1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（50）基本对称式甲内容提要1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如 x+y 和 xy 是两个变量 x, y 的基本对称式.2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如 x2+y2, x3+y3, (2x5)(2y5), yx32， x都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量 x,y 的基本对称式来表示：x2+y2（x+y） 22xy， x 3+y3（x+y） 33xy(x+y)，(2x5)(2y 5)4xy10(x+y)+25, yx2= xy)（ , yx=xy2= xy2)(.3. 设 x+y=m, xy=n.则
2、x2+y2（x+y） 22xym 22n；x3+y3（x+y） 33xy(x+y)=m 33mn ；x4+y4（x 2+y2） 22x 2y2m 44m 2n+2n2；x5+y5（x 2+y2）(x 3+y3)x 2y2(x+y)=m55m 3n+5mn2；一般地，x n+yn (n 为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)xy(x k1 +yk1 ) (k 为正整数).4. 含 x, y 的对称式，x+y, xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.乙例题例 1. 已知 x= 21( 3+1), y= ）（ 32 求下列代数式的值：x
3、3+x2y+xy2+y3 ； x 2 (2y+3)+y2(2x+3).解：含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.先求出 x+y= , xy= 1. x 3+x2y+xy2+y3 （x+y） 32xy(x+y)=( )32=2 ； x 2 (2y+3)+y2(2x+3)2x 2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3（x+y） 22xy+2xy(x+y)学优中考网 =3（ 213） ）2 3 6.例 2. 解方程组 53yx分析：可由 x 3+y3, x+y 求出 xy，再由基本对称式，求两个变量 x 和 y.解：x 3+y3,（x+y ） 33xy(
4、x+y) 把和代入，得355 315xy.xy=6.解方程组 65xy 得 32 或 23.例 3. 化简 140 3140.解：设 32x, 2=y.那么 x 3+y3=40, xy= 396 =2.x 3+y3（x+y） 33xy(x+y)， 40（x+y） 36（xy）.设 x+y=u, 得 u 36u40=0 . (u4)(u 2+4u+10)=0.u 2+4u+10=0 没有实数根，u40, u4 .x+y=4. 即 3140 321404.例 4. a 取什么值时，方程 x2ax+a 2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为 x1, x 2 . 根据韦达定理，
5、得 21a 21)(xx 21214)x（ 84a 4，当 a=2 时， 21x 有最小值是 2.学优中考网 丙练习 501. 已知 xy=a, xy=b. 则 x2+y2=_ ； x 3 y3=_.2. 若 x+y=1, x2+y2=2. 则 x 3+y3=_； x 5+y5=_.3. 如果 x+y=2k, xy=4, y. 则 k=_.4. 已知 x+ x1=4, 那么 x 1=_ ， 21x=.5. 若 .a, 那么 x+ =_, 2=.6. 已知：a= 321 , b= 3.求： 7a 2+11ab+7b2 ； a 3+b3a 2b 23ab+1.7. 已知 x8，则 x1.（1990
6、 年全国初中数学联赛题）8. 已知 a 2+a1=0 则 a3 =.(1987 年泉州市初二数学双基赛 )9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于 5，两根积是 2，则这个方程可写成为：. （1990 年泉州市初二数学双基赛）10. 化简： 3325 ； 3375 .11. 已知：， 是方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两个根.求证： 2（b+c）+ 2(b+c)= ac2.丙练习 50 参考答案：1. a 2+2b, a3+3ab 2. 2.5, 4.75 3. 54. 2 或2 ， 14， 52 5. a 22, a44a 2+26. 109,36 7. 62 8. 49. x2 3x20 10. 1， 2运用韦达定理，把左边式子化为基本对称式表示学优中考网 学;优;中考，网
