1、第十二章 压杆稳定,1，本章主要研究压杆稳定的概念；2，临界力和临界应力计算；3，压杆的稳定计算；4，提高压杆稳定性的措施。,12.1 压杆稳定的概念,如图12.1所示的两根矩形截面的松木直杆，它们的面积均为A=50mm7mm，长度分别为30mm与1000mm，强度极限b=40MPa。按强度考虑，两杆的极限承载能力均应为P=bA=40507N=14000N但是，当给两杆缓缓施加压力时，实验结果表明，长度为30mm的杆可承受接近14000N的压力，且在破坏前一直保持着直线形状。,12.1.1 压杆的稳定性,图12.1,但是长度为1000mm的杆，压力只加到约800N时，就开始变弯，如继续增大压力
2、，则杆的弯曲变形急剧加大而折断。由此可见，细长压杆丧失工作能力不是强度不够，而是由于其轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所致，这种现象称为压杆丧失稳定，简称压杆失稳。,为了研究细长压杆的失稳过程，取一细长直杆，在杆端施加一个逐渐增大的轴向压力P(图12.2(a)。当力P不大时，压杆保持直线平衡状态。这时，如果给杆加一横向干扰力Q，杆便发生微小的弯曲变形，当去掉干扰力后，杆经过若干次摆动，仍恢复为原来的直线形状(图12.2(b)，杆件原来的直线形状的平衡状态称为稳定平衡。,12.1.2 压杆的稳定平衡,图12.2,当压力P超过某一值时，杆在横向力干扰下发生弯曲，当除去干扰力后，杆就不能恢复到原来
3、的直线形状，而在弯曲状态下保持新的平衡(图12.2(c)，此时杆件原来的直线形状的平衡状态称为不稳定平衡。随着压力P的逐渐增大，压杆就会从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态。当压杆处于由稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界状态时，作用于压杆上的压力称为临界力，以Pcr表示。 对于压杆，PPcr时处于稳定平衡，PPcr时处于不稳定平衡。,12.2 临界力和临界应力,当作用在压杆上的压力P=Pcr时，杆在干扰力的影响下将变弯。在杆的变形不大、杆内应力不超过比例极限的情况下，根据弯曲变形的理论可以求出临界力的大小为Pcr= 2EI/(l)2其中，与支承情况有关的长度系数，其值见表12.1；上式称为欧拉公式。
4、,13.2.1 欧拉公式,表12.1 压杆长度系数,压杆在临界力作用下，横截面上的平均正应力称为压杆的临界应力，以cr表示。若以A表示压杆的横截面面积，则由欧拉公式得到的临界应力为cr= Pcr/A =2EI/A(l)2若以 I/A =i2代入上式，则cr= 2E/(l)2 i2= 2E/(l/i) 2 令= l/i则压杆临界应力的欧拉公式为cr= 2E/2 i称为截面的惯性半径，而称为压杆的柔度或长细比。,12.2.2 临界应力,欧拉公式是在材料服从虎克定律的条件下导出的，所以只有在临界应力小于比例极限的条件下才能应用，即cr=2E/2 p或改写为以柔度表达的形式2E/p =p式中p是与材料
5、比例极限相对应的柔度。工程中把p的压杆称为细长杆或大柔度杆，只有细长杆才能应用欧拉公式计算临界力或临界应力。,12.2.3 欧拉公式的适用范围,当压杆的柔度小于p时，称为中长杆或中柔度杆。这类压杆的临界应力超出了比例极限的范围，不能应用欧拉公式，目前采用在实验基础上建立的经验公式。在我国的钢结构设计规范中，采用抛物线经验公式,12.2.4 经验公式,根据压杆临界应力在比例极限内的欧拉公式，以及超过比例极限的抛物线经验公式，将临界应力cr与柔度的函数关系用曲线表示，得到的函数曲线称为临界应力总图。图12.3为A3钢的临界应力总图。,12.2.5 临界应力总图,图12.3,【例 12.1】一端固定
6、，一端自由的受压柱，长l=1m，材料为A3钢，E=200GPa。试计算图12.4(a)、(b)所示两种截面的柱子的临界应力和临界力。 【解】由表12.1查得一端固定、一端自由的压杆，长度系数=2。 (1) 圆形截面I= d4/64 ，A=d2/4i= I/A = d/4 =7mm= l/i = 21000/7 =286c=123用欧拉公式计算临界应力和临界力cr= 2E/2 = 24.13MPaPcr=crA=14.89kN,图13.4,(2) 矩形截面Imin= hb3/12，A=bhi=Imin/A= b/12= 5.77= l/i = 21000/5.77 =347c=123用欧拉公式计
