1、北师大版初中数学定理知识点汇总八年级(下册)第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号 “”(或“”)连接的式子叫做不等式 .2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3. 准确“翻译”不等式,正确理解 “非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 大于等于 0(0) 0 和正数 不小于 0非正数 小于等于 0(0) 0 和负数 不大于 0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质, 并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变 ,即:如果 ab,那么 a+cb+c, a-cb-c.(2)
2、不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 ,即如果 ab,并且 c0,那么 acbc, .(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变 ,即:如果 ab,并且 cb,那么 a-b 是正数;反过来 ,如果 a-b 是正数, 那么 ab;如果 a=b,那么 a-b 等于 0;反过来, 如果 a-b 等于 0,那么 a=b;如果 ab a-b0a=b a-b=0a a-bb(或 ax0 时,解为 ;当 a=0 时,且 bb 两大取较大xa 两小取小axb 大小交叉中间找无解 在大小分离没有解(是空集)第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积
3、的形式, 这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘 ,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 .二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: 2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是 “积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律 ,即: 3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错 ;(2)公因式是否
4、提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式 ,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来, 就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: (2)完全平方公式: 3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如 就没有分解到底 .4. 运用公式法:(1)平方差公式: 应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式) 的平方;二项是异号.(2)完全平方公式:应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方 ; 还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.5. 因式分解的思路与解
5、题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积 ,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四. 分组分解法:1. 分组分解法: 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: 2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提, 并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.五. 十字相乘法:1.对于二次三项式 ,将 a 和
6、c 分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足 ,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解 . 如: 2. 二次三项式 的分解:3. 规律内涵:(1)理解:把 分解因式时,如果常数项 q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数 p 的符号相同.(2)如果常数项 q 是负数,那么把它分解成两个异号因数, 其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数 p.4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错 ;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章 分式一. 分式1. 两个整
7、数不能整除时,出现了分数 ;类似地, 当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式 A 除以整式 B,可以表示成 的形式.如果除式 B 中含有字母,那么称 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零 .2. 整式和分式统称为有理式, 即有: 3. 进行分数的化简与运算时, 常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以) 同一个不等于零的整式 ,分式的值不变.4. 一个分式的分子、分母有公因式时, 可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去, 这叫做约分.二. 分式的乘除法1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分
8、子 ,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘 .即: , 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方 .即: 逆向运用 ,当 n 为整数时,仍然有 成立.3. 分子与分母没有公因式的分式, 叫做最简分式.三. 分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分 .根据分式的基本性质, 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是: (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同
9、分母的分式, 然后再加减 ;上述法则用式子表示是: 3. 概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积 ,如果分母是多项式 ,则首先对多项式进行因式分解.四. 分式方程1. 解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘最简公分母,约去分母, 化成整式方程 ;解这个整式方程;把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零, 使最简公母为零的根是原方程的增根 ,必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤:审清题意;设未知数;根据题意找相等关系,列出 (分式)方程;解方程,并验根;写出答案.第四章 相似图形一.
10、 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m、n,那么就说这两条线段的比 AB:CD=m:n ,或写成 .2. 四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即 ,那么这四条线段a、b、 c、d 叫做成比例线段,简称比例线段.3. 注意点:a:b=k,说明 a 是 b 的 k 倍;由于线段 a、b 的长度都是正数,所以 k 是正数;比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;除了 a=b 之外 ,a:bb:a, 与 互为倒数;比例的基本性质:若 , 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则 二. 黄金分割1. 如
11、图 1,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比 . 2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四. 相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比.五. 相似三角形1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形 .2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比.3. 全等三角形是相似三角的特例, 这时相似比等于 1. 注意:证两个
12、相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4. 相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.5. 相似三角形周长的比等于相似比. 6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件1. 相似三角形的判定方法:一般三角形 直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边 (或两边的延长线 )相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.两角对应相等;两边对应成比例,且夹角相等 ;三边对应成比例. 一个锐角对应相等;两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.2. 平行线分线段成比例定理:三条平
13、行线截两条直线,所得的对应线段成比例 .如图 2, l1 / l2 / l3,则 .3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的放大与缩小1. 如果两个图形不仅是相似图形, 而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心 ; 这时的相似比又称为位似比 .2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似变换:变换后的图形,不仅与原图相似 ,而且对应顶点的连线相交于一点 ,并且对应点到这一交点的距
14、离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换 .这个交点叫做位似中心 .一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小 .第五章 数据的收集与处理一. 每周干家务活的时间1. 所要考察的对象的全体叫做总体; 把组成总体的每一个考察对象叫做个体; 从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查; 为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.二. 数据的收集1. 抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值 .而估计值是否接
15、近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章 证明(一)二. 定义与命题1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语 ,例如“一些 ”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题 .3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的, 并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理 .4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发, 用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.5.
