1、 / 1412012 年北京市中考数学二模分类汇编实验操作题图形的剪拼问题1.（大兴 22）阅读材料 1：把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割重拼” 如图 1，一个梯形可以分割重拼为一个三角形；如图 2，任意两个正方形可以分割重拼为一个正方形（1）请你在图 3 中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图 4，图 5 中；阅读材料 2：如何把一个矩形 ABCD（如图 6）分割重拼为一个正方形呢？操作如下：画辅助图:作射线 OX，在射线 OX 上截取 OM AB， MN BC以 ON 为直径作半圆，过点 M
2、作 MI OX，与半圆交于点 I；如图 6，在 CD 上取点 F，使 AF MI ，作 BE AF，垂足为 E把 ADF 沿射线 DC 平移到 BCH 的位置，把 AEB 沿射线 AF 平移到 FGH 的位置，得四边形 EBHG（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形 EBHG 是正方形 .22.(1)图 图 图 图图 图 图图 图分割正确，且画出的相应图形正确2 分（2）证明：在辅助图中，连接 OI、NION 是所作半圆的直径，OIN90MION，OMIIMN90且OIMINMOIMINM 即 IM 2OM NM3 分OMIM IMNMOM=AB， MN=BCIM 2 = ABBCAF=IM
3、AF 2AB BC=ABAD四边形 ABCD 是矩形，BEAF ，DCAB，ADFBEA90DFAEAB DFAEAB 即 AFBEAB AD=AF 2ADBE AFABAFBE4 分AF=BHBHBE由操作方法知 BEGH， BEGH四边形 EBHG 是平行四边形GEB90，四边形 EBHG 是正方形5 分2.（怀柔 22）阅读下面材料：在数学课上，李老师给同学们提出两个问题：“谁能将下面的任意三角形分割后，再拼成一个矩形” ；“谁能将下面的任意四边形分割后，再拼成一个平行四边形”./ 143. 经过小组同学动手合作，第 3 组的小亮同学向大家展示了他们组的分割方法与拼接方案，如图 1 和图
4、 2 所示； 请你参考小亮同学的做法,解决下列问题：（1） “请你将图 3 再设计一种分割方法，沿分割线剪开后所得的几块图形恰好也能拼成一个矩形” ；（2） “请你设计一种方法，将图 4 分割后，再拼成一个矩形”.22答案：（说明：本题分割方法不唯一）(1)2 分 方法一、 方法二、方法三、 方法四、（2） 5 分 方法一、 方法二、 图形的面积问题3.（房山 22）阅读下面材料并完成问题：已知：直线 AD 与ABC 的边 BC 交于点 D，如图 1，当 BD=DC 时，则 SABD _SADC (填“=”或“”或“”)图 3图 4DB CADBCAB CAD图 1 图 2 图 3如图 2，当
5、 BD= DC 时，则 ABSADCS如图 3，若 ADBC,则有 (填“=”或“”或“”)CB请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：过四边形 ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形 ABCD 的面积分成 12 的两部分 （保留画图痕迹）22=-1 分 -2 分21=-3 分 F EBCADDEAC 交 BC 延长线于点 E E 为 AC 三等分点F 为 BE 三等分点 过 E 作 FGBD 交 DC 于点 E，BC 于 G则直线 AF 为所求 则直线 DG 为所求-5 分BCADGFEB CA D/ 145lD 5D2 D4D3D1 ACBNM EB CAD4.（西城区 22） 阅读下
6、列材料小华在学习中发现如下结论：如图 1，点 A， A1， A2 在直线 l 上，当直线 lBC 时，.BCBCSS请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图 2，已知ABC，画出一个等腰DBC，使其面积与ABC 面积相等；(2)如图 3，已知ABC，画出两个 RtDBC，使其面积与ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；(3)如图 4，已知等腰ABC 中，AB=AC，画出一个四边形 ABDE，使其面积与ABC面积相等，且一组对边 DE=AB，另一组对边 BDAE，对角E= B .图 2 图 3 图 422.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出D 1BC，D 2BC，
7、D 3BC，D 4BC，D 5BC 中的一个即可.（将 BC 的平行线 l 画在直线 BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) 2 分(2) 如图所示，答案不唯一. （在直线 D1D2 上取其他符合要求的点，或将 BC 的平行线画在直线 BC下方对称位置所画出的三角形亦可)4 分(3) 如图所示(答案不唯一 ). 5 分如上图所示的四边形 ABDE 的画法说明：(1)在线段 BC 上任取一点 D（D 不为BC 的中点） ，连结 AD；(2)画出线段 AD 的垂直平分线 MN；(3)画出点 C 关于直线 MN 的对称点 E，连结 DE，AE. 则四边形 ABDE 即为所求.图 1D1 D2B CA
8、图2图1APPA AB CB CCEFA BD5.（平谷 22）在数学活动课上，老师请同学们在一张长为 18cm，宽为 14cm 的长方形纸上剪下一个腰为 12cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图，请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图，并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小（含小明的设计方案示意图）. 22正确画出图形 2 分图（1） ；3 分7AEFScm图（2） ；4 分2135图（3） .6比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最小. .5
