1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料(30)概念的分类甲内容提要1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模 m 的余数分类。分别表示如下：整数 不零正 整 数整数 奇 数偶 数 整数 231余除 以 余除 以 整 除能 被整数 3421余除 以 余除 以 余除 以 整 除能 被3. 一种概念所分
2、成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如 正整数按下列分类是正确的正整数 1合 数正整数 正 偶 数正 奇 数如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类 应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形， 而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边） ，所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4. 二分法是常用的
3、分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形 等 腰 三 角 形不 等 边 三 角 形 平面内两条直线位置 不 相 交相 交实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：代数式学优中考网 6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是
4、并列关系的概念（同位概念） 。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:乙例题 30例 1.把一元一次不等式 axb (a,b 是实数，x 是未知数)的解的集合分类。解：把实数 a,b 按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：axb 的解集 不
5、baabxba00且例 2.一个等腰三角形的周长是 15cm,底边与腰长的差为 3cm，求这个三角形的各边长。三角形 等腰三角形等边三角形有理式整式单项式学优中考网 解：设底边长为 xcm,则腰长是 2-15xcm当腰比底大时是 -x=3 x=3 2-15x6 当腰比底小时是 x x=3 x=7 =4答（略）例 3.化简 （ 22)1()(x2 yx1解：要使 1x有意义，必须且只需 x+10，即 x1（ 22)()(2 1xx+12 x1当1x1-2x 当 x1-2x6. )01(x )1(2a7. 30，30，120；75，75，30。 8. 1，09.当 m=1 时，调 3 人；m=2,
6、 调 2 人；m=3,调 1 人10. x3, 11. 把 n 按奇数、偶数分类讨论，证明 a1a2a3 a n 中至少有 2 个偶数12. a,b 中若有一个是 3 的倍数，则 ab 能被 3 整除；若除 3 有同余数则 a-b 能被 3 整除；若除 3 余数分别为 1 和 2，则 a+b 能被 3 整除.13. a1 （见练习 29 第 7 题）14. 按奇数、偶数分类讨论 当 n 为奇数时，设 n=2k+1,k2 的整数，n=k+(k+1), k 和 k+1 互质； 当 n 为偶数时，设 n=4k 或 4k+2, k1 的整数 若 n=4k=(2k+1)+(2k-1), 而 2k+1 和 2k-1 是互质的若 n=4k+2=(2k-1)+(2k+3), 易知 2k-1 和 2k+3 也是互质的，如果它们有公因子 d(d2 )， 可设 2k-1md 2k+3=pd, (m,p 是正整数) ，则（m-p）d=4，则 4d,这是不可能的。 综合和所述学优中考网 学 优-中考 ，网
