1、3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示【学情分析】：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用【教学
2、难点】：空间向量的分解【教学过程设计】：教学环节 教学活动 设计意图一温故知新 回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此为基础，推导空间向量的正交分解和基本定理二新课讲授1空间向量的正交分解设 ， ， 是空间的三个两两垂直的向量，且有ijk公共起点 O。对于空间任意一个向量 ，设OPpQ 为点 P 在 ， 所确定的平面上的正投影，由平ij面向量基本定理可知，在 ， 所确定的平面上，Qk存在实数 z，使得 zO而在 ， 所确定的平面上，由平面向量基本定理ij可知，存在有序实数对 ，使得),(yxjyixOQ从而 kzjyixkzP以平面向量的基本定理为基础，层层递进，得到空间向量的正交 分
3、解形式。由此可知，对空间任一向量 ，存在一个有序实p数组 ，使得 ，称 ，zyx, kzjyixix， 为向量 在 ， ， 上的分向量。jk 注意介绍单位正交基、正交基、基的特殊与一般的关系，以帮助 学生理解概念。ABCOMNG2空间向量的基本定理如果三个向量 不共面，那么对空间任一cba,向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使p ),(zyxczyx由此定理， 若三向量 不共面，那么空cba,间的任一向量都可由 线性表示，我们把,叫做空间的一个基底 ， 叫做基向量。cba, c,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底
4、，特别地，当一个正交基底的三个基向量 都是单位向量时，称这321,e个基底为单位正交基底，对空间任一向量 ，存p在一个唯一的有序实数组 ，使),(zyx记321ezyexp,p推论：设 是不共面的四点，则对空,OABC间任一点 ，都存在唯一的三个有序实数 ，P,xyz使 xyz三典例讲练例 1 如图，已知空间四边形 ，其对角线ABC， 分别是对边 的中点，点,OBAC,N,在线段 上，且 ，用基底向量G2表示向量,解： 向量的分解过程中注意向量的运算的正确使用。231()122()3316OMNABCOAOA 13GBC四练习巩固1、如图，在正方体 中， ，点 E/DA是 AB 与 OD 的交
5、点,M 是 OD/与 CE 的交点，试分别用向量表示 和OCBA,DM解： OCBA/M3131课本 P94 练习 1、2、3五拓展与提高1设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令 u，v ， w ，ACBD则 u、v、w 三个向量 （ ）A互不相等 B至多有两个相等C至少有两个相等 D有且只有两个相等2若 a、b、c 是空间的一个基底，下列各组la、mb、nc (lmn0)；充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。a+2b 、2b+3c、3a9c；a+2b 、b+2c、c+2a；a+3b 、3b+2c、2a+4c中，仍能构成空间基底的是 （ ）A B C D六小结1
6、正交分解的推导和空间向量基本定理2如何将向量用坐标表示3任意空间向量在某组基底下的分解七作业 课本 P97 习题 3.1 第 6 题练习与测试：（基础题）1 如图，在正方体 中， ，点 E 是 AB 与 OD 的交点,M 是 OD/与 CE 的交点，试分别/BDCAO用向量 表示 和BA,M解： D/ OCOM31312设向量 是空间一个基底，则一定可以与向量 构成空间的另一个基底的向,cba baqp,量是 （ ）A B C Dbc或3设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令 u ，v ，w ，则ABCABDu、v、w 三个向量 （ ）A互不相等 B至多有两个相等 C至少有两个相等 D有且只
7、有两个相等4若 a、b、c 是空间的一个基底，下列各组la、mb、nc (lmn0) ； a+2b、2b+3c、3a9c；a+2 b、 b+2c、c+2a； a+3b、3b+2c、2a+4cEMGDCBA中，仍能构成空间基底的是 （ ）A B C D5设 A，B ，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则BCD 是 ( )0AB0C0ABA钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不确定6已知 S 是ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 ，xyzS则 xyz 7在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，G 为ABC 的重心， E 是 BD 上一点，BE3ED ，以 ， ， 为基底，则 ABCDGE（中等题）8已知四面体 中， 两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）,ABC(1). (2). | |ABDABCDABC(3). (4). ()0 222|不一定成立的是 .9,已知非零向量 不共线，如果 ，求证：A、B、C、D21e，121212,8,3ABeCee共面。
