1、2012 年北京市中考数学二模分类汇编代几综合题图像信息+几何最值1. （延庆）已知：在如图 1 所示的平面直角坐标系 xOy 中，A、C 两点的坐标分别为 A(4,2)，C(n,-2)（其中 n0） ，点 B 在 x 轴的正半轴上动点 P 从点 O 出发，在四边形 OABC的边上依次沿 OABC 的顺序向点 C 移动，当点 P 与点 C 重合时停止运动设点P 移动的路径的长为 l，POC 的面积为 S，S 与 l 的函数关系的图象如图 2 所示，其中四边形 ODEF 是等腰梯形（1）结合以上信息及图 2 填空：图 2 中的 m= ； （2）求 B、C 两点的坐标及图 2 中 OF 的长； （
2、3）若 OM 是 AOB 的角平分线,且点 G 与点 H 分别是线段 AO 与射线 OM 上的两个动点，直接写出 HG+AH 的最小值，请在图 3 中画出示意图并简述理由。 8图 325. （1）m= 1 分52（2）四边形 ODEF 是等腰梯形可知四边形 OABC 是平行四边形2 分由已知可得：S AOC =8,连接 AC 交 x 轴于 R 点又A(4,2) ，C(n,-2)S AOC = SAOR +SROC =0.5RO2+0.5RO2=2RO=8OR=4.3 分OB=2RO=8，AROBB(8,0) ,C(4，-2)且四边形 OABC 是菱形.4 分OF=3AO= 5 分56/ 212
3、(3) 如图 3，在 OB 上找一点 N 使 ON=OG,连接 NH .6 分OM 平分AOBAOM=BOMOH=OHGOHNOHGH=NH.7 分GH+AH=AH+HN根据垂线度最短可知，当 AN 是点 A 到 OB 的垂线段时，且 H 点是 AN 与 OM 的交点GH+AH 的最小值=AN=2 .8 分动点+面积问题1. （门头沟）如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上，底边 CD 的端点D 在 y 轴上.直线 CB 的表达式为 ，点 A、D 的坐标分别为（4，0） ，（0，4）. 动点 P 从 A 点出发，在 AB 边上匀速运动. 动点 Q 从点 B 出发，在折
4、线 BCD 上匀速运动，速度均为每秒 1 个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点 P 运动 t（秒）时，OPQ 的面积为 S（不能构成OPQ 的动点除外）.（1）求出点 C 的坐标；（2）求 S 随 t 变化的函数关系式；（3）当 t 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值 .25. 解：（1）把 y4 代入 y x ，得 x1.4316C 点的坐标为（1 ，4）. .1 分（2） 当 y0 时， x 0，x4.点 B 坐标为（4，0）.过点 C 作 CMAB 于 M，则 CM4，BM3.BC 5.223sinABC .5 0t4 时，过 Q 作 QNOB 于 N
5、，则 QNBQsinABC t.4S OPQN （4t） t t2 t（0t 4）.2 分12585当 4t5 时， 连接 QO，QP ，过点 Q 作 QNOB 于 N.同理可得 QN t.S OPQN （t4 ） t.125141210864224615 10 5 5 10 15 20 25MGHNBOAO xyA BCDPQ314xy t2 t（4t5）.3 分8当 5t6 时， 连接 QO，QP .S OPOD （t4）4. 12122t8（5t6）.4 分S 随 t 变化的函数关系式是.)65(824)0(ttt（3）当 0t4 时， 0在 4t5 时，S 随 t 的增大而增大.2当
6、t5 时，S 最大 52 52. 6 分8当 5t6 时，在 S2t8 中，20， S 随 t 的增大而增大.当 t6 时，S 最大 26 847 分综合三种情况，当 t6 时， S 取得最大值，最大值是 4.8 分动点+面积+特殊四边形问题2.（昌平 24）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点A、C 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D(4， )32（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点 M，使得 M 到 D、B 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）如果点 P 由点 A 出发沿
7、线段 AB 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时点 Q 由点 B 出发沿线段 BC 以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设 S=PQ2（cm 2） 求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；/ 214当 S= 时，在抛物线上存在点 R，使得以 P、B、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形, 54求出点 R 的坐标24 解：（1）据题意，A(0，2) ，B(2，2)， C(2，0) 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D(4， )，32 ， 241632bac 2 分xy（2）点 B 关于抛物线的对称轴 x
