点间的距离公式)11(yx根据所学内容，请你推导出两向量垂直的充要条件.结论：设 ， ，因为 = 0，),2xbab所以， .ba021请你推导出两非零向量的夹角的余弦.结论：因为 cos = ，并且 ，所以 cos |baa21yx= 221yx|ba注意： .0三、 【综合练习与思考探索】例 1 设 = (5, 7)， = (6, 4)，求 bab解： = 5(6) + (7)(4) = 30 + a28 = 2例 2 已知 (1, 2)， (2, 3)， (2, 5
5、)，求证：ABC 是直角三角形abc证明： =(21, 32) = (1, 1), = (21, 52) = (3, ABAC3). =1(3) + 13 = 0 .ABC 是直角三CB角形例 3 已知 = (3, 1)， = (1, 2)，求满足 = 9 与 = 4 的向量abxabx解：设 = (t, s)，x由 = (2, 3) 429349t32st例 4 已知 （， ） ， （ ， ） ，则 与 的夹abab角是多少?分析：为求 与 夹角，需先求 及 ，再结合夹a角 的范围确定其值.解：由 （， ） ， （ ， ）a3b3有 （ ）， ， b ab2记 与 的夹角为 ，则 cos a
6、b 2ba又 ， 4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例 5 如图，以原点和 A (5, 2)为顶点作等腰直角ABC，使 = 90，求b点 和向量 的坐标bB解：设 点坐标( x, y)，则 = (x, y)， = (x5, y2)OBA x(x5) + y(y2) = 0 即： x2 + y2 5x 2y = 0OA又| | = | | x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10 x + 4y = OBA29由 273294100512 yyyx或 点坐标 或 ； = 或 b)3,7()7,(AB),3()3,(例 6 在 ABC 中， =(2, 3)， =(1
7、, k)，且ABC 的一个内角为直C角，求 k 值解：当 = 90时， = 0，21 +3 k = 0 k = 23 aAB当 = 90时， = 0， = = (12, k3) = (1, bCABk3)2(1) +3( k3) = 0 k = 31当 C= 90时， = 0，1 + k(k3) = 0 k = AB213四、 【作业】1、必做题：习题 2.4A 组 5、9、10、11；2、选做题: 习题 2.4B 组 2.七、 【课后小练】第一部分：基础知识训练1.若 =(-4,3), =(5,6),则 3| | （ ）ababA.23 B.57 C.63 D.832.已知 (1,2), (
8、2,3), (-2,5)，则 为（ ）cc A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知 =(4,3),向量 是垂直 的单位向量，则 等于（ ）ababA. 或 B. 或 )54,3(),()54,3(),(C. 或 D. 或 )54,3()3,()54,3(),(4. =(2,3), =(-2,4),则( + )( - )= .abab5.已知 (3，2)， (-1，-1) ，若点 P(x,- )在线段 的中垂线上，21ab则 x= .6.已知 (1，0)， (3，1)， (2，0)，且 = , = ,则 与 的abcBCA夹角为 .参考答案：1.D 2.A 3.
9、D 4. 7 5. 6.4547第二部分：课后作业部分1.已知 =(2,3), =(-4,7),则 在 方向上的投影为（ ）ababA. B. C. D. 1351356652.已知 =( ，)， =(-3,5)且 与 的夹角为钝角，则 的取值范abab围是（ ）A. B. C. D. 3103103103103.给定两个向量 =(3,4), =(2,-1)且( +x )( - ),则 x 等于ababA.23 B. C. D. 22424.已知| |= , =(1,2)且 ,则 的坐标为 .105.已知 =(1,2), (1,1), = -k ,若 ，则 .abcac6.已知 =(3,0),
10、 =(k,5)且 与 的夹角为 ，则 k 的值为 .b437.已知 =(3,-1), =(1,2),求满足条件 x =9 与 x =-4 的向量bx.8.已知点 A (1，2)和 B (4，-1)，问能否在 y 轴上找到一点 C，使ABC90，若不能，说明理由；若能，求 C 点坐标.9.四边形 ABCD 中= (6,1), =(x,y)， =(-2,-3),ABD(1)若 ，求 x 与 y 间的关系式；C(2)满足(1)问的同时又有 ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.参考答案：1.C 2.A 3.C4. （ ， ）或（- ， ）22 5.( ) 6.-5 7.(2,-3) 8.不能
11、(理由略)51,29.(1)x+2y=0 (2) S 四边形 ABCD=16136yx或第三部分：拔高训练部分已知 （3，4） ， （4， 3） ，求 x,y 的值使( x +y ) ，abab且x +y =1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由 （3，4） ， （ 4，3） ，有 x +y =(3x+4y,4x+3y)又（ x +y ） (x +y ) 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0abab即 25x+24y 又 x +y =1 x +y （ x+4y） （ x+3y） 整理得：25 x 48 xy+25y 即 x(25x+24y)+24xy+25y 由有 24xy+25y 将变形代入可得： y= 75再代回得： 75324yx和
