1、北京市 2009 年中考模拟试题分类汇编整理董义刚13439849712几何压轴题1.（2009 北京 24）在 中，过点 C作 CECD 交 AD于点 E,将线段 EC绕点 E逆时针ABD旋转 得到线段 EF(如图 1)90（1）在图 1中画图探究：当 P为射线 CD上任意一点（P 1不与 C重合）时，连结 EP1绕点 E逆时针旋转 90得到线段 EC1.判断直线 FC1与直线 CD的位置关系，并加以证明；当 P2为线段 DC的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转得到线段 EC2.判断直线 C1C2与直线 CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结90论.（2）
2、若 AD=6,tanB= ,AE=1,在的条件下，设 CP1= ，S = ，求 与 之间的43x1PFCAyx函数关系式，并写出自变量 的取值范围.x学优中考网 2（2009 海淀一模 24）在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图 1，已知 ABC, ACB=90 , ABC=45，分别以 AB、 BC为边向外作 ABD与 BCE, 且 DA=DB, EB=EC， ADB= BEC=90，连接 DE交 AB于点 F. 探究线段 DF与 EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点 D作 DG AB于 G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似
3、的题目,不同的是 ABC=30, ADB= BEC=60.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中 DF与 EF的数量关系；（2）如图 2，若 ABC=30， ADB= BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图 3，若 ADB= BEC=2 ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图 1 图 2 图 3BECADFDAC EF BEFCBAD3（2009 房山一模 25）
4、已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形, ABCADE= ， AB= BC，AD=DE，按图 1放置，使点 E在 BC上，取 CE的中点90F，联结 DF、BF.（1）探索 DF、BF 的数量关系和位置关系，并证明；（2）将图 1中ADE 绕 A点顺时针旋转 ，再联结 CE，取 CE的中点 F（如图 2），45问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图 1中ADE 绕 A点转动任意角度（旋转角在 到 之间），再联结 CE，09取 CE的中点 F（如图 3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论4（2009 东城二模 23）点 A、B、C 在同一直线上，在直线 AC的同侧作
5、 ABE和 CF，连接 AF，CE取 AF、CE 的中点 M、N，连接 BM，BN， MNFEDCBA图 3图 2FEDCBAFEDCBA图 1学优中考网 图图图2图NMA CEFB图图图3图MNEACFB图图图1)NMFAEB C（1）若 ABE和 FC是等腰直角三角形，且 09FBCAE(如图 1)，则MN是 三角形（2）在 和 中，若 BA=BE,BC=BF,且 ，（如图 2），则B是 三角形，且 MBN .（3）若将（2）中的 AE绕点 B旋转一定角度,(如同 3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.5（2009 东城
6、一模 25）请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如右图 1,若弦 AB、CD 交于点 P则 PAPB=PCPD请你根据以上材料，解决下列问题.已知O 的半径为 2，P 是O 内一点，且 OP=1，过点 P任作一弦 AC，过 A、C 两点分别作O 的切线 m和 n，作 PQm 于点 Q，PRn 于点 R.（如图 2）(1)若 AC恰经过圆心 O,请你在图 3中画出符合题意的图形，并计算： 的值；PRQ1(2)若 OPAC, 请你在图 4中画出符合题意的图形，并计算： 的值；1(3)若 AC是过点 P的任一弦（图 2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想： 的值，并
7、PRQ1给出证明POABDC（图 1）RBPCADOGSM6.（2009 昌平一模 25）已知 ， 是 的平分线将一个直角90AOBMAOB的直角顶点 在射线 上移动，点 不与点 重合.RPSP（1）如图，当直角 的两边分别与射线 、 交于点 、 时，请判断 与RPSCDPC的数量关系，并证明你的结论；D（2）如图，在（1）的条件下，设 与 的交点为点 ，且 ，求CDOPG32的值；GO（3）若直角 的一边与射线 交于点 ，另一边与直线 、直线 分别交于点RPSBOB、 ，且以 、 、 为顶点的三角形与 相似，请画出示意图；CEPDEOCDPO（图 3）PO（图 4）RQnmCAPO（图 2）
