1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（52）换元法甲内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒
2、数方程 ax4+bx3+cx2+bx+a=0.两边都除以 x2,得 a(x2+ 1)+b(x+ x)+c=0.设 x+ 1=y, 那么 x2+ = y22, 原方程可化为 ay2+by+c2=0.对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是 1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4bx 3+cx2bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以 x2, 可化为 a(x2+ x)b(
3、x )+c=0.设 x 1=y, 则 x2+ 1=y2+2, 原方程可化为 ay2by+c+2=0.乙例题例 1. 解方程 112xx=x.解：设 =y, 那么 y2=2x+2 12x.原方程化为： y y2=0 .解得 y=0；或 y=2.当 y=0 时， 1x=0 (无解) 当 y=2 时， =2， 解得，x= 45. 检验（略）.学优中考网 例 2. 解方程：x 4+(x4) 4=626.解：（用平均值 2x 代换，可化为双二次方程.）设 y= x2 ，则 x=y+2. 原方程化为 (y+2) 4+(y2) 4=626. (y+2) 2(y 2)2)22(y+2) 2(y2) 2626=
4、0整理，得 y 4+24y2297=0. ( 这是关于 y 的双二次方程).(y2+33)(y29)=0. 当 y2+33=0 时， 无实根 ； 当 y29=0 时， y= 3.即 x2=3， x=5；或 x=1.例 3. 解方程：2x 4+3x316x 2+3x+2=0 . 解：这是个倒数方程，且知 x0，两边除以 x2,并整理 得 2(x2+ 1)+3(x+ )16=0. 设 x+ x=y, 则 x2+ =y22.原方程化为 2y 2+3y20=0. 解得 y=4；或 y= 5.由 y=4 得 x=2+ 3；或 x=2 3.由 y=2.5 得 x=2 ；或 x= 1.例 4 解方程组 02
5、4522yxyx解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设 x+y=u, xy=v. 原方程组化为：0122vu. 解得 374vu； 或 9132vu.即 374xy ； 或 9132xy.解得： 321yx；或 321y；或 412y；或 412yx.学优中考网 丙练习 52 解下列方程和方程组：（1 到 15 题）：1. )7(2xx352x.2. (16x 29) 2+(16x29)(9x 216)+(9x 216) 2=(25x225) 2.3. (2x+7) 4+(2x+3)4=32 . 4. (2x 2x 6) 4+(2x2x8) 4=16.5. (2
6、15x)4+(2 35x)4=16.6. 2= 2. 7. 2x 43x 3x 23x+2=0.8. 1982xy9. 1602yx.10. 5636467222 x.11. (6x+7) 2(3x+4)(x=1)=6.12. 135yx. 13. 1025yx.14. 0182yxy. 15 x.16. 分解因式： (x+y2xy)(x+y 2)+(1 xy) 2； a 4+b4+(a+b)4 . 17. 已知：a+2=b2=c2=d2, 且 a+b+c+d=1989. 则 a=_,b= _,c=_,d=_ ( 1989 年泉州市初二数学双基赛题)18. a表示不大于 a 的最大整数，如 =1， =2，那么 方程 3x+1=2x 21 的所有根的和是_.(1987 年全国初中数学联赛题)丙练习 52 参考答案：1. 219 2. 43 3. 25 4. 2, 23, 4651 5. 321-， 6. 1 7. ,2 8. 773yxyxyx学优中考网 9. 55412yxyxyx10. 7,1 11. 3, 12. 1038 13. 82yx14. 34105yxyxyx15. x= 2516.设 x+y=a,xy=b 设 a2+b2=x,ab=y17.设原式=k, k=442 18. 2 可设 2x 21=t, x= t+ 4代入3x+1 学优中考网 学|优 中考，网