8、=1 的对称点为 A连接 AD，与对称轴的交点即为 M A（0，2） 、 D（4， ） ，32 直线 AD 的解析式为： 21xy当 x=1 时， ，35y M（1， ） 4 分（3） AP=2t, PB=2-2t, BQ=t在 Rt PBQ 中,B=90， 22QP tS）（ ,（0t 1） 4852t当 ， 时S2 , 1 （舍） t0 P（1，2） ，Q（2， ） 3 PB = 1根据分析，以点 P、B、Q、 R 为顶点的平行四边形只能是 PQRByBAO x1221-1- C， ，2316cbayBAO x1221-1- CMD yBAO x1221-1- CQPR3 R（3， ） 2
9、此时，点 R（3， ）在抛物线 上 8 分23162xy动点+直角三角形3 （石景山）已知：抛物线 yx 22x m-2 交 y 轴于点 A（0，2m-7） 与直线 y x 交2于点 B、C（B 在右、C 在左） （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 E，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得，若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由；F（3）射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒 个单位长度、每秒52 个单位长度的速度沿射线 OC 运动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三5角形 PMQ（直角边分别平行于坐标轴） ，设运动时间为 t 秒，若P
10、MQ 与抛物线yx 22x m-2 有公共点，求 t 的取值范围解：25.解：（1）点 A（0，2m-7 ）代入 yx 22xm-2，得 m=5抛物线的解析式为 yx 22x 3 2 分（2）由 得 ，y3yB（ ） ，C（ ）32, 2,B（ ）关于抛物线对称轴 的1x对称点为 ),(可得直线 的解析式为 ， 326y由 ，可得1326yx1x 5 分),(FyxO备用图/ 216CA O BTyx（3）当 在抛物线上时，可得 ， ，)2,(tM0324t413t当 在抛物线上时，可得 ， ，P2t舍去负值，所以 t 的取值范围是 8 分41t等腰+动点与图形面积4.（平谷 25）如图，抛物
11、线 与 x 轴交于点 A(2，0)和 B(4，0)、2bxay0a与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式；(2)T 是抛物线对称轴上的一点，且ACT 是以 AC 为底的等腰三角形，求点 T 的坐标；(3)点 M、Q 分别从点 A、B 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴同时出发相向而行当点 M到达原点时，点 Q 立刻掉头并以每秒 个单位32长度的速度向点 B 方向移动，当点 M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动过点 M 的直线lx 轴，交 AC 或 BC 于点 P求点 M 的运动时间 t(秒)与APQ 的面积 S 的函数关系式25解：（1）抛物线过点 A(2，0)和 B(4，0) 解得
12、462ba1ba 抛物线的解析式为 1 分42xy（2）抛物线的对称轴为令 x=0，得 y=4， 04C，设 T 点的坐标为 ，对称轴交 x 轴于点 D，过 C 作 CETD 于点 Eh,1在 RtATD 中，TD=h，AD =3 22229DA分在 RtCET 中，E 4,1ET= ，CE=1h 14222 hCETAT=CT ，3 分22914h解得 .h . ,T.4 分（3）当 时，AM= BQ=t，20tAQ= 6PQAQAPM ACO COPMAPM=2t 6 分tQS6212当 时，AM= t3tBM= .由 OC=OB=4，可证 BM=PM= .6t6BQ= tt235)(AQ
13、= tt1 8 分34623212 tttPMAQS综上所述， )3(402ttt抛物线与图形面积5.（大兴 25）已知抛物线 y = x2 + bx ，且在 x 轴的正半轴上截得的线段长为 4，对称轴为直线 x = c过点 A 的直线绕点 A (c ，0 ) 旋转，交抛物线于点 B ( x ，y )，交 y 轴负半轴/ 218于点 C，过点 C 且平行于 x 轴的直线与直线 x = c 交于点 D，设AOB 的面积为 S1，ABD 的面积为 S2(1) 求这条抛物线的顶点的坐标；(2) 判断 S1 与 S2 的大小关系，并说明理由25解：（1） 抛物线 y=x2+bx，在 x 轴的正半轴上截
14、得的线段的长为 4， A(2，0)，图象与 x 轴的另一个交点 E 的坐标为 (4，0)，对称轴为直线 x=2 抛物线为 y = x2 +b x 经过点 E (4，0) b= -4， y = x2 -4x 顶点坐标为（2，4） 2 分(2) S1 与 S2 的大小关系是：S 1 = S2 3 分理由如下：设经过点 A（2，0）的直线为 y=kx+b (k0) 0 =2k+b k = b1 y= x2 点 B 的坐标为（x 1 ， ） ，1 bx12点 B 的坐标为（x 2 ， ） 2当交点为 B1 时，bxbS11 12 12)( 5 分1S当交点为 B2 时，bxxb21= 22S x22)