8、学优中考网 当 时，直接写出 的长.1ODOP7.（2009 昌平二模 25）图 1是边长分别为 4 和 3的两个3等边三角形纸片 ABC和 DE叠放在一起（ C与 重合）（1）固定 ，将 绕点 顺时针旋转 0得到 DE，连结DE、（如图 2）此时线段 与 A有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）设图 2中 C的延长线交 B于 F，并将图 2中的 C在线段 F上沿着 C方向以每秒 1个单位的速度平移，平移后的 E设为 QRP（如图 3）设 QRP移动（点 PQ、 在线段 上）的时间为 x秒，若 与 A重叠部 分的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变 量 x的取值范围；（3
9、）若固定图 1中的 CDE，将 AB沿 CE方向平移，使顶点 C落在 E的中点处，再以点 为中心顺时针旋转一定角度，设 309，边 B交DE于点 M，边 A交 于点 N（如图 4）此时线段 NMA的值是否随 的变化而变化？如果没有变化，请你求出CNEMA的值；如果有变化，请你说明理由8.（2009 朝阳一模 25）（1） 已知：如图，RtABC 中，ACB=90，AC=BC，点 D、E 在斜边 AB上，且BAMFBPCC CAN(C)DEEBADC(C) QBARC ED图 1 图 2 图 3 图 4DCE=45. 求证：线段 DE、AD、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边
10、三角形 ABC中，点 D、E 在边 AB上，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果 AB=10，求 BDAE的值9（2009 朝阳二模 25）在ABC 中，点 D在 AC上，点 E在 BC上，且 DEAB，将CDE 绕点 C按顺时针方向旋转得到 EC（使 B180），连接 DA、 EB，设直线 与 AC交于点 O.（1）如图，当 AC=BC时， A: 的值为 ；（2）如图，当 AC=5，BC=4 时，求 : 的值；（3）在（2）的条件下，若ACB=60，且 E为 BC的中点，求OAB 面积的
11、最小值.图 图O EDEB CA D图O DEB CADE图学优中考网 10（2009 崇文一模 25）在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且ABC ABC, ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，60MDN120BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q与等边 的周长 L的关系A（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明
12、； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示）xx11（2009 崇文二模 24）以 的两边 AB、 AC为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ，ABCABDACE连接 DE， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究： AM与 DE的位置关系90,DE及数量关系（1）如图 当 为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是 ，ABC线段 AM与 DE的数量关系是 ；图 1 图 2 图 3（2）将图中的等腰 Rt 绕点 A沿逆时针方向旋转 (0 90)后，如图所示，BD（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由12（200
13、9 怀柔一模 25）如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角点 D为射线 BC上一动点，连接 AD，以 AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF解答下列问题：（1）如果 AB=AC，BAC=90当点 D在线段 BC上时（与点 B不重合），如图 2，线段 CF、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 当点 D在线段 BC的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果 AB=AC，BAC90，点 D在射线 BC上运动在图 4中同样作出正方形AB CD EF图 1 图 2FEDCBAFED CBA图 3图 1 图 2学优中考网 ACB 图 5图1 图2F CC BDBEFEDBA图
14、3EAAFCDADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；如果BAC=90，ABAC，点 D在射线 BC上运动在图 5中同样作出正方形 ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；答：（3）要使（1）问中 CFBC 的结论成立，试探究：ABC 应满足的一个条件，（点 C、F重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；（4）在（3）问的条件下，设正方形 ADEF的边 DE与线段 CF相交于点 P，设AC ，BC= ，求线段 CP长的最大值2313（2009 门头沟一模 25）如图 1，在 ACB和 AED中，AC=BC， AE=DE， ACB AED90,点 E