16、 根据题设、定义以及公理、定理等 ,经过逻辑推理, 来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.三. 为什么它们平行1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理 )2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.四. 如果两条直线平行1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等 ;2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等 ;3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补 .五. 三角形和定理的证明1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于 1802. 一个三角形中至多只有一个直角
17、3. 一个三角形中至多只有一个钝角4. 一个三角形中至少有两个锐角六. 关注三角形的外角1. 三角形内角和定理的两个推论:推论 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（注：表示重点部分；表示了解部分；表示仅供参阅部分；）初二（下册）数学题精选分式：一：如果 abc=1,求证 + + =11ab1bc1ca解：原式= + +1ac2= + +babb1= 1a=1二：已知 + = ，则 + 等于多少？b)(29ab解： + =a1)=b)(292( ) =9a2 +4 +2 =92ab2（ ）=5=ab5+ = 2三：一个圆
18、柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间 t 分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4x。由题意得： tv82解之得： t5经检验得： 是原方程解。vx小口径水管速度为 ，大口径水管速度为 。tv85tv25四：联系实际编拟一道关于分式方程 的应用题。要求表述完整，条件充分并写8x出解答过程。解略五：已知 M 2yx、N 2yx，用“+”或“”连结 M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中 x
19、：y=5：2。解：选择一：222()xyyxy，当 x y=52 时， 5，原式= 732y选择二：22()xyxyxMN，当 x y=52 时， 5xy，原式=5372y选择三：2 2()xyxyNMxy，当 x y=52 时， 5，原式= 372y反比例函数：一 ： 一 张 边 长 为 16cm 正 方 形 的 纸 片 ， 剪 去 两 个 面 积 一 定 且 一 样 的 小 矩 形 得 到 一 个“E”图 案 如 图 1 所 示 小 矩 形 的 长 x（ cm） 与 宽 y（ cm） 之 间 的 函 数 关 系 如 图 2 所示 ：（ 1） 求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式
20、；（ 2） “E”图 案 的 面 积 是 多 少 ？（ 3） 如 果 小 矩 形 的 长 是 6 x 12cm， 求 小 矩 形 宽 的 范 围 .解：（1）设函数关系式为 xky函数图象经过（10，2） 102 k=20， xy20（2） xy0 xy=20， 16SE正（3）当 x=6 时， 36当 x=12 时， 512y小矩形的长是 6x12cm，小矩形宽的范围为 cmy3105二：是一个反比例函数图象的一部分，点 (10)A， ， ()B， 是它的两个端点（1）求此函数的解析式，并写出自变量 x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例解：（1）设 kyx， (1
21、0)A， 在图象上， 10k，即 10，其中 ； （2）答案不唯一例如：小明家离学校 km，每天以 k/hv的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间 10tv三：如图， A 和 B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 1yxABOxy答案：r=1 S=r=四：如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（2， 1-） ，且P（ 1-，2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于y 轴，垂足分别是 A、 B 11 1010 ABO xy（1）写出正比例函数和反比例函数的关系
22、式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、 OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值解：（1）设正比例函数解析式为 ykx，将点 M（ ， ）坐标代入得 12k=，所以21正比例函数解析式为 12= 同样可得，反比例函数解析式为 yx （2）当点 Q 在直线 DO 上运动时，设点 Q 的坐标为 1()2m， ， 于是 214OBSm =，而 (1)AP -，所以有， 24
23、m，解得 2 所以点 Q 的坐标为 1()， 和 (1)Q，- （3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OPCQ， OQPC，而点 P（ ， ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长2的最小值就只需求 OQ 的最小值因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 2()n， ，由勾股定理可得 2224()4Onn=+-+，所以当 ()0n-即 -时， O有最小值 4，又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 2Q同时取得最小值，所以 OQ 有最小值 2 由勾股定理得 OP 5，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是2()()4OPQ+=+五：如图
