1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料(67)参数法证平几甲内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.乙例题例 1 如图已知：AB 是O 的直径，C 是半圆上的一点，CDAB 于 D， N 与O 内切且与 AB、CD 分别切于 E，F.求证：AC=AE.分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系 AC，AE 的关系.证明：设O，N 半径分别为 R 和 r，连接 ON，NE.根据勾股定理：OE= 2)-(Rr= -， AE=OAOE R+ rR2-；OD=OEr
2、= r， AD=OA ODR+ r根据射影定理 AC2=ADAB=(R+ rR2-r)2R=2R 2+2R 2Rr=R2+2R r-2+(R22Rr)=(R+ R)2AC= R+ r2-R. AC=AE例 2. 已知：ABC 的内切圆 I 和边AB，BC ，CA 分别切于 D，E，F，ACBC2ADDB.求证：CRt .证明：设 ADx, 则 DBcx.代入 ACBC2ADDB.得 ab=2x(cx).2x22cx+ab=0.x= 4abc= 2abc, 又根据切线长定理得 x 2abc， 2 . A BCND EOFxbaCCBAIDEF学优中考网 c22ab=a 22ab+b 2. c 2
3、=a2+b2 . CRt .例 3.已知：等边三角形 ABC 中，P 是中位线 DE 上一点，BP，CP 的延长线分别交 AC 于F，交 AB 于 G.求证： BC3F1G .证明：设ABC 边长为 a, PDm, PE=n, BG=x, CF=y.DE 是ABC 的中位线， DEBC，DE 21BC. )2()1(yanxm（1）（2）： yaxam2. 12， 23)1(yx， ayx3. BCF1G .例 4.已知：如图四边形 ABCD 中，过点 B 的直线交 AC 于 M，交 CD 于 N，且CDNAMSABC S ABD S BCD 1 34.求证：M，N 平分 AC 和 CD.证明
4、：设 SABC 1， 则 SABD 3， S BCD 4， S ACD 3416.设 k (0k1).连结 AN.根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得 CDSAN， S ACN 6k；k MCN, S AMN 6kk6k 2；m nPAB CD EFGj MABCDN学优中考网 k CDNSB, S BCN 4k； AMC, S ABM k； SBMC 1k.S ACN S AMN S MNC S BCN S BMC6k6k 2=4k(1k) . 6k2k1=0. k= 1；或 k= 3. (k= 1.不合题意，舍去.) CDNAM k= 2. AMMC，CNND .即 M，N 平分 AC
5、 和 CD.例 5.已知：如图ABC 中，AD 是高，ABDCAC BD.求证：ABAC.证明：设 ABc，ACb, BD=m, DC=n.根据勾股定理得 .22mbn；.)()(cc；.mnb；.c；cb=bc， b=c. 即 ABAC.例 6. 如图已知：一条直线截ABC 三边 AB，BC，AC 或延长线于 D，E，F.求证： 1FACEBD （曼奈拉斯定理）证明：设BDE，DEB，F.根据正弦定理： 在BDE 中， SiniSinDBE；在CEF 中， iCiFi；在ADF 中， )180(SinAi )180(SinF. EAB CFDj MABCDNnmbcAB CD学优中考网 Si
6、n(180 )=Sin. FADECB. Sin i 1)80(Sin.即 1.丙练习 671. 已知：如图三条弦 AB，CD，EF 两两相交于 G，H，I.IAGD HE ， ICGF HB.求证：GHI 是等边三角形.2. 已知：在矩形 ABCD 中，APBD 于 P，PE BC 于 E，PFCD 于 F.求证：PA 3PEPF BD3. 已知：ABC 的两条高 AD，BE 相交于 H，求证：过 A，B，H 三点的圆与过 A，C，H 三点的圆是等圆.4. 已知：AB 是O 的直径，P 是半圆上的一点，PCAB 于 C，以 PC 为半径的P 交O 于 D，E.求证：DE 平分 PC.5. 已
7、知：ABC 的两条高 AD 和 BE 相交于 P，且 AD BC，F 是 BC 的中点.求证：PDPF 21BC6. 已知：平行四边形 ABCD 中，AB ，AC 2BD2AB 4AD 4.求证：A 3B.7. 求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的 两边的乘积的比.8. 已知：AB 是O 的直径，E 是半圆上的一点，过点 E 作O 的切线和过 A，B 的O 的两条切线分别相交于 D，C，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 F，EF 的延长线交 AB 于 H.求证：EF=FH.9. 已知：如图M 和 N 相交于 A，B，公共弦 AB 的延长线交两条
8、外公切线于 P，Q.求证：PA=QB； PQ 2=AB2+CD2. 10. 已知：正方形 ABCD 内一点 P，满足等式PAPBPC123.求证：APB 135 .11. 一个直角三角形斜边为 c,内切圆半径是 r,求内切圆面积与直角三角形面积的比 . （提示：引入参数 a 和 b 表示两直角边）（1979 年美国中学数学竞赛试题）丙练习 67 参考答案：IGHAEFBCDBAM NFE QC PD学优中考网 1. 设 IAa, ICb, IHx, HQy 用相交弦定理列方程组.2. 引入参数 ，设DBC，PA 2PBPD CosPFinSE3. 设ABHACH，用 AHSin 表示两圆的半径
9、.4. 设 DFm, FE=n, PF=x, FC=y, P 的半径为 r,由相交弦定理，得mn=x(y+r)=y(x+r)6.设 ABa, AD=b, AC=p , D=q (qp), 则 422)(baqpCosA= abq2= 2，A45 度.7.设 AB=a, BC=b. CD=c, DA=d, OA=x, OC=y， OD=u, OB=v,yvxud BOCADS，同理 yuxvc8.设 EF=x, FH=y, DA=DE=a, CB=CE=b, 可证 EF BCba， ab9. 设 PAPCPDx， QBQE QFy, AB=a，CD EF由切割线定理可知 x=y,PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2=4PAPB+AB2=4PC2+AB2=4 CD）（ +AB2=AB2+CD211. rc 学优中考网 学优 中考，网