7、算临界应力和临界力cr= 2E/2 = 16.39MPaPcr=crA=9.83kN,【例 12.2】图12.5所示的连杆，材料为A3钢。已知连杆横截面的面积A=720mm2，惯性矩Iz=6.5104mm4，Iy=3.8104mm4。试求此连杆的临界应力和临界力。 【解】(1) 计算柔度，判断失稳平面连杆在x-y平面内失稳时，中性轴为z轴，连杆两端可简化为铰链，由表13.1查得长度系数=1，则iz=Iz/A =9.5mmz= l/iz = 1700/9.5 =73.7连杆在x-z平面内失稳时，中性轴为y轴，连杆两端可视为固定端，由表13.1查得长度系数=0.7，则iy=Iy/A=7.26mm,
8、图12.5,y= l/iy = 0.7700/7.26 =67.4由于zy，所以连杆将先在x-y平面内失稳，=z=73.7。 (2) 计算临界应力和临界力因为=73.7c=123，应采用抛物线经验公式计算其临界应力和临界力。对于A3钢cr=240-0.006822=203MPaPcr=crA=203720N=46.16kN,12.3 压杆的稳定计算,为了保证压杆具有足够的稳定性，应使作用在杆上的压力P不超过压杆的临界力Pcr，而且还应有一定程度的稳定储备。所以，压杆的稳定条件为P Pcr/Kw 将式(12.6)两边除以压杆横截面面积A，可写成以应力表达的形式= P/A cr,12.3.1 压杆
9、的稳定条件,在工程实际中，为了简化压杆的稳定计算，常将变化的稳定许用应力cr与强度许用应力联系起来，表达为cr= 称为折减系数，它是稳定许用应力与强度许用应力之间的比值。也是一个随柔度而变化的量，表12.2列出了几种常用材料的折减系数。式(12.7)可写为= P/A 上式称为压杆折减系数法的稳定条件。,12.3.2 折减系数法,表12.2 压杆的折减系数,应用稳定条件式(12.8)，能求解压杆稳定方面的三种计算，即稳定性校核、确定许用荷载和截面设计。对于压杆的截面设计应注意，由于式(12.8)中有A和两个相关联的未知量，所以工程中采用试算法进行计算。将稳定条件改写为：A P/,试算法的步骤如下
10、：(1) 先假设一个适中的1值(一般先取中间值1=0.5)，由稳定条件计算出截面面积A1。(2) 由A1计算I1、i1及1，再由表查出与1相当的1。比较查得的1与假设的1，如果两者比较接近，对所选的截面进行稳定校核。(3) 若1与1相差较大，就设2= 1+1/2 ，进行第二轮计算。直至查得的n与假设的n接近为止，再对所选的截面进行稳定校核。,【例 12.3】一圆形截面木柱，柱高6m，直径d=200mm，两端铰支，承受轴向压力P=50kN,木材的许用应力=10MPa。试校核木柱的稳定性。 【解】(1) 计算柔度圆形截面的惯性半径i= d/4 = 200/4 mm=50mm两端铰支，长度系数=1。
11、柔度= l/i = 16000/50 =120 (2) 折减系数由表12.2查得=0.209,(3) 校核稳定性= P/A =1.59MPa=0.20910MPa=2.09MPa该木柱满足稳定性。,【例 12.4】一钢管支柱，长l=2.2m，两端铰支。外径D=102mm，内径d=86mm，材料为A3钢，许用应力=160MPa。试求其许用荷载Pcr。 【解】(1) 计算柔度支柱两端铰支，长度系数=1。I= /64 (D4-d4)= 262104mm4A= /4 (D2-d2)=23.6102mm2i=I/A =262104/23.6102mm=33.3mm= l/i = 12.2103/33.3
12、 =66 (2) 计算折减系数由表12.2查出,当=60时，=0.842；当=70时，=0.789。用直线插入法确定=66时的=0.789+ 70-66/70-60 (0.842-0.789)=0.789+0.021=0.81 (3) 确定许用荷载Pcr=A=306kN,【例 12.5】一根圆截面的立柱，两端均为固定端，木材许用应力=12MPa，承受轴向压力P=32kN，柱高l=5m。试选择立柱的直径d。 【解】由于两端固定，长度系数=0.5。 (1) 第一次试算设1=0.5，则A1= d21/4 = P/1 所以 d1=4P/1=82.4mmi1= d1/4 = 82.4/4 mm=20.6
