1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（58）观察法甲内容提要数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法） ，但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是 1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是1；n 次方程有 n 个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒
2、等式.对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.乙例题例 1. 解方程：x+ x1=a+ a.解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知 x=a；或 x= a1.观察本题的特点是：左边 x , 右边 a. （常数 1 相同）.可推广到：若方程 f(x)+ mf)(（am0） ， 则 f(x)=a； f(x)= a.如：方程 x2+ 25a, x2+3x 83
3、2x (8=10 102).都可以用上述方法解.例 2. 分解因式 a3+b3+c33abc.分析：观察题目的特点，它是 a, b, c 的齐三次对称式.若有一次因式，最可能的是 a+b+c；若有因式 a+bc,必有 b+ca, c+ab；若有因式 a+b, 必有 b+c, c+a； 若有因式 bc, 必有 ca, ab.解：用 a=bc 代入原式的值为零， 有因式 a+b+c.故可设 a 3+b3+c33abc=(a+b+c)m(a 2+b2+c2)+n(ab+bc+ca).比较左右两边 a3 的系数，得 m=1, 比较 abc 的系数， 得 n=1.a 3+b3+c33abc=(a+b+c
4、) (a 2+b2+c2ab bcca)学优中考网 例 3. 解方程 x33. 分析：观察题目的特点猜想 用自身迭代验证： x= xxxx 33.解：x= 3， 可化为 x2 x3=0, x= 21. 经检验 1是增根. 原方程只有一个实数根 x= 23. 例 4. 求证： 1)()()( bcaxbcxabx .证明：把等式看作是关于 x 的二次方程，最多只有两个实数根；但 x=a, x=b, x=c，都能使等式成立，且知 abc，这样，方程 就有三个解；方程的解的个数，超过了方程的次数.原等式是恒等式. 证毕.例 5. 选择题 (只有一个正确的答案 )1. 四边形 ABCD 内接于圆，边长
5、依次为 25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（ ）（A）66. （ B）65. （C）63. （D）62.2. 直角梯形 ABCD 的垂腰 AB=7，两底 AD=2，BC=3，如果边 AB 上的一点 P，使得以 P，A，D 为顶点的三角形和以 P，B，C 为顶点的三角形相似. 这样的点 P 有几个？答：( )(A) 1 个. (B) 2 个 . (C) 3 个. (D) 4 个.解：1. 选 (B)； 2. 选 ( C).1. 观察数字的特征: 256065=51213 ； 395265=345 都是勾股数.直径等于 65，故选( B )2. 观察 相似比可以是 CAD或 P. 设
6、AP 为 x, 则 x732；或 32x.解得：x=2.8 ， x=1， 或 x=6 . 共有三解. 故选(C).(1)(2)5239256560BAB CDDACP学优中考网 丙练习 58一. 填空题1. 三角形的三边长分别为 192，256，320.则最大角等于_度.2. 化简 48(72+1)(74+1)(78+1)(7 n2+1)+1=_.3. 方程 x2(4+ 3)x+3+ =0 的两个解是_.4. 方程 x3+2x2+3x+2=0 的实数根是_.5. 方程 021x的实数解是_.6. 若 x,y 为实数且 x+y=a, xy=b,则 x2+y2=_.7. 方程 21的解是_.8.
7、写出因式分解的结果：x 37x 2+36=_.(a+b c)3(a 3+b3+c3)=_.9. 方程(a x) 3+(bx) 3=(a+b2x) 3 的三个解是_， _，_10. 方程组 zwxyzx172172的实数解是： wzyx11. 有一个五位正奇数 x，将 x 的所有 2 都换成 5，所有 5 都换成 2，其他的数字不变，得到一个新五位数记作 y，若 x,y 满足等式 y=2(x+1),那么 x 是_(1987 年全国初中数学联赛题 )12. 如左图试问至少要用几种颜色，才能给图中的各边正常着色. (正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上不同的颜色) (1983 年福建省初中数学
8、竞赛题)二. 选择题(只有一个正确的答案 )1. 四边形的边 a, b, c, d, 满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是 ( )(A) 矩形. (B) 菱形. (C) 等腰梯形. (D)不等边的四边形.2. 当 k0 时，函数 y=kx+k 与 y= xk图象在同一直角坐标系内是( )abcdefg2-2-5 5Bqx = -x+1hx = 1x-2-5 5Cgx = x+1fx = 1x-2-5 5Dgx = x+1fx = -1x-2-5 5Aqx = x-1hx = 1x学优中考网 3.实数 a 和 b，ab0, a+b0, ab0,则 a, b 的大体位
9、置是( ) 4. a=1+ b1, b=1+ a, a, b 都不等于 0，那么 b= ( ).(A) a. (B) a. (C) a1. (D) 1a.5. a,b,c 中至少有一个是零，可表示为( )(A) a+b+c0 (B) abc0. (C) a2+b2+c20. (D) ab+ca+bc0.三. 解方程：1.x2+2x+ 3x；2. 2142142 x；3. .四. 求证： 2222 )()()( xbcaxbcxcabx .五. 已知：x 4+x3+x2+x+1=0. 求：x 1989+x1988+x1987+x1986 的值.丙练习 58 参考答案：一.1. 90 2. 7 12n 3. 1，3 3 4. 1 5. 26. a22b,当 a22b0 时无解 7. 2，2 8.3（a+b）(b+c)(c+a)9. a,b, b 10. x=y=z=w= 7二.B C C A C三. 3，1， 2153 4，1，5 2（增根1）四.（仿例 4）五.已知两边乘以 x-1 得 x5=1, 原式=x 1985(x4+x3+x2+x)=1(-1)=-1(D)(C)(B)(A)a 0 ba0 b a0bb0a学优中考网 学优中考 ，网