15、在 AB上， F是线段 BD的中点，连结CE、 FE.（1）请你探究线段 CE与 FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图 1中的 AED绕点 A顺时针旋转，使 AED的一边 AE恰好与 ACB的边 AC在同一条直线上（如图 2），连结 BD，取 BD的中点 F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图 1中的 AED绕点 A顺时针旋转任意的角度（如图 3），连结 BD，取 BD的中点 F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由CAB图 4图图图 321AB C D EQPG PQE D C BA PQE D C BAF14（2009 门头沟二模 24）在矩形
16、 ABCD中，点 E是 AD边上一点，连结 BE，且 BE2 AE， BD是 EBC的平分线点 P从点 E出发沿射线 ED运动，过点 P作 PQ BD交直线 BE于点 Q（1）当点 P在线段 ED上时（如图），求证： 3BEDQ+；（2）当点 P在线段 ED的延长线上时（如图），请你猜想 P、三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（3）当点 P运动到线段 ED的中点时（如图），连结 QC，过点 P作 PF QC，垂足为F， PF交 BD于点 G若 BC12，求线段 PG的长15（2009 西城一模 25）已知： ， ，以 AB为一边作正方形 ABCD，使 P、 DPA4两点落在直线
17、 AB的两侧.（1）如图，当 APB=45时，求 AB及 PD的长；（2）当 APB变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应 APB的大小.学优中考网 16.（2009 宣武二模 24）(1)已知：如图 1， 是 的内接正三角形，点 为弧 BC上一动点，ABCOP求证： P(2) 如图 2，四边形 是 的内接正方形，点 为弧 BC上一动点，D求证: ACB(3) 如图 3，六边形 是 的内接正六边形，点 为弧 BC上一动点，请探究EFOP三者之间有何数量关系，并给予证明.P、 、O CABPPODAB COPFEDCBA第十章 几何压轴题参考答案1（09 北京 24）解：（1）直线
18、与直线 的位置关系为互相垂直1FGCD证明：如图 1，设直线 与直线 的交点为 1H线段 分别绕点 逆时针旋转 90依次得到线段 ，1ECP、 E1EFG、 1 190GFGPFC， ，图 1 图 2 图 3FDCBA E图 1G2G1P1HP2 ， ，1190GEFP1190ECPF 11 11 11GFEPC ，D ，190 1GFE 90H C 1FGD按题目要求所画图形见图 1，直线 与直线 的位置关系为互相垂直12GCD（2）四边形 是平行四边形，ABC D ，461tan3E， ， 5ttBC，可得 4由（1）可得四边形 为正方形EFH CH如图 2，当 点在线段 的延长线上时，1
19、PCDG1P1HCBA EF图 2学优中考网 ，114FGCPxH， 11()22xS (4)yx如图 3，当 点在线段 上（不与 两点重合）时，1PCH、 ，114FGx， 11()22PxS (04)yx当 点与 点重合时，即 时， 不存在1Hx1PFG综上所述， 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围是 或yxx21(4)yx2(04)2.（2009 海淀一模 24）解: （1） DF= EF.（2）猜想： DF= FE.证明：过点 D作 DG AB于 G, 则 DGB=90. DA=DB, ADB=60. AG=BG, DBA是等边三角形. DB=BA. ACB=90 , ABC=
20、30, AC= AB=BG.21 DBG BAC. DG=BC.FG1P1CABE DH图 3GDABCFE BE=EC, BEC=60 , EBC是等边三角形. BC=BE, CBE=60. DG= BE, ABE= ABC+ CBE=90 . DFG = EFB, DGF = EBF, DFG EFB. DF= EF.（3）猜想： DF= FE.证法一：过点 D作 DH AB于 H, 连接 HC, HE, HE交 CB于 K, 则 DHB=90. DA=DB, AH=BH, 1= HDB. ACB=90, HC=HB. EB=EC, HE=HE, HBE HCE. 2=3, 4= BEH.
21、 HK BC. BKE=90. ADB= BEC=2 ABC, HDB= BEH= ABC. DBC= DBH+ ABC = DBH+ HDB=90， EBH= EBK+ ABC = EBK+ BEK=90. KHBFECAD2431学优中考网 DB/HE, DH/BE. 四边形 DHEB是平行四边形. DF=EF.证法二：分别过点 D、 E作 DH AB于 H, EK BC于 K, 连接 HK, 则 DHB= EKB=90. ACB=90, EK/AC. DA=DB, EB=EC, AH=BH, 1= HDB, CK=BK, 2= BEK. HK/AC. 点 H、 K、 E在同一条直线上.
