1、【课题研究】 1、3、1 案例 1 辗转相除法与更相减损术【讲师】 讲义编写者：数学教师孟老师一、 【学习目标】1、用辗转相除法求最大公约数.2、用更相减损术求最大公约数.二、 【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材 3435 页内容，回答问题（辗转相除法）怎样用短除法求最大公约数？怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？什么叫做辗转相除法求最大公约数？结论：求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的质数连乘起来.穷举法求两个正整数最大公约数的步骤：从两个数中较小数开始，由大到小列举，直到找到公约数立即停止列举，得到的公约数
2、便是最大公约数.辗转相除法求最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数 m，n.第二步，求余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数 r 是否为 0.若余数为 0，则输出结果，否则转向第二步继续循环执行.如此循环直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的，因此又叫做欧几里得算法.练习一：用短除法求 18 和 31 的最大公约数.用辗转相除法求8251 与 6105 的最大公约数.画出辗转相除法的程序框图，并写出程序.综合：请画出辗转相除法的程序和框图.2、阅读教材 3637
3、 页内容，回答问题（更相减损术）怎样用更相减损术求最大公约数？结论：九章算术是中国古代的数学专著，其中的更相减损术也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”其算法如下：第一步，任意更定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用 2约减，若不是，则执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是最大公约数.练习二：用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数.思考：辗转相除法与更相减损术的区别与联系
4、是什么？1o都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.2o从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、 【作业】1、必做题：分别用辗转相除法和更相减损术求 261，319 的最大公约数；2、选做题：理解教材例题，并把例题总结到笔记本上.六、 【课后小练】1、用辗转相除法求下列各组数的最大公约数（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；1192、思考：用求质因数的方法可否求上述 4 组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由.3、思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在 BASIC 中实现.
