1、单元检测卷二 方程(组) 与不等式(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 4 分,共 40 分)1.二元一次方程组的解是( )A. B.C. D.解析:将两方程相加得 3x=-3, x=-1,将 x=-1 代入方程 2x+y=0,得 y=2.答案:A2.一个正数的平方根是 a+1 和 2a-10,则这个正数是( )A.4 B.16 C.3 D.9解析:因为一个正数有两个平方根 ,它们互为相反数,所以得 a+1+2a-10=0,解得 a=3,所以 a+1=4,所以这个正数是 16.答案:B3.已知如果 x 与 y 互为相反数,那么( )A.k=0 B.
2、k=-C.k=- D.k=解析: x 与 y 互为相反数, y=-x,代入方程 3x+2y=k,得 x=k, y=-k,将 x=k 与 y=-k 代入方程 x-y=4k+3,得 k=-.答案:C4.若=-1,则 x 的取值范围是( )A.x1 B.x1C.x1 D.x-2C.m2m-1,解得 m-2.答案:B6.把方程 2x2-4x-1=0 化为(x+m) 2=n 的形式,则 m,n 的值分别是( )A.m=2,n= B.m=-1,n=C.m=1,n=4 D.m=n=2解析:移项,得 2x2-4x=1,两边同除以 2,得 x2-2x=,配方,得 x2-2x+1=+1,即(x-1) 2=, m=
3、-1,n=.答案:B7.如果关于 x 的方程 x2+mx+1=0 的两个根的差为 1,那么 m 等于( )A.2 B. C. D.解析:设方程的两根 x1,x2,且 x1x2,根据根与系数的关系,得 x1+x2=-m,x1x2=1. x1-x2=1, (x1-x2)2=1, (x1+x2)2-4x1x2=1, (-m)2-41=1,解得 m=.答案:C8.服装店销售某款服装,一件服装的标价为 300 元,若按标价的八折销售,仍可获利 60 元,则这款服装每件的标价比进价多( )A.60 元 B.80 元C.120 元 D.180 元解析:设进价为 x 元,由题意得方程 30080%-x=60,
4、解得 x=180,则标价比进价多 300-180=120(元).答案:C9.某工厂生产一种零件,计划在 20 天内完成,若每天多生产 4 个,则 15 天完成且还多生产 10 个.设原计划每天生产 x 个,根据题意可列分式方程为( )A.=15 B.=15C.=15 D.=15解析:设原计划每天生产 x 个 ,则计划 20 天共生产 20x 个,实际共生产(20x+10)个,实际每天生产(x+4)个,根据实际生产时间为 15 天,可得方程=15.答案:A10.如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长,则分割后不
5、用测量就能知道周长的图形标号为( )A. B.C. D.解析:如图,设原住房平面图长方形的周长为 2l, 的长和宽分别为 a,b, 的边长分别为 c,d.根据题意,得 - ,得 a-c=c-ba+b=2c,将 a+b=2c 代入 ,得 4c=l2c=l(定值), 将 2c=l 代入 a+b=2c,得 a+b=l2(a+b)=l(定值). 由已列方程组得不到 d, 分割后不用测量就能知道周长的图形标号为 .故选 A.答案:A二、填空题(本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分)11.公元前 1 700 年的古埃及纸草书中,记载着一个数学问题:“它的全部,加上它的七分之一,其和等于19.
6、”此问题中“它” 的值为 . 解析:设“它”为 x,根据题意,得 x+x=19,解得 x=.答案:12.已知分式方程有增根,则 m 的值为 . 解析:原方程去分母,得 2x2-(m+1)=(x+1)2,即 x2-2x-2-m=0.原方程的增根为 0 或-1, 当 x=-1 时,m=1;当x=0 时,m=-2.答案:1 或-213.已知关于 x 的不等式组只有四个整数解,则实数 a 的取值范围是 . 解析:解不等式 x-a0,得 xa, 解不等式 5-2x1,得 x0.解: x2-4=(x+2)(x-2), x2-40 可化为(x+2)(x-2)0.由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
7、解不等式组 ,得 x2,解不等式组 ,得 x0 的解集为 x2 或 x0 的解集为 x2 或 x-2.参照以上解题过程所反映的解题思想方法,试解不等式:0.解:由有理数的除法法则“ 两数相除,异号得负”,得 解不等式组 ,该不等式组无解,解不等式组 ,得-x, 不等式0 的解集为-x.五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分)19.剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换) 和新式剃须刀(刀片可更换), 有关销售策略与售价等信息如下表所示: 某段时间内,甲厂家销售了 8 400 把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的 50 倍,乙厂家获得
8、的利润是甲的两倍,问:这段时间内,乙销售了多少把刀架?多少片刀片?新式剃须刀老式剃须刀刀架 刀片售价 2.5(元/把) 1(元/把) 0.55(元/片)成本 2(元/把) 5(元/把) 0.05(元/片)解:设这段时间内乙厂家销售了 x 把刀架,则销售刀片 50x 片.依题意,得(0.55-0.05)50x+(1-5)x=2(2.5-2)8 400,解得 x=400.销售出的刀片数=50400=20 000(片).答:这段时间乙厂家销售出 400 把刀架,20 000 片刀片.20.长沙市某楼盘准备以每平方米 5 000 元的均价对外销售,由于购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价
9、格经过两次下调后,决定以每平方米 4 050 元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择 : 打9.8 折销售; 不打折,送两年物业管理费 ,物业管理费是每平方米每月 1.5 元,请问哪种方案更优惠?解:(1)设平均每次下调的百分率为 x,根据题意,得 5 000(1-x)2=4 050,解得 x1=10%,x2=(不合题意舍去).所以平均每次下调的百分率为 10%.(2)方案 购房少花 4 0501000.02=8 100(元),但需要交两年的物业管理费 1.5100122=3 600(元),实
