1、2、3、4 平面向量的坐标表示讲义编写者：数学教师孟老师如何用坐标表示两个共线向量？如何运用定比分点公式求点的坐标？这是我们本节课要学习的内容.【复习昨天的内容】1 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2向量加法的交换律： + = +ab3向量加法的结合律：( +) + = + ( + )bca4向量的减法向量 a 加上的b 相反向量，叫做 a 与 b 的差即： a b = a + (b) 5差向量的意义： = a, = b, 则 = a b 即 a b 可以OABA表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量6实数与向量的积：实数 与向量
2、的积是一个向量，记作： （1）| |=| |；（2）0 时 与 方向相同；请你证明 ( )的充要条件是 x1y2-x2y1=0.ab0结论 ：设 =(x1, y1) ， =(x2, y2) 其中 ba由 = 得， (x1, y1) =(x 2, y2) 消去 ，x 1y2-21x2y1=0探究：（1）消去 时不能两式相除，y 1, y2有可能为 0， bx 2, y2中至少有一个不为 00（2）充要条件不能写成 x 1, x2有可能为 021xy(3)从而向量共线的充要条件有两种形式： ( )ab00121yxba2、自学教材 99 页例 8 及 100 页探究内容，回答问题（定比分点）什么是
3、定比分点及 ？结论：P 1, P2是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1, P2的任一点，存在实数 ，使 = ， 叫做点 P 分 所成的比，有三种情22况：什么是定比分点坐标公式的坐标表示.结论: 若点 P (x1,y1) ， (x2,y2)， 为实数，且 ，则点 P 的坐标为（ ） ，我们称 为P12 1,2yx点 P 分 所成的比设 = 点 P1, P, P2坐标为(x 1,y1) (x,y) 2112(x2,y2)，由向量的坐标运算 =(x-x1,y-y1) ， =( x2-x, y2-y) = (x-x 1,y-y1) =( x 2-x, y2-y)12 定比分点坐标公式(
4、)点)(21yyxx12 1P 分 所成的比与点 P 分 所成的比是两个不同的比，注意方向12 21点 P 的位置与 的范围的关系是什么？结论：当 时， 与 同向共线，这时称点 P 为 的12 21内分点特别地，当 时，有 ，即点 P 是线段 之中P点，其坐标为（ ）2,11yx当 ( )时， 与 反向共线，这时称点 P 为12的外分点21P探究：若 、 是直线 上的两点，点 P 是 上不同于 、 的ll任意一点，则存在一个实数 ，使 ， 叫做 P 分有向线段P12所成的比21P而且，当点 P 在线段 上时， ；当点 P 在线段 或 2 1的延长线上时， 对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1
5、)若 ，则点 P 为线段 的内分点；(2)若 ，则点 P 为线段 的外分点一般来说，(1)是正确的，而(2)却不一定正确这是因为，当 时，定比分点的坐标公式 和 显然都12x12y无意义，也就是说，当 时，定比分点不存在由此可见，当点 P 为线段 的外分点时，应有 且 线段定比分点坐标公式的向量形式是什么？结论：在平面内任取一点 O，设 ， ，1P2由于 ， P112OP且有 ，所以 -a= (b- )即可得22=Oba11这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用三、 【综合练习与思考探索】练习一：教材例 4、例 5；练习二：教材例 6、例 7；练习三：教材 100 页练习 1、2、3、4、5
6、、6、7.四、 【作业】1、必做题：习题 2.3A 组 5、6、7；2、选做题：习题 2.3B 组 1、2.五、 【小结】本节课主要学习了向量共线的充要条件及定比分点公式.内容比较重要，要注意熟练的应用.六、 【教学反思】在理解的基础上教授课程.七、 【课后小练】1、若向量 =(-1,x)与 =(-x, 2)共线且方向相同，求 xab解： =(-1,x)与 =(-x, 2) 共线 (-1)2- x(-x)=0 x= 与 方向相同 x=222、已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 与 平行吗？ABCD直线 AB 与平行于直线 CD 吗？解： =(1-(
7、-1), 3-(-1)=(2, 4) , =(2-1,7-5)=(1,2)AB又 22-41=0 ABC又 =(1-(-1), 5-(-1)=(2,6) =(2, 4)C24-260 与 不平行A，B，C 不共线 AB 与 CD 不重合 ABCD3、若 a=(2,3),b=(4,-1+y)，且 a b，则 y=（ ）A6 B5 C7 D84、若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则 x 的值为（ ）A-3 B-1 C1 D35、若 =i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、 j 的方向分别与 x、 y 轴D正方向相同且为单位向量) 与 共线，则 x、y 的值可能分