24、，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 Y 轴和 X 轴分别交于点 A、点 8，与反比例函图11xyB hx = 2xAOMQP图12xy fx = 2xBCAOMPQ数 y 一罟在第一象限的图象交于点 c(1，6)、点 D(3，x)过点 C 作 CE 上 y 轴于 E，过点D 作 DF 上 X 轴于 F(1)求 m，n 的值；(2)求直线 AB 的函数解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日， 西安发现了他的数学专著，其中有一文积求勾股法 ，它对“三边长为 3、4、5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积） ，以积率六除
25、之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数” 用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为 3、4、5 的整数倍， 设其面积为 S，则第一步： m；第二步：6S=k；第三步：分别用 3、4、5 乘以 k，得三边长” m（1）当面积 S 等于 150 时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程解：（1）当 S=150 时，k= = =5，m15026S所以三边长分别为：35=15，45=20，55=25；（2）证明：三边为 3、4、5 的整数倍，设为 k 倍，则三边为 3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且
26、3k、4k 为直角边其面积 S= （3k）（4k）=6k 2，1所以 k2= ，k= （取正值） ，6S即将面积除以 6，然后开方，即可得到倍数二：一张等腰三角形纸片，底边长 l5cm，底边上的高长 225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张答案：C三：如图，甲、乙两楼相距 20 米，甲楼高 20 米，小明站在距甲楼 10 米的 处目测得点A与甲、乙楼顶 刚好在同一直线上，且 A 与 B 相距 米，若小明的身高忽略不计，ABC、 350则乙楼的高度是 米2
27、0米乙CBA甲10米？米20米答案：40 米四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷 和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同侧，()A()BX、 到直线 的距离分别为 和 ，要在沪渝高速公路旁修建50kmB， X10km4一服务区 ，向 、 两景区运送游客小民设计了两种方案，图（ 1）是方案一的示意P图（ 与直线 垂直，垂足为 ） ， 到 、 的距离之和 ，图（2）是PASPAB方案二的示意图（点 关于直线 的对称点是 ，连接 交直线 于点 ） ， 到 、AB A的距离之和 2S（1）求 、 ，并比较它们的大小；1（2）请你说明 的值为最小；
28、B（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐Y标系， 到直线 的距离为 ，请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、BY0kmXYPQ、 、 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值AQBAP X图（1）YXBAQPO图（3）BAP X图（2）解:图 10（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,则 PC40,又 AP10,AC30 在 Rt ABC 中，AB50 AC30 BC40 BP 2402CPS1 024图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50，又 BC40BA 4152由轴对称知：PAPAS 2BA 10 1(2)如 图
29、10（2） ，在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知MAMAMB+MAMB+MAABS 2BA 为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B，连接 AB,交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求过 A、 B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G,AB 50102所求四边形的周长为五：已知：如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， ABC90， DE AC 于点 F，交 BC 于点G，交 AB 的延长线于点 E，且 AC（1）求证： ；BFG（2）若 ，求 AB 的长2ADC解：（1）证明： 于点 ，90D，
30、 F， E BF连接 ，AGAGAG,ABAF，Rtt （2）解：ADDC,DFAC，12AFCE30，D3ABFP XBAQYBADCEB GAFDCEBGAF四边形：一：如图， ACD、 ABE、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形.(1) 当 AB AC 时，证明四边形 ADFE 为平行四边形；(2) 当 AB = AC 时，顺次连结 A、 D、 F、 E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.解：(1) ABE、 BCF 为等边三角形， AB = BE = AE， BC = CF = FB， ABE = CBF = 60. FBE = CBA. FBE C