9、 分图形变换操作题6.（延庆 22）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在ABC（其中BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边PBC，求 AP 的最大值。FECBADF CEBAD图（2）图（3）/ 147小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋转中心将ABP 逆时针旋转 60得到A BC,连接 ,当点 A 落在 上 C时,此题可解（如图 2） 请你回答：AP 的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC边 AB=4,P 为ABC 内部一点， 则
10、AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）解：（1）AP 的最大值是：62 分（2）AP+BP+CP 的最小值是： （或不化简为 ）4 分6231627.（石景山 22）阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1） ，O 为等边 内部一点，且ABC，求 的度数.3:21:OCBA小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转 60，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2） ，把 绕点 A 逆时针旋转 60，使点 C 与点 B 重合，得到 ，COOA连结 . 则 是等边三角形，故 ，至此，通过旋转将线段 OOA、
11、OB、 OC 转移到同一个三角形 中.B（1）请你回答： .B（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图（3） ，四边形 ABCD 中，AB=AD，DAB=60，DCB=30，AC=5，CD=4.图3 CABPDCBA图 图 图图C图OCBAO OCBA图3MPCBA求四边形 ABCD 的面积.解：22. 解：（1）150 1 分(2) 如图，将 绕点 顺时针旋转 60，使点 D 与点 B 重合，2 分ADC得到 ，连结 . 则 是等边三角形，OBOA可知 ， 3 分4,5CCB在四边形 ABCD 中， ,270360DCBAABCD)(360 4 分92745B 64325154
12、32 BCOABCDSS四 边 形5 分8.（顺义 22）阅读下列材料：问题：如图 1，P 为正方形 ABCD 内一点，且 PAPBPC=123，求APB 的度数小娜同学的想法是：不妨设 PA=1， PB=2，PC=3，设法把 PA、PB、PC 相对集中，于是他将BCP 绕点 B 顺时针旋转 90得到 BAE（如图 2） ，然后连结 PE，问题得以解决请你回答：图 2 中APB 的度数为 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图 3，P 是等边三角形 ABC 内一点，已知APB=115，BPC= 125（1）在图 3 中画出并指明以 PA、PB、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹
13、） ；（2）求出以 PA、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 EDDPPP CCC BBBAAA图 1 图 2 图 322解：图 2 中APB 的度数为 135 1 分（1）如图 3，以 PA、PB、PC 的长度为三边长的一个三角形是 APM （含画图） 2 分（2）以 PA、PB、PC 的长度为三边长的ODCBA/ 149三角形的各内角的度数分别等于60、65、55 5 分9 （丰台 22）小杰遇到这样一个问题：如图 1，在 ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD于点 F，连结 EF，AEF 的三条高线交于点 H，如果 AC=4，EF=3，求 AH 的长小杰是这样
14、思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将AEH 平移至GCF 的位置(如图 2)，可以解决这个问题请你参考小杰同学的思路回答：（1）图 2 中 AH 的长等于 （2）如果 AC=a，EF=b，那么 AH 的长等于 BA DCE FH GHFECDAB图 1 图 2解：（1） ；3 分7（2） 5 分2ab特殊三角形10.（门头沟 22） 数学课上，同学们探究发现：如图 1，顶角为 36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明.（1）证明后
15、，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图 2、图 3 也具有这种特性请你在图 2、图 3 中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；图 136CA图 245 45图 33636（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数（说明：要求画出的既不是等腰三角形，也不是直角三角形）类比学习11.（昌平 22）类比学习：有这样一个命题：设 x、y 、z 都是小于 1 的正数，求证：x（1- y）+ y（1-