8、别为（ A） A1 ，2 B2，2 C3 ，2 D2 ，46、已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a b，则 y= 7、已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为 8、已知 ABCD 四个顶点的坐标为 A(5，7)， B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x= 参考答案：3、 C 4、B 5、B 6、 3 7、 8、 519、已知 A(1，3)， B(，)， （，）为三角形的三个顶点，L、 M、 N 分别是 BC、 CA、 AB 上的点，满足BL BC CM CA NA AB，求 L、 M、 N 三点的坐标分析：所给线段长度的比，实为相应
9、向量模的比，故可转换所给比值为点 L、 M、 N 分向量 、 、 所成的CAB比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标另外，要求 L、 M、 N 的坐标，即求 、 、 的坐标(这里 OOLMN为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式下面给出第二种解法解： （，） ， （，） ， （，） ， （，） ， （，） ， （，）OABC又 可得： L 分 ， M 分 ， N 分 所成的比均为 CA （，） （-2，0）=（-11O332， ）32= + = (1,3)+ （，）OAC（ ， ）5 （，） （，）N1BO3132（，） （ ， ） 、 （ ， ） 、 （，）为所求325上述两种解题思
10、路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用10、已知三点 A(0，8)， B(，)， （，） ， 点内分 的比为 ， E 点在 BC 边上，且使 BDE 的面积是B ABC 面积的一半，求 DE 中点的坐标分析：要求 DE 中点的坐标，只要求得点 D、 E 的坐标即可，又由于点 E 在 BC 上， BDE 与 ABC 有公共顶点 B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解解：由已知有 ，则得 AD31BA34又 ，而 sin DBE，21ABCDES21DBE sinABC，且DBEABC C ，即得：21BAE32BE又点 E 在边 BC 上，所以 ，点 E 分 成比 2
11、CBC由定比分点坐标公式有,即 （，） ，21)3(054Eyx又由,有 D（，）6318)4(30Dyx记线段 DE 的中点为 M(x,y),则,即 M（ ，）为所求26)(yx111、已知点 A(，-)，点 （，） ，延长 AB 到 P，使 ，求点 P 的坐标PB解：因为点 P 在 AB 上的延长线上， P 为 的外分点，所以，AB ， ，又根据 ，可知 ，AB由分点坐标公式易得 P 点的坐标为（，） 12、已知两点 P （，） ， （，） ，求点 P( ， )分21所成的比 及 的值21解：由线段的定比分点坐标公式得，解得132)8(y249175y13、已知点 A 分有向线段 的比为
12、2，则在下列结论中错误的是（ BC）A 点 C 分 的比是 - B 点 C 分 的比是-331AC 点 C 分 的比是- D 点 A 分 的比是 2214、已知两点 P （，） 、 （，） ，点 P（ ， ）分有37向线段 所成的比为 ，则 、 的值为（ ）21A ， B ， C ， D，441418115、 ABC 的两个顶点 A(3，7)和 B(-2，5)，若 AC 的中点在 x 轴上， BC的中点在 y 轴上，则顶点 C 的坐标是（ ）A (2，-7) B (-7，2) C (-3，-5) D (-5，-3)16、已知点 A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么
13、x= 17、 ABC 的顶点 A(2，3)， B(-4，-2)和重心 G(2，-1)，则 C 点坐标为 18、已知 M 为 ABC 边 AB 上的一点，且 ，则 M 分81所成的比为 AB19、已知点 A(-1,-4)、 B(5,2)，线段 AB 上的三等分点依次为 P 、 ，求 、 点的坐标以及 A、 B 分 所成的比 21P20、过 P （，） 、 （，）的直线与一次函数 的582xy图象交于点 P，求 P 分 所成的比值2121、已知平行四边形 ABCD 一个顶点坐标为 A(-2,1)，一组对边 AB、CD的中点分别为 M(3，0) 、N (-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 参考答案：13、 D 14、C 15、A 16、2 或 17、(8,-4) 18、 277119、 P1(1,-2),P2(3,0),A、 B 分 所成的比 1、 2分别为- ,-1p2 20、 21、 （，） ， （，） ， （，）5