15、( S 1 = S2综上所述，S 1 = S2 8 分6.（通州 24）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 x 轴交于cbxy2A、 B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、 PC， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大
16、面积24. 解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得 .(1 分)3c0b9解得： .(2 分) 32cb所以二次函数的表达式为： .(3 分)32xy（2）存在点 P，使四边形 POP C 为菱形设 P 点坐标/为（x， ） ，32xPP 交 CO 于 E/若四边形 POP C 是菱形，则有 PCPO/连结 PP 则 PECO 于 E，.(4 分)/OE=EC= 23 = x解得 = ， = （不合题意，舍去）120210P 点的坐标为（ ， ）.(5 分)3（3）过点 P 作 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F.(6 分)y设 P（x ， ） ，2x易得，直线 BC 的解析
17、式为 3x则 Q 点的坐标为（x ， x3）. EBQPOCABSSCBAP2121四 边 形 3)(34x/ 2110当 时，四边形 ABPC 的面积最大= 23x 87523x此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 的面积 415, 的 最 大 值 为抛物线+图形变换+几何最值7.（丰台 25）如图，将矩形 OABC 置于平面直角坐标系 xOy 中，A（ ，0） ，32C（0，2） (1) 抛物线 经过点 B、 C，求该抛物线的解析式；2yxbc（2）将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 （01 时，抛物线与线段 AB 交于点 M在点 P 的运动过程中，你认为AMP 的大小是否会变
18、化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP 的值；在矩形 ABCD 的内部（不含边界） ，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围25解：解：把 x=0，y =0 代入 y=x2+bx+c，得 c=0，-1 分再把 x=t，y=0 代入 y=x2+bx，得 t2+bt=0，t0，b=-t；-3 分不变当 x=1 时，y=1-t，故 M（1， 1-t） ，/ 2120tanAMP =1，AMP =45-5 分 t -7 分2731抛物线+相似14.（怀柔 25）如图，已知抛物线过点 D(0， 397)，且在 x 轴上截得线段 AB
19、长为 6，若顶点 C 的横坐标为 4.(1) 求二次函数的解析式； (2) 在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点P 的坐标； (3) 在抛物线上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由25 解：(1) 抛物线对称轴为 x=4，且在 x 轴上截得的线段长为 6， A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 );1 分设抛物线解析式为：y=a(x h)2+k，顶点 C 的横坐标为 4，且过点 D(0， 397)，解得， ， .ak 二次函数的解析式为：y= 93(x-4)2 ， 或 y= 93x x+ 2 分 216937（2
20、）点 A、 B 关于直线 x=4 对称， PA=PB，PA+PD=PB+PDDB，当点 P 在线段 DB 上时，PA+PD 取得最小值，3 分DB 与对称轴的交点即为所求点 P.设直线 x=4 与 x 轴交于点 M，PMOD， BPM=BDO，又PBM=DBO，BPMBDO ， BODPM， 379， 点 P 的坐标为(4， )4 分yDOCA B x39=a(0-4)2+k，0=a(1 4)2+k（3）由可知，C(4， 3)，又AM=3，在 RtAMC 中，cot ACM= ，ACM=60o，AC=BC，ACB=120 o 当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QNx 轴于 N，如果 AB=BQ，由ABC ABQ 有 BQ=6，ABQ=120 o，则QBN=60 o， QN=3 3，BN=3，ON=10，此时点 Q(10， )，5 分如果 AB=AQ，由对称性可知 Q(2， 3)6 分 当点 Q 在 x 轴下方时，QAB 就是 ACB，此时点 Q 的坐标是(4， 3)，7 分经检验，点(10， )与(2 ， )都在抛物线上，综上所述，存在这样的点 Q，使 QABABC，点 Q 的坐标为(10， 3)或(2， )或(4 ， 3)8 分