22、下同证法一.3.（09 房山一模 25）解：（1）DF=BF 且 DFBF.证明：如图 1：ABCADE= ，AB= BC，AD=DE90 CDE= ，AED=ACB=45F 为 CE的中点 DF=EF=CF=BF， DF=BF； DFE2DCF，BFE2BCF，EGFCGF2DCB=90， 即：DFB ，90DAC EF BHK12A BCDEF图 1GA BCDEF图 2DFBF.(2)仍然成立.证明：如图 2，延长 DF交 BC于点 G，ABCADE= 90 DEBC， DEF=GCF，又 EF=CF，DFE=GFC DEFGCF，DE=CG，DF=FGAD=DE，AB=BC，AD=CG
23、 BDBG又ABC EG=CG 且 EGCG.90(3)仍然成立.证明：如图 3，延长 BF至点 G，使 FGBF，联结 DB、DG，GEEF=CF, EFG=CFB EFGCFB， EG=CB，EGFCBF，EGCB，AB= BC，ABCB, EG=AB，EGAB，ADE=90，EGABDAB=DGE DABDEG， DG=DB, ADB=EDGGA BCDEF图 3学优中考网 图图图3图MNEACFBnmQRAOCPnmACOPBDG=ADE=90BGD 为等腰直角三角形， DF=BF 且 DFBF.4.（09 东城二模 23）解：（1）等腰直角（2）等腰 （3）结论仍然成立证明： 在 A
24、BFEC和 中 ， ABF EBC.AF=CE. AFB=ECBM,N 分别是 AF、CE 的中点,FM=CN. MFB NCB.BM=BN. MBF=NBCMBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC= 5. （2009 东城一模 25）解：（）过圆心，且 m,n分别切O 于点 A,C.114.3ACmnPQR 于 点 ,于 点 C，与 重 合 ， 与 重 合O=,分(2)连接 OAPORQnmCAPONME14(3)3PR 猜 想 分 Q0.,/9OAEmPACQ0证 明 :过 点 作 直 径 交 于 点 E， 连 接 C,=直 线 ， 直 线且 AEC PAQ.AEP同理可得： .CA
25、RP+，得00,1,2,3.,/.9.3.21433OPACOPAmQAPORt 于 点 且直 线 直 线在 中 ，同 理 ， 分学优中考网 .11(),314.83ACEAPQRPCACAPOMNPCQR 过 点 作 直 径 交 于 点由 阅 读 材 料 可 知 ： 分6（09 昌平一模 25）解：（1） 与 的数量关系是相等PCD证明：过点 作 ， ，垂足分别为点 HOAPNBHN、 ，易得 90AB90，1CPN而 ，2 是 的平分线，OMAB，PHN又 ，90CD P（2） ， ，CD90P，345，POD321GNSHO DACMPBRSR BP MCADO图1GERS图2O DAC
26、MPBE又 ，GPDO ，32PGDO（3）如图 1所示，若 与射线 相交，则 ；PROA1P如图 2所示，若 与直线 的交点 与点 在点 的两侧，则 CO21P7（09 昌平二模 25）解：（1） EA.证明：如图 2， ABC与 D都是等边三角形， CDE绕点 顺时针旋转 30得到 DE， C也是等边三角形，且 230， 60AB, ,CABE. 130, , 2.32 1图1 图2 图3 图4(C)CDABE学优中考网 BCE AD， .（2）如图 3，设 PRQ、 分别与 AC交于点 OL、 . CDE在线段 CF上沿着 CF方向以每秒 1个单位的速度平移 x秒，平移后的 CDE为
27、，Qx.由（1）可知 60,30PRQBCAF，30ACF，LQO.,90xRL.3,RLx.8.（09 朝阳一模 25）（1）证明：如图，ACB90，AC=BC，AB45.以 CE为一边作ECFECB，在 CF上截取 CF=CB，则 CF=CB=AC.连接 DF、EF，则CFECBE.FE=BE，1B45.DCEECFDCF45，DCAECB45.DCFDCA.O LK图1 图2 图3 图4CRAB QPF12F EDCBA图DCFDCA.2A45，DFAD.DFE2190.DFE 是直角三角形.又 AD=DF，EB=EF，线段 DE、AD、EB 总能构成一个直角三角形.（2）当 AD=BE
28、时，线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形.如图，与（1）类似，以 CE为一边，作ECF=ECB，在 CF上截取 CF=CB，可得CFECBE，DCFDCA.AD=DF，EF=BE.DFE12AB120.若使DFE 为等腰三角形，只需 DF=EF，即 AD=BE.当 AD=BE时，线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形.且顶角DFE 为 120.（3）证明：如图，ACEACDDCE，CDBACDA.又DCEA45，ACECDB.又AB，ACEBDC.12FEDCA B图学优中考网 .BDACE .RtACB 中，由 ，得 .2210AB502BC .52CAEBD9（09 朝阳二