31、BA. EF = AC. 又 ADC 为等边三角形， CD = AD = AC. EF = AD. 同理可得 AE = DF. 四边形 AEFD 是平行四边形. (2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段. 当图形为菱形时， BAC60 （或 A 与 F 不重合、 ABC 不为正三角形）当图形为线段时， BAC = 60（或 A 与 F 重合、 ABC 为正三角形）. 二：如图，已知ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD=CE，连结 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连结 AF、BE 和 CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明。（
32、2）判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。（3）若 AB=6，BD=2DC，求四边形 ABEF 的面积。解：（1） （选证一） BEFC:0,6ACDADE: 0是 等 边 三 角 形 ， =,B是 等 边 三 角 形012,BFEBFC:（选证二） C:证明： 0,6AAB是 等 边 三 角 形0,6, ,DBEFDECFCC:是 等 边 三 角 形（选证三） A:证明： 0,6ABBA是 等 边 三 角 形EFDAB C图 70,6CDEAFB:是 等 边 三 角 形=是 等 边 三 角 形（2）四边形 ABDF 是平行四边形。由（1）知， 、 、 都是等边三角形。ACED:A
33、F06,F:四 边 形 B是 平 行 四 边 形（3）由（2）知， ）四边形 ABDF 是平行四边形。0,23sin611264103ABEFEABAEFGCSEF:四 边 形 四 边 形 是 梯 形过 作 于 ， 则三：如图，在 ABC 中， A、 B 的平分线交于点 D， DE AC 交 BC 于点 E， DF BC 交 AC于点 F（1）点 D 是 ABC 的_心；（2）求证：四边形 DECF 为菱形解：(1) 内. (2) 证法一：连接 CD， DE AC， DF BC， 四边形 DECF 为平行四边形，又 点 D 是 ABC 的内心， CD 平分 ACB，即 FCD ECD，又 FD
34、C ECD， FCD FDC FC FD， DECF 为菱形证法二：过 D 分别作 DG AB 于 G， DH BC 于 H， DI AC 于 I AD、 BD 分别平分 CAB、 ABC， DI=DG，DG=DH DH=DI DE AC， DF BC，四边形 DECF 为平行四边形，S DECF =CEDH =CFDI， CE=CF DECF 为菱形 四：在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，且ABE30，BEDE，连接BD点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 PQBD 交直线 BE 于点 Q(1) 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1） ，求证：
35、BEPD PQ；3（2）若 BC6，设 PQ 长为 x，以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ；（3）在的条件下，当点 P 运动到线段 ED 的中点时，连接 QC，过点 P 作 PFQC，垂足为 F，PF 交对角线 BD 于点 G（如图 2） ，求线段 PG 的长。解：（1）证明：A=90 ABE=30 AEB=60EB=ED EBD=EDB=30PQBD EQP=EBD EPQ=EDBEPQ=EQP=30 EQ=EP 过点 E 作 EMOP 垂足为 M PQ=2PMEPM=30PM= PE PE= PQ 233B
36、E=DE=PD+PE BE=PD+ PQ （2）解：由题意知 AE= BE DE=BE=2AE21AD=BC=6 AE=2 DE=BE=4 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1）过点 Q 做 QHAD 于点 H QH= PQ= x2由（1）得 PD=BE- PQ=4- x3y= PDQH= 221当点 P 在线段 ED 的延长线上时（如图 2）过点 Q 作 QHDA 交 DA 延长线于点 H QH= x1过点 E 作 EMPQ 于点 M 同理可得 EP=EQ= PQ BE= PQ-PD33PD= x-4 y= PDQH= 321x23（3）解：连接 PC 交 BD 于点 N（如图 3）点 P
37、 是线段 ED 中点EP=PD=2 PQ= DC=AB=AEtan60=232PC= =4 cosDPC= = DPC=60DCPCD1QPC=180-EPQ-DPC=90PQBD PND=QPC=90 PN= PD=1 2QC= = PGN=90-FPC PCF=90-FPC2PQ7PCN=PCF1 分 PNG=QPC=90 PNGQPC PG= =NCG2311五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为 2,下底长为 4,腰长为 2,这样的纸片共有5 张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形 ?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长. 4222解：如图所
38、示六：已知:如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、AB 上的点,且 EF=ED,EFED.求证:AE平分BAD.证明：四边形 ABCD 是矩形B=C=BAD=90 AB=CDBEF+BFE=90EFEDBEF+CED=90BEF=CEDBEF=CDE又EF=EDEBFCDEBE=CDBE=ABBAE=BEA=45EAD=45第第23第第E CDBAFBAE=EADAE 平分BAD七：如图,矩形纸片 ABCD 中, AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上, BG=10.(1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求 EFG 的面积.(2)当折痕的另