10、际得到的优惠是 8 100-3 600=4 500(元);方案 省两年物业管理费 1.5100122=3 600(元).因此方案 更优惠.六、(本题满分 12 分)21.已知关于 x 的方程 x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0.(1)若这个方程有实数根,求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1,求 k 的值;(3)若以方程 x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 y=的图象上,求满足条件的 m 的最小值.解:(1)由题意,得 =-2(k-3)2-4(k2-4k-1)0.化简,得-2k+100,解得 k5.(2)将 x=1 代入方程,
11、整理,得 k2-6k+6=0,解这个方程得 k1=3-,k2=3+.(3)设方程 x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0 的两个根为 x1,x2,根据题意得 m=x1x2.又由一元二次方程根与系数的关系得 x1x2=k2-4k-1,那么 m=k2-4k-1=(k-2)2-5,所以,当 k=2 时,m 取得最小值 -5.七、(本题满分 12 分)22.仔细阅读下列材料,然后解答问题.某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售.同时,当顾客在该商场消费一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:消费金额 a(元)200a400400a500500a700700a900获得奖券的金额(
12、元)30 60 100 130 根据上述促销方法,顾客在商场内购物可以获得双重优惠.例如,购买标价为 450 元的商品,则消费金额为 45080%=360 元,共获得的优惠额为 450(1-80%)+30=120 元.设购买该商品得到的优惠率=.(1)购买一件标价为 1 000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少 ?(2)对于标价在 500 元与 800 元之间( 含 500 元和 800 元)的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可以得到的优惠率?解:(1)购买一件标价为 1 000 元的商品消费金额为 1 00080%=800 元,因此可获得奖券为 130 元,购买该商品得到的优惠率为=33%
13、.答:购买一件标价为 1 000 元的商品 ,顾客得到的优惠率为 33%.(2)50080%=400 元,80080%=640 元.对于标价在 500 元与 800 元之间(含 500 元和 800 元) 的商品的优惠价在 400 元与 640 元之间(含 400 元和 640 元).设顾客购买标价为 x 元的商品,可以得到的优惠率.当优惠额在 400 元(含 400)与 500 元之间时,有,解得 x=450,45080%=360400,不合题意,舍去.当优惠价在 500 元(含 500)与 700 元之间时,有,解得 x=750.经检验,x=750 是分式方程的解,且满足题意.答:顾客购买
14、标价为 750 元的商品 ,可以得到的优惠率.八、(本题满分 14 分)23.合肥某校假期准备组织学生及学生家长到芜湖进行社会实践,为了便于管理,所有人员必须乘坐在同一列车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需 6 175 元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需 3 150 元;已知学生家长与教师的人数之比为 2 1,合肥到芜湖的火车票价格(学生票只有二等座可以打 7.5 折)如下表所示 :运行区间 票价上车站 下车站 一等座 二等座合肥 芜湖 95(元) 60(元)(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买 x 张(x 小于参加社会实践
15、的人数),其余的需买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2) 小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?解:(1)设参加社会实践的老师有 m 人,学生有 n 人,则学生家长有 2m 人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座学生票,依题意得:解得答:参加社会实践的老师、家长与学生分别有 5 人、10 人、50 人.(2)由(1)知所有参与人员总共有 65 人,其中学生有 50 人, 当 50x65 时,最经济的购票方案为
16、:学生都买学生票共 50 张,(x-50)名成年人买二等座火车票,(65-x)名成年人买一等座火车票. 火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为 y=600.7550+60(x-50)+95(65-x),即 y=-35x+5 425(50x65). 当 0x50 时,最经济的购票方案为: 一部分学生买学生票共 x 张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(65-x) 张, 火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为y=600.75x+95(65-x),即 y=-50x+6 175(0x50).答:购买火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式是 y=-35
17、x+5 425(50x65)或 y=-50x+6 175(0x50).(3)由(2)小题知,当 50x65 时 ,y=-35x+5 425, -350,y 随 x 的增大而减小, 当 x=64 时,y 的值最小,最小值为 3 185 元,当 x=50 时,y 的值最大,最大值为 3 675 元.当 0x50 时,y=-50x+6 175, -500,y 随 x 的增大而减小, 当 x=49 时,y 的值最小,最小值为 3 725 元,当 x=1 时,y 的值最大,最大值为 6 125 元.因此可以判断按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花 3 185 元,最多要花 6 125元.答:按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花 3 185 元,最多要花 6 125 元.
