1、河北武中宏达教育集团教师课时教案备课人 授课时间课题 111 正弦定理课标要求 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法知识目标 理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性教学目标情感态度价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。问题与情境及教师活动 学生活动教学过程及方法讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11
2、-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有， ，又 ,sinaAcibBsincC则Aciiic从而在直角三角形 ABC 中， bC B sinisinabABCa思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=,则 ，siniaBbAsiniabB同理可得 ， iicC从而 sinisi1河北武中宏达教育集团教师课时教案问题与情境及教师活动 学生活动教学过程及
3、方法（证法二）：过点 A 作 ，jC由向量的加法可得 B则 ()jj jABjCj00cos9cos9BC ，即iniainaA同理，过点 C 作 ，j可得 sinbcB从而 iiaAsin（证法三）：（外接圆法）如图所示， 同理 =2R，RCDa2sini Bbsin 2RcsiisibAB类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabAB2sincRC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k
4、使 ， ，iik；sinckC（2） 等价于 ， ，iiabABsincsiinabABsiincbCsii从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；sinbAa2河北武中宏达教育集团教师课时教案abcOBCAD问题与情境及教师活动 学生活动教学过程及方法已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaABb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。三、讲解范例例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。C032.A081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()0132.1.8；6.根据正弦定理，；0
5、sin4.9si.8.1()32aBbcmA根据正弦定理， 0si.si6.74.()nCc评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2 在 CAacBbA,1,30和求中 ， 解： 21360sinsiin,siinbCc 000 9,6, BBb为 锐 角 ， 22ca例 3在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角AC0a28b04A度精确到 ，边长精确到 1cm） 。01解：根据正弦定理， 0sin28i4i .9bBa因为 ，所以 ，或0106B016. 当 时，6，0008()8(4)7CA0sin2i763.accm 当 时，01B008()8(41)24A3河北武中宏达教育集团教师课时教案教学问题与情境及教师活动 学生活动过程及方法0sin2i413().aCccmA评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。随堂练习第 5 页练习第 1（1） 、2（1）题。课堂小结（由学生归纳总结）（1） 定理的表示形式：siniabABsincC0isiniabckABC或 ， ，kkk()（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。教学小结课后反思4