39、一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折痕 GF 的长.HAB CDEFGAB CDEFG图（1）图（2）AB CDEFGH (A )(B )解:(1)过点 G 作 GH AD,则四边形 ABGH 为矩形, GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知BFG EFG, EG=BG=10, FEG= B=90； EH=6,AE=4, AEF+ HEG=90, AEF+ AFE=90, HEG= AFE,又 EHG= A=90, EAFEHG, , EF=5, S EFG= EFEG= 510=25.EFAH12(2)由图形的折叠可知四边形 ABGF四边
40、形 HEGF, BG=EG,AB=EH, BGF= EGF, EF BG， BGF= EFG, EGF = EFG, EF=EG, BG=EF,四边形 BGEF 为平行四边形,又 EF=EG,平行四边形 BGEF 为菱形；连结 BE， BE、 FG 互相垂直平分，在 Rt EFH 中, EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得 FH=AF=6， AE=16， BE= =8 ， BO=4 ， FG=2OG=222AEB55=4 。2BGO5八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上 （保留作图痕迹）（2）写出你的作法解：
41、（1）所作菱形如图、所示说明：作法相同的图形视为同一种例如类似图、图的图形视为与图是同一种AB CDEFGH(A)(B)O（2）图的作法：作矩形 A1B1C1D1四条边的中点 E1、 F1、 G1、 H1；连接 H1E1、 E1F1、 G1F1、 G1H1四边形 E1F1G1H1即为菱形图的作法：在 B2C2上取一点 E2，使 E2C2 A2E2且 E2不与 B2重合；以 A2为圆心， A2E2为半径画弧，交 A2D2于 H2；以 E2为圆心， A2E2为半径画弧，交 B2C2于 F2；连接 H2F2，则四边形 A2E2F2H2为菱形九：如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 A
42、C 上一动点（ P 与 A、 C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PE PD；（2）设 AP=x, PBE 的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.解：（1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线， BC=DC, BCP= DCP=45. PC=PC， PBC PDC （SAS）. PB= PD， PBC= PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. （i）当点 E 在线段 BC 上( E 与 B、 C 不重合)时， PB=PE， PB
43、E= PEB， PEB= PDC， PEB+ PEC= PDC+ PEC=180， DPE=360-( BCD+ PDC+ PEC)=90， PE PD. ）AB CPDEAB CDPE12H（ii）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时， PE PD.（iii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图. PEC= PDC，1=2， DPE= DCE=90， PE PD.综合（i） （ii） （iii）, PE PD. （2） 过点 P 作 PF BC，垂足为 F，则 BF=FE. AP=x， AC= ，2 PC= - x， PF=FC= .x21)(BF=FE=1-FC
44、=1-( )= .x1 S PBE=BFPF= ( ) . 2x2即 (0 x ). xy . 41)(122 0，a 当 时， y 最大值 . 2x（1）证法二： 过点 P 作 GF AB，分别交 AD、 BC 于 G、 F. 如图所示. 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形， AGP 和 PFC 都是等腰直角三角形. GD=FC=FP， GP=AG=BF， PGD= PFE=90.又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFP PGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PE PD. （2） AP=x，
45、 BF=PG= ， PF=1- . 2x2 S PBE=BFPF= ( ) . 1即 (0 x ). xy12AB CPDEFAB CPDEFG123 . 41)2(21xxy 0，a 当 时， y 最大值 .x4十：如图 1，四边形 ABCD 是正方形， G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、 D 不重合)，以 CG为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG， DE我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(
46、或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图 46） ，且 AB=a， BC=b， CE=ka， CG=kb (a b， k 0)，第 (1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由（3）在第(2)题图 5 中，连结 、 ，且 a=3， b=2， k= ，求 的值DGBE122BEDG解: (1) ,BE 仍然成立 G在图（2）中证明如下四边形 、四边形 都是正方形ACDB ， ， BE09CDEG BCGDE （SAS）C 又 HO09BGH 09CED BGD（2） 成立， 不成立E简要说明如下四边形 、四边形 都是矩形，ACFG且 ， ， ， ( ， )abkab0k ，BCDE09BDE
