1、2.3.1 直线与平面垂直的判定教学目的：1 理解直线与平面垂直的定义；2 掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程；3 应用直线与平面垂直的判定定理解决问题 教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 教学过程：一、复习引入：1 直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点） ；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点） ；（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为 ， ，aA/a aaAa2 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的
2、一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： ,/lmll3 线面平行的性质定 理 ： 如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ，经 过 这 条 直 线 的 平 面 和 这 个 平 面 相 交 ， 那 么 这 条 直 线 和交 线 平 行推理模式： /, /l lm二、讲解新课：1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直说明：“任
3、何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足 a 等价于对任意的直线 ，都有 am利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂ml直的最基本的性质2 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即 若 ， ， B ， ， ，则 lmlnmnl已知： 、 是平面 内的两条相交直线，直线 与 的交点为 B，且 l l， n求证： l分析：在 内平移 ， ，使它们都通过点 B，这时 ，
4、 仍保持和 垂直nl过点 B 作任一条不与 ， 重合的直线 g，如果我们能根据 且 推出nlmg，那么就证明了直线 和过点 B 的所有直线都垂直，即 垂直l l 为此，我们在 上自点 B 起于平面 的两侧分别截取 BA=BA，于是 ，l都是线段 AA的垂直平分线，它们上面的点到 A、A的距离相等n如果我们能证明 g 上的点到 A、A的距离也相等，那么 g 也是 AA的垂直平分线，于是 g 就垂直于 l在 g 上任取一点 E，过点 E 在 内作不通过点 B 的直线，分别与 ， 相mn交于点 C、D，容易证明ACDACD，进而又可证明ACEACE于是 EA=EA，g l一般地：证明：如果一条直线和
5、平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知： 是平面 内的两条相交直线，直线 与 的交点为 ，且,mnlB，l求证： l证明：过点 作B/,/n ，,l ,lm过 任作直线 ，在 上于 平面两侧分别截取 ，aBA 都是 的垂直平分线，,mnA ，,DC在 上任取点 ，过 在平面 内作不通过 的直线aE分别与 相交于点 ，,n, ，A ，又 ，CAC ，EE ， al三、讲解范例：例 1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：ab,a求证：b证明：设 是 内的任意一条直线m mba bmbam/本题的作用：要证 b ，没有办法？而已知 a
6、b，只需证 a 即可，在证题时起转移作用，但具体要证 a 还需其他方法例 2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面 和一点 P求证：过点 P 与 垂直的直线只有一条证明：不论 在平面 内或外，设直线 ，垂足为 （或 ）PAAP若另一直线 ，设 确定的平面为 ，B,AB且a ,PA又 在平面 内，与平面几何中的定理 矛盾所以过点 与 垂直的直线只有一条例 3 有一根旗杆 高 ，它的顶端 挂一条长 的绳子，拉紧绳子并把AB8mA10m它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上） ，如果这两点都,CD和旗杆脚 的距离是 ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？6解：在 和 中，CD 8,10A
7、BmA 222610C 9ABCD即 ,又 不共线 平面 ，即旗杆和地面垂直；ABCD例 4 已知直线 平面 ，垂足为 A，直线 APl l求证：AP 在 内证明：设 AP 与 确定的平面为 如果 AP 不在 内，则可设 与 相交于直线 AM ， AMll C BDA B PAaPBAEDCBA又 AP ，于是在平面 内过点 A 有两条直线垂直于 ，这是不可能的l l所以 AP 一定在 内例 5 求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知: P求证:过点 有且只有一个平面 证明:过平面 外一点 作直线 ,再过点 作平面 ,使 ,PlPl则 .因为过点 且与 平行的平面必与 的垂线
8、也垂直,而过点 与 垂直的平lPl面是唯一的,所以过点 且与 平行的平面只有一个.指出:由例 2 可得 ,.例 6 已知：空间四边形 ， ， ，ABCDBDC求证： BC证明：取 中点 ，连结 ，E, ，,A ，BCD 平面 ，E又 平面 ，A B四、课堂练习：1选择题（1） “直线 垂直于平面内的无数条直线”是“ ”的 （ ）l l（ A）充分条件（ B）必要条件（ C）充要条件（ D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线 与平面的一条垂线垂直，那么直线 与平面的位置关系l l是（ ）（ A） （ B） （ C） （ D） 或 l ll答案：（1）B (2)D2填空题（1）过直线外一点作直
9、线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一3能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？ 答案：（能，而且有无数条） （不能）4 拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.5 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.6 过一点和一条直线垂直的平面是否
10、只有一个？为什么？答案：是.假若有两个平面 过点 A 都于 垂直，过这条公共垂线 作一个不,l l经过两平面 的交线的平面 ， 与 分别相交于直线 且, ,abA， ，从而有 ，此与 矛盾.,lablab7 如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面答案：是8 求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面，叫做这条线段的垂直平分面五、小结 ：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线 垂直于平面 ，那么 就垂直于 内的任何一条ll直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路