13、mm1= l/i1 = 0.55103/20.6 =121查表12.2，由直线插入法得1=0.204。1与1相差太大，应进行第二次试算。,(2) 第二次试算设2= （1+1）/2 = （0.5+0.204/2） =0.352则 d2=4P/2=98.2mmi2= d2/4 = 98.2/4 mm=24.6mm2= l/i2 =102查表13.2，由直线插入法得2=0.289。2与2相差还较大，应进行第三次试算。 (3) 第三次试算设 3= （2+2）/2 = （0.352+0.289）/2 =0.320则 d3=4P/3=103mmi3= d3/4 = 103/4 mm=25.8mm,3= l
14、/i3 = 0.55103/25.8 =97查表13.2，由直线插入法得3=0.321。3与3相差非常小，不必再选。(4) 稳定性校核3=0.32112MPa=3.85MPa= P/A3 =3.84MPa3故确定圆柱直径d=103mm。,【例 12.6】图12.6所示的一根用工字钢做成的柱，下端固定，上端自由，受轴向压力P=250kN作用。柱高2m，材料为A3钢，许用应力=170MPa。试选择工字钢型号。 【解】一端固定，一端自由的柱，长度系数=2。 (1) 第一次试算设1=0.5，则A1= P/1=29.4cm2由型钢表选择18号工字钢。由于IyIz，失稳将在以y轴为中性轴方向发生，所以i=
15、iy。查型钢表得A1=30.6cm2，i1=2.0cm1= l/i1 = 22000/210 =200,图12.6,查表得1=0.180，1与1相差太大，应进行第二次试算。 (2) 第二次试算设2= 1+1/2 = 0.5+0.18/2=0.34，则A2= P/2=43.25cm2由型钢表选择22b号工字钢，有A2=46.4cm2，i2=2.27cm2= l/i2 = 22000/2.2710 =176查表得2=0.228，2与2相差还较大，需进行第三次试算。,(3) 第三次试算设 3= 2+2/2 = 0.34+0.228/2 =0.284则A3 = P/3= 51.78cm2由型钢表选择2
16、5b号工字钢，有A3=53.5cm2，i3=2.4043= l/i3 =166查表得3=0.255，3与3相差还较大，需进行第四次试算。 (4) 第四次试算设4= 3+3/2 = 0.284+0.255/2=0.270A4= P/4= 54.47cm2,由型钢表选择28a号工字钢，有A4=55.45cm2，i4=2.4954= l/i4 = 22000/2.49510 =160查表得4=0.272，4与4相差非常小，不必再选。 (5) 稳定性校核4=0.272170MPa=46.2MPa= P/A4= 45MPa3所以，选28a号工字钢是合适的。,12.4 提高压杆稳定性的措施,对于大柔度杆，
17、根据欧拉公式可知，压杆的临界应力与材料的弹性模量E成正比，而与材料的强度指标无关，由于各种钢材的E值相差不大，因此没有必要选用优质钢材。对于中柔度杆，根据经验公式可知，临界应力与材料的屈服极限和比例极限有关，所以采用高强度钢可在一定程度上提高压杆的稳定性。,12.4.1 合理选择材料,从表12.1中可以看出，压杆两端连接的刚性越好，长度系数越小，则越小，临界应力就越大。因此提高支承的刚性，可以提高压杆的稳定性。,12.4.2 改善支承情况,临界应力cr是随柔度的减小而增大，而又与惯性半径i成反比。因此，增大i值，可提高压杆的稳定性。 当压杆在各纵向平面内的约束情况相同时，应采用使各个方向的惯性矩相同的截面，如圆形截面和方形截面。当压杆在两个主惯性平面内的约束情况不相同时，应采用两个方向惯性矩不同的截面，如矩形截面和工字形截面等，以与相应的约束情况配合，从而保证两个主惯性平面内的柔度相同。,12.4.3 选择合理的截面形状,在其他条件相同的情况下，减小压杆的长度，可以降低压杆的柔度，从而提高其稳定性。在可能的情况下，压杆增加中间支承，亦能有效地减小压杆的长度，提高压杆的稳定性。此外，在结构允许的情况下，将压杆转换成拉杆，可从根本上消除稳定性问题。,12.4.4 减小压杆的长度,
