1、高中数学高一年级必修 5 第二章第二节等差数列第二课时 等差数列性质（导学案）制作单位：沙市五中 作者：杨春亮目标定位：1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律。2.理解等差数列的性质。 （重点）3.掌握等差数列的性质及其应用。 （难点）等差数列性质的应用例 1 (1)已知 an为等差数列，a 3a 4a 5a 6a 7450.求 a2a 8 的值(2)(2012江西高考)设数列a n，b n都是等差数列若 a1b 17，a 3b 321，则a5b 5_.(1)解 a 3 a4a 5a 6a 7450，由等差数列的性质知：a 3a 7a 4a 62a 5.5a 5450.a 590.a 2a
2、 82a 5180.(2)解析 法一 ：设数列a n， bn的公差分别为 d1，d 2，因为 a3b 3( a12d 1)(b 1 2d2)( a1b 1)2(d 1d 2)72( d1d 2)21，所以 d1d 27，所以a5b 5( a3b 3)2( d1d 2) 212735.法二：数列a n，b n都是等差数列，数列a nb n也构成等差数列，2(a 3b 3)(a 1b 1)(a 5b 5)2217a 5b 5a 5b 535.答案 35类题通法1利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示2本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：若 mnpq，则 ama
3、 na pa q.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a 7a 8，但 a6a 9a 7a 8；a 1a 21a 22，但 a1a 212a 11.活学活用1(1)已知a n为等差数列，a 158，a 6020，则 a75_.(2)如果等差数列a n中，a 3a 4a 512，那么 a1a 2a 7( )A14 B21C28 D35解析：法一：因为a n为等差数列，所以 a15，a 30，a 45，a 60，a 75 也成等差数列，其公差为 d，a 15 为首项，则 a60 为其第四项， 所以 a60a 153d，得 d4.所以 a75a 60da 752
4、4.法二：因为 a15a 114d，a 60a 159d，所以Error!解得Error!故 a75a 174d 74 24.6415 415(2)a 3a 4a 512，3a 412，则 a44，又 a1a 7a 2a 6a 3a 52a 4，故 a1a 2a 77a 428.故选 C.答案：(1)24 (2)C灵活设元求解等差数列例 2 (1)三个数成等差数列，其和为 9，前两项之积为后一项的 6 倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为 8，求这四个数解 (1) 设这三个数依次为 ad，a，ad，则Error!解得Error!这三个数为 4,3,2.(
5、2)法一：设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d( 公差为 2d)，依题意，2a2，且(a3d)( a3d)8，即 a1，a 29d 28，d 21，d1 或 d1.又四个数成递增等差数列，所以 d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.法二：若设这四个数为 a，ad，a2d，a3d(公差为 d)，依题意，2a3d2，且 a(a 3d)8，把 a1 d 代入 a(a3d)8，32得(1 d)(1 d)8，即 1 d28，32 32 94化简得 d24，所以 d2 或2.又四个数成递增等差数列，所以 d0，所以 d2，a2.故所求的四个数为2,0,2,4.类题通法常见设元技巧(1)某两个数是
6、等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：ad，ad，公差为 2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：ad，a ，ad，公差为 d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成 a3d，ad，a d，a3d，公差为 2d.活学活用2已知成等差数列的四个数，四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这个等差数列解：设这四个数依次为 a3d，ad，ad，a3d.由题设知Error!解得Error!或Error!这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.等差数列的实际应用例 3 某公司经销一种数码产品，第 1 年获利 200 万元，从第 2 年起由于市场竞争等方面的
7、原因，利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题意可知，设第 1 年获利为 a1，第 n 年获利为 an，则ana n1 20，(n2，n N*)，每年获利构成等差数列 an，且首项 a1200，公差d20，所以 ana 1(n1)d200(n1) (20)20n220.若 an0，则该公司经销这一产品将亏损，由 an20n2200，解得 n11，即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损类题通法1在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考
8、虑利用等差数列方法解决2在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量活学活用3 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )A1 升 B. 升6766C. 升 D. 升4744 3733解析：选 B 设所构成的等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，则有Error!即Error!解得Error!则 a5a 14d ，6766故第 5 节的容积为 升6766随堂即时演练1已知等差数列a n，则使数列b n一定为等差数列的是( )Ab na n Bb na 2n
9、Cb n Db nan1an解析：选 A 数列a n是等差数列，a n1 a nd( 常数)对于 A：b n1 b na na n1 d，正确；对于 B 不一定正确，如数列a nn，则bna n 2，显然不是等差数列；对于 C、D： 及 不一定有意义，故选 A.2n an1an2(2012辽宁高考)在等差数列 an中，已知 a4a 816，则 a2a 10( )A12 B.16C20 D24解析：选 B 因为数列a n是等差数列，所以 a2a 10a 4a 816.3已知数列a n中，a 510，a 1231，则其公差 d_.解析：d 3.a12 a512 5 31 107答案：34在等差数列a n中，已知 a22a 8a 14120，则 2a9 a10 的值为_解析：a 2a 142a 8，a 22a 8a 144a 8120，a 830.2a 9a 10(a 8a 10)a 10a 830.答案：305已知等差数列a n中，a 1a 4a 715，a 2a4a645，求此数列的通项公式解：a 1a 72a 4，a 1a 4a 73a 415.a 45.又a 2a4a645，a 2a69，即(a 42d)(a 4 2d)9，亦即(52d)(5 2d)9，解得 d2.若 d2，a na 4(n4)d2n3；若 d2，a na 4(n4)d132n.
