1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（33）同一法甲内容提要1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。互逆两个命题一般是不等价的。例如原命题：福建是中国的一个省 （真命题）逆命题：中国的一个省是福建 （假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如原命题：中国的首都是北京 （真命题）逆命题：北京是中国的首都 （真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命
2、题是等效的。又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。 （真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。 （真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）乙例题 例 1. 求证三角形的三条中线相交于一点已知：ABC 中，AD，BE，CF 都是中线求证：AD，BE，CF 相交于同一点分析：在证明 AD 和 BE 相交于
3、点 G 之后，本应再证明 CF 经过点 G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长 CG 交 AB 于 F， ，证明 CF， 就是第三条中线（即证明 AF， F ， B）证明：DABEBA180 AD 和 BE 相交，设交点为 G 连结并延长 CG 交 AB 于 F， 连结 DE 交 CF， 于 M DEAB FAE BD C， 即 AB ED G， 即 F ， AF ， BF ， ，AF ， 是 BC 边上的中线，BC 边上的中线只有一条， AF ， 和 AD 是同一条中线F,GAB CDEF学优中考网 AD，BE，CF 相交于一点 G。例 2.已知：ABC 中，D 在
4、BC 上，AB 2AC 2BD 2DC 2求证：AD 是ABC 的高分析：从题设 AB2AC 2BD 2DC 2 证明结论不易，因为 BC 边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出 AE BC，证明在题设的条件下 AE 就是 AD。证明：作 AEBC 交 BC 于 E A 根据勾股定理 AB2AC 2（AE 2BE 2）（AE 2EC 2） BE 2EC 2 AB 2AC 2BD 2DC 2 B E D C BD 2DC 2 BE 2EC 2 （BDDC ） （BD DC）（BE EC ） （BEEC） BDDC BE EC BDDCBE EC ：2BD2BE即点 D 和点 E 重合，即 AD
5、 是ABC 的高 例 3 如图已知：四边形 ABCD 中，ABDADB 15 CBD45 ，CDB30 求证：ABC 是等边三角形 证明：在 BC 或延长线上取点 E，使 BEAB 连结 AE，DE ，则ABE 是等边三角形AEABAD，EAD150 60 90 ，ADE 45 ADC45 ，且 DE，DC 在 DA 的同一侧，DE 和 DC 重合，它们与 BC 边的交点 E，C 也重合ABC 是等边三角形例 4.求证： 33521分析：直接证法，一般是把左边写成 333)52(再化简为 1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个数 352， 3，它们积是1，则它们的和是 1那
6、么逆命题是：若 u+v=1,且 uv=1，则 u= 352,v= 3 证明：设 u+v=1,且 uv=1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）得 u,v 是方程 x2x10 的两个根 x= 5,即 u,v 分别等于 2， 而 u3=（ 21） 32 ， v 3=（ 51） 32u= 35,v= 345 301515AB DC E学优中考网 即 33521例 5.已知：ACD 是圆的割线，点 B 在圆上，且 AB2ACAD求证：AB 是圆的切线 证明：过点 B 作圆的切线，交 DC 于 A1， 则CBA 1D 由已知 AB2ACAD，则 BC D，A A ACBABD CBAD ， CBA 1CBA
7、BA 和 BA1 重合，它们与 DC 的交点是同一个点即 AB 是圆的切线。例 6.以ABC 的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是 D，E，F，那么过D，E，F 的圆是 ABC 的内切圆。分析：用同一法证明，作出ABC 的内切圆，再证明三个切点和D，E，F 重合证明：作ABC 的内切圆和 AB，BC，CA 分别切于 D， ，E ， ，F ，根据 切线长定理，得AD， AF ， 2abc，BE ， BD ， 2bca，CF ， CE ， 2cba设A,B，C 半径长分别为 x,y,zbxzay,解得，x= c,y= c,z= cAD ， AD，BE ， BE，CF ， CF 即 D，
8、与 D， E ， 与 E ， F， 与 F 重合。 ABC 的内切圆和各边切于 D，E，F 即过 D，E，F 的圆是ABC 的内切圆。 丙练习 33 1. 用同一法证明： 三角形的中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底2. 已知 E 是正方形 ABCD 内的一点，EABEBA15 求证ECD 是等边三角形3. 已知ABC 中，AB AC ，A36 ，在 AC 上取点 D，使 ADBC求证 BD 是ABC 的平分线4. 如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点5. ABC 中， C Rt，ACBC ，点 D 在 AC 上，且 CDABBCFAC BDElB
9、A1DCA学优中考网 求证 BD 平分ABC6. 正方形 ABCD 中，M ，N 分别是 CD，BC 的中点，DEAM 于 E，求证点 N 在 DE 的延长线上7. 已知：四边形 ABCD 中，E，F 和 GH 分别三等分 AB 和 CD，M 和 N 分别是 BC，AD 中点， N D 求证： A MN 平分 EH 和 FG E H MN 被 EH，FG 三等分 F G B M C 8.已知：矩形 ABCD 中，AB2BC，点 E 在 CD 上，且 CBE15 求证：AEAB9.已知：AD 是四边形 ABCD 外接圆 O 的直径，ABC120 ACB45 点 P 在 CB 的延长线上，且 PB
10、2BC求证：PA 是O 的切线 10.已知：H 是ABC 的垂心（三条高的交点） ，过 H，B，C 三点作O，延长ABC 的中线 AM 交O 于 D求证：AMMD A OO D C B P 丙练习 33 参考答案：1. 过一边中点作底边的平行线，证它经过另一边中点2. 以 CD 为一边向形内作等边E 1CD，证E 1ABE 1BA15 3. 作ABC 的平分线，证它与 BD 重合4. 取另一腰的中点，5. 同 3，作ABC 的平分线，证它与 BD 重合6. 延长 DE 交 BC 于 N， ，证明 N， 是 BC 的中点7. 取 EH 的中点 P，FG 的中点 Q，则 PFMG 和 QHNE 都是平行四边形，PM 过 FG 中点，QN 过 EH 中点，M，Q，P，N 是同一直线jMHAB CD学优中考网 8. 作等腰三角形 ABE1 交 CD 于 E1，证明 E1 和 E 是同一点。9. 过点 A 作O 的切线交 CB 于 P1，证明这 P1B2BC设 AD2R，可得 AC 3R，AB 2R，P 1AB 这 P1CA， A1 C 310. 延长 AM 到 D， ，使 MD， AM ，证明点 D， 在圆上。即 B，H，C，D ， 四点共圆。学优中考网 学优中?考( ，网