29、模 25）（1）1；（2）解：DEAB，CDECAB ACDBE由旋转图形的性质得， , ABCE D, ,EAC即 DACB EBC A. 45D（3）解：作 BMAC 于点 M，则 BM=BCsin60=2 3E 为 BC中点，CE= 21BC=2CDE 旋转时，点 E在以点 C为圆心、CE 长为半径的圆上运动CO 随着 B的增大而增大，O DMEB CADE当 EB与C 相切时，即 CEB=90时 EB最大，则 CO最大此时 C=30， = 21BC=2 =CE点 E在 AC上，即点 E与点 O重合CO= =2又CO 最大时，AO 最小，且 AO=ACCO=3 321BMAOSOAB、
30、说明：各解答题其他正确解法请参照给分.10（09 崇文一模 25）解：（I）如图 1， BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN （II）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长 AC至 E，使 CE=BM，连接 DE ,且 CDB12030DCB又 是等边三角形，A90MN在 与 中：BDEC(SAS) MBDECDM=DE, 60NN图 1学优中考网 在 与 中：MDNE(SAS) DNEMN=NE=NC+BM 的周长 Q=AM+AN+MNAM=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边 的周长 L=3ABABC. 32LQ（III）如试题图
31、3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，x则 Q= 2 + （用 、L 表示）xx11（2009 崇文二模 24）解：（1） DEA， 12 （2）结论仍然成立。证明：如图，延长 CA至 F，使 FA=AC， FA交 DE于点 P，并连结 BF ,BADE，90FAD在 与 中：DABEF(SAS) .BF=DE, ENF. 90PDA.B.又 CA=AF, CM=MB， AM / FB 且 AM= 21FBDEAM, AM= 21DE 12（2009 怀柔一模 25）解：（1）CF 与 BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；当点 D在 BC的延长线上时的结论仍成立
32、（如图 3）由正方形 ADEF得 AD=AF ，DAF=90BAC=90，DAF=BAC ， DAB=FAC.又 AB=AC ，DABFAC.CF=BD. ACF=ABDBAC=90， AB=AC ，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD.学优中考网 （2）画出图形（如图 4），判断：（1）中的结论不成立.画出图形（如图 5），判断：（1）中的结论不成立.（3）当BCA=45 时，CFBD（如图 6）理由是：过点 A作 AGAC 交 BC于点 G，AC=AG.可证：GADCAF ACF=AGD=45 .BCF=ACB+ACF= 90 即 CFBD.（4）当具备B
33、CA=45 时，过点 A作 AQBC 交 CB的延长线于点 Q，（如图 7），DE 与 CF交于点 P时， 此时点 D位于线段 CQ上，BCA=45，AC= ，2由勾股定理可求得 AQ= CQ=2设 CD=x ， DQ=2x，易证AQDDCP， ， .CPDQA2xP 121x0x ， 3当 x=1时，CP 有最大值 2113（2009 门头沟一模 25）解：（1）线段 CE与 FE之间的数量关系是 CE= FE2图 7图 6图2 BDCFEA（2）（1）中的结论仍然成立如图 2，连结 CF，延长 EF交 CB于点 G 90,ACBED DEBC EDF= GBF又 ， DF=BF，EFDGB
34、 EDF GBF EF=GF， BG DE AE AC=BC， CE=CG EFC=90， CF=EF CEF为等腰直角三角形 CEF=45 CE= FE2（3）（1）中的结论仍然成立如图 3，取 AD的中点 M,连结 EM， MF,取 AB的中点 N,连结 FN， CN， CF DF=BF， 1/,.2FAB且 AE=DE， AED=90, AM=EM， AME=90. CA=CB, ACB=90,学优中考网 B DCEA图3F1图MP D C BA EQ ， ANC=90.12CNAB ， FM=AN =CN./MF四边形 MFNA为平行四边形. FN=AM=EM， AMF= FNA. EMF= FNC. EMF FNC. FE = CF， EFM= FCN.由 ， ANC=90，可得 CPF=90./MFAN FCN PFC=90. EFM PFC=90. EFC=90. CEF为等腰直角三角形 CEF=45. CE= FE214（2009 门头沟二模 24）（1）证明：如图，四边形 ABCD是矩形， AD BC90ABCED BE2 AE，30AB60ECABE BD是 EBC的平分线， 1302BDD图 3图 2图 1
