1、【课题研究】 1、1、1 算法的概念【讲师】 讲义编写者：数学教师孟老师一、 【学习目标】1、正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点；2、会写出解二元一次方程组、判断一个数为质数和二分法求近似解的算法；3、把自然语言转化为算法语言.二、 【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第 2 页内容，回答问题（解二元一次方程组的步骤）我们知道解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法，请你结合教材的例子 总结用加减消元法和代入消元法解二元一12yx次方程组的步骤.请同学们总结解一般二元一次方程组 的步骤.1212cybxa结论：加减消元法解二元一次方程组：回顾二元一次方程组的求解过程，我们可以归纳
2、出以下步骤：第一步，12yx+2，得 5x=1.第二步,解，得：x=1/5，第三步，-2 得 5y=3.第四步,解，得 y=3/5.第五步：得到方程组的解为代入消元法解二元一次方程组 我们可以归纳出以下步5/13xy 12yx骤：第一步，由得 x=2y-1.第二步，把代入，得 2（2y-1）+y=1.第三步，解得 y=3/5.第四步，把代入，得x=23/5-1=1/5.第五步，得到方程组的解为： 对于一般的一元5/13xy二次方程组 ，其中 ，可以写出类似的求解步1212cybxa 0121ba骤：第一步， -2 ,得 .第二步，212)(cb解，得 .第三步， - ,/)(1a2得 .第四步
3、，解，得2121)(cy.第五步，得到方程组的解为/bacay2121)/()(bbcxa上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法，我们可以根据这一算法编制计算机程序，让计算机来解二元一次方程组.2、根据第一块内容，结合算法的定义，回答问题（算法）根据上述实例，说说你对算法的理解.请同学们总结算法的特征.结论：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限点的步骤.现在算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.确定性：算法的每一部都应当做到准确无误、不重复、
4、不遗漏.不重复是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，不遗漏是指缺少哪一步都无法完成任务.逻辑性:算法从开始的第一步直到最后一步之间做到环环相扣，分工明确，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的继续.有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题有明确的结果，也就是说必须在有限步骤内完成任务，不能无限制的持续进行.思考：我们为什么要学习算法？结论：在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，它的优点是一种通法，只要按部就班的去做，总能得到结果.因此算法是计算科学
5、的基础.三、 【综合练习与思考探索】练习一：教材例 1：设计一个算法，判断 7 是否为质数.设计一个算法，判断 35 是否为质数.结论：根据质数的定义，可以这样判断：依次用 26 除 7，如果它们中有一个能整除 7，则 7 不是质数，否则 7 是质数.根据以上分析，可写出如下的算法：第一步：用 2 除 7，得到余数 1，因为余数不为 0，所以 2 不能整除 7.第二步：用 3 除 7，得到余数 1，因为余数不为 0，所以 3 不能整除 7.第三步：用 4 除 7，得到余数 3，因为余数不为 0，所以 4 不能整除 7.第四步：用 5 除 7，得到余数 2，因为余数不为 0，所以 5 不能整除
6、7.第五步：用 6 除 7，得到余数 1，因为余数不为 0，所以 6 不能整除 7.因此，7 是质数.类似地，可写出“判断 35 是否为质数”的算法：第一步：用 2 除 35，得到余数 1，因为余数不为 0，所以 2 不能整除35.第二步：用 3 除 35，得到余数 2，因为余数不为 0，所以 3 不能整除35.第三步：用 4 除 35，得到余数 3，因为余数不为 0，所以 4 不能整除35.第四步：用 5 除 35，得到余数 0，因为余数为 0，所以 5 能整除 35.因此，35 不是质数.引申：教材 P4 探究：请写出判断整数 n(n2)是否为质数的算法.对于任意的整数 n(n2)，若用
7、i 表示 2（n-1）中的任意整数，则判断整数 n(n2)是否为质数的算法包含下面的重复操作.用 i 除 n，得到余数 r，判断余数 r 是否为 0，若是，则 n 不是质数；否则，将 i 的值增加 1.再执行同样的操作.这个操作一直要进行到 i 的值等于（n-1）为止.因此，判断整数n(n2)是否为质数的算法可以写成：第一步，给定大于 2 的整数 n.第二步，令 i=2.第三步，用 i 除 n，得到余数 r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则 n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的值增加 1，仍用 i 表示.第五步，判断“i（n-1） ”是否成立.若是，则 n 是质数，结束算法；否则，
8、返回第三步.练习二：教材例 2：写出用“二分法”求方程 x2-2=0(x0)的近似解的算法.结论：算法分析：令 f(x)= x2-2=0(x0),则方程 x2-2=0 的解就是函数 f(x)的零点.二分法的基本思想是：把函数 f(x)的零点所在的区间a,b（满足f(a)f(b)max, 则 max=b.S3 如果 Cmax, 则 max=c.S4 max 就是 a,b,c 中的最大值练习四：写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法.可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式 1+2+n=进行，也可以根据加法运算律简化运算过程.2)1(n算法 1：S1：计算 1+2 得到 3；S2：将第一步中的
9、运算结果 3 与 3 相加得到 6；S3：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10；S4：将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15；S5：将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21.算法 2：S1：取 n=6；S2：计算 ；2)1(nS3：输出运算结果.算法 3：S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=37；S2：计算 37；S3：输出运算结果.小结：算法 1 是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如 1+2+3+10000，再用这种方法是行不通的；算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法，但比较而言，算法 2 最为简单，且易于在计算机上执
10、行操作.引申：求 1357911 的值，写出其算法.算法 1；第一步，先求 13，得到结果 3；第二步，将第一步所得结果 3 再乘以 5，得到结果 15；第三步，再将 15 乘以 7，得到结果 105；第四步，再将 105 乘以 9，得到 945；第五步，再将 945 乘以 11，得到 10395，即是最后结果.算法 2：用 P 表示被乘数，i 表示乘数.S1 使 P=1.S2 使 i=3S3 使 P=PiS4 使 i=i+2S5 若 i11，则返回到 S3 继续执行；否则算法结束.小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句.因此，上述算法 2 不仅是正确的，而且是在计算机上能够实
11、现的较好的算法.在上面的算法中，S3，S4，S5 构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量 P、i 的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤 S5 对 i 的值进行检验，一旦发现 i 的值大于 11 时，立即停止循环，同时输出最后一个 P 的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍.四、 【作业】1、必做题：教材第 5 页练习 1、2；2、选做题：写出通过尺规作图确定线段 AB 一个五等分点的算法.七、 【课后练习】1、同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午 2 时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法.2、写出解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a
12、0)的一个算法.3、写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法（打印结果）4、写出解不等式 x2-2x-30 的不等式的解的步骤（为方便，我们设 a0）如下：第一步：计算= ；cb42第二步：若0，示出方程两根 （设 x1x2） ，acbx242,1则不等式解集为 x | xx1或 xx2；第三步：若= 0，则不等式解集为 x | xR 且 x ；第四步：若0，则不等式的解集为 R.5、求过 P(a1,b1)、Q( a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：第一步：取 x1= a1， y1= b1， x2= a2， y1= b2；第二步：若 x1= x2；第三步：输出斜率不存在；第四步：若 x1 x2；第五步：计算 ；12yk第六步：输出结果.6、写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.第一步：取 x1=-2， y1=-1， x2=2， y2=3；第二步：计算 ；1212第三步：在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m，得直线与 y 轴交点(0,m)；第四步：在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n，得直线与 x 轴交点(n,0)；第五步：计算 S= ；|21nm第六步：输出运算结果