16、z）+ z（1-x ）1小明同学是这样证明的：如图，作边长为 1 的正三角形 ABC，并分别在其边上截取AD=x， BE=z，CF=y，设ADF、CEF 和BDE 的面积分别为 、 、 ，1S23则 ，12S（ -） sin60o，yz（ ） i3x（ -） io由 + + ，1S23ABC得 + + xy（ -） sin60o12yz（ -） sin60o12zx（ -） sin60o34所以 x（1- y）+ y（1-z）+ z（ 1-x）1类比实践：已知正数 、 、 、 ， 、 、 、 满足 = = = = abcdyztaxbyczdtk求证： yztx2k22证明：如图，作边长为 正
17、方形 ABCD1 分并分别在各边上截取：AE= ，DH= ,CG= ,BF= ,abcd ，xyztk+ BE= ，AH = ,DG= ，CF = . 2 分 ,90ABCD ， ， ， 3 分12Say21dx32Sct41bz ,34ABCD+正 方 形 .2yxctbzk+ 5 分abzdH1-z1-y1-xz yxS3S2SFEDCBAytd cba S4Hx S3S2S1FDAB CE z/ 141112.（海淀 22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度 (0 360) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角
18、形就是一个旋转角为 120的旋转对称图形. 如图 1，点 O 是等边三角形ABC 的中心, D、E、F 分别为AB、 BC、 CA 的中点, 请你将 ABC 分割并拼补成一个与ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图 1 图 2小明利用旋转解决了这个问题，图 2 中阴影部分所示的图形即是与ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：如图 3，在等边ABC 中, E 1、E 2、E 3 分别为 AB、BC、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N1、N 2 分别为AB、BC、CA 的三等分点. （1）在图 3 中画出一个和ABC 面积相
19、等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹） ；（2）若ABC 的面积为 a，则图 3 中FGH 的面积为 22.解：（1）画图如下：(答案不唯一)2 分图 3（2）图 3 中FGH 的面积为 . 4 分7a13.（密云 22）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图 1， ， ，则点 就是四边形 的准内PHJIPGABCD点（1）如图 2， 与 的角平分线 相交于点 AFDEC,FPEE3 E1 E2 P1 P2 N1N2 M2 M1 CBA图 3GF HFDEFED BACOAB COHFGABCE1E2E3P2M12N12求证：点 是四边形
20、 的准内点PABCD（2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） 22 （本小题满分 5 分）证明：（1）如图 2，过点 作 ，PADPJCIBHAG, 平分 ，EDC -1 分HJ同理 I 是四边形 的准内点-2 分PAB（2）说明：平行四边形对角线 的交点 （或者取平行四边形两对边中点连线的交点,ACBD1P）是准内点，如图 3（1）和图 3（2） ； -4 分1P梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点 是准内点，如图 4. -5 分214.（东城区 22） 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学 一天他在解
21、方程 时，21x突发奇想： 在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使 ，那么当21x 2时，有 i，从而 i 是方程 的两个根 2x21x据此可知：(1) i 可以运算，例如：i 3=i2i=-1i=-i，则 i4= ，i2011=_，i 2012=_；(2)方程 的两根为 （根用 i 表示） 20x15.（通州 25 附加题）问题情境已知矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型/ 1413设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 2()0ayx探索研究（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 的图象性质1
22、()填写下表，画出函数的图象：观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数 y = ax2bx c（a 0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到，请你通过配方求函数 (x0)的最小值1y解决问题（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案25.选作题解： ， ， ，2， ， ， 17403510374函数 的图象如图(1 分)yx()， ， （3 分）本题答案不唯一，下列解法供参考当 时， 随 增大而减小；01xyx当 时, 随 增大而增大；当 时函数 的最小值为 2 (5 分)xyx(0)x 14321 2 3 4 y 1yx= 22()= (7 分)2211()2xxx= 2()当 =0，即 时，函数 的最小值为 2(8 分) 1xx1yx(0)当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为 (10 分)a4a
