1、1浏阳一中、醴陵一中 2018 年下学期高二年级联考理科数学试题满分:150 分 时量:120 分钟 考试时间 2018 年 12 月 16 日第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）na3nS4aA.15 B. 37 C. 27 D. 642.设命题 ，则 p为( ) 2:0,logpxxA B ,3 20,log3xxC D20 ,logxx ,3.若非零向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）,ab|,20ababA. 30 B. 60 C. 120 D. 15
2、04.设曲线 在点(3,2)处的切线与直线 垂直,则 ( )1xy10xyaA.2 B. C. D. 225.等比数列 an中 ， ,则 的值为( )R354a8221logloglaLA10 B20 C36 D1286.设 都是不等于 1 的正数，则“ ”是“ ”成立的（ ）b, ba 3llbaA. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7.若 ，则 等于（ ）2()(1)fxfx(0)fA. 2 B. 0 C. D.48.在等差数列 中， ， ，则数列 的前 项和 的最大值为（ na13102SnanS）A. B. C. 或 D. 15S16156
3、1729.双曲线 的左、右焦点分别为 ，P 为双曲线右支上一点，I 是 的21,F内心，且 ，则 =（ ）A B C. D10.已知 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，06,A,ACB且都垂直于 ，若 ，则 的长为( )4,6,8CA B7 C D91721711.在椭圆 上有两个动点 ， 为定点， ，则 的最42yxQP,0,EEQPP小值为( )A4 B. C. D.133212.函数 的图象关于直线 x1 对称，当 时， 成)1(xfy )0,(x0)(xff立，若 ， ， c( )f( )，则 的大小2.0.fa )2(lnlfb12log412lcba,关
4、系是（ ）A. B. C. D.cbaba第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _。nanS72994a14.已知抛物线 2yx上一点 P到焦点 F的距离为 5，则 PFO的面积为 。15.若关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 。0e(,)x16.已知 M 是 内的一点（不含边界），且 ， ，ABC23ABC03BA若 和 的面积分别为 则 的最小值是 。, ,zyx14z3三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）设 ， ，若 是 的必要不
5、充分条31:2xp2:(1)()0qxaxqp件，求实数 的取值范围a18.(12 分)小王在年初用 50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 年年x底出售，其销售价格为 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年)x25(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润累计收入销售收入总支出)?19.(12 分)已知等差数列 的首项 ，公差
6、 ，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分na10d别是一个等比数列的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1) 求数列 的通项公式；n(2) 设 ， ，是否存在 ，使得对任意的 均有Nabn31nnbbSL21 tn总成立？若存在，求出最大的整数 ；若不存在，请说明理由6tSnt20.(12 分)如图，三棱锥 ，侧棱 ，底面三角形 为正PABC2PABC三角形，边长为 ，顶点 在平面 上的射影为 ，有 ，2DCDBP4且 .1DB（）求证： 平面 ；/ACPDB（）求二面角 的余弦值；（）线段 上是否存在点 使得 平面 ，如果存在，求 的值；如果不存ECABECEP在，请说明理由.21.(1
7、2 分)已知椭圆 ： （ ）经过点 ，离心率为 ，点E21xyab0a23,525为坐标原点.O（1）求椭圆 的标准方程；（2）过椭圆 的左焦点 任作一直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围.EFlEPQOPur22.(12 分)已知函数 ，其中 .,lnxafxaxfgln6aR（1）讨论 的单调性；(fx（2）设函数 ，当 时，若 ， ，总有2)4hmx2a1(0,)x21,x成立，求实数 的取值范围.12()gx5参考答案一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1-5 BCCBB 6-10 DBADC 11-12 CB二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13. 24 14. 2
8、15. 16. 9e,三、解答题（共 70 分）17.解：由 得31x210x ，即 3 分2:p由 得2(1)()0xax()(1)0xa ，即 5 分:q 是 的必要不充分条件qp 是 的必要不充分条件 8 分)2,1),(a ，解得 . 10 分21a1a18.解：(1)设大货车到第 年年底的运输累计收入与总支出的差为 万元，x y则 ,Nxy ,10,521625即 ,0,0xx由 解得 ，而 ,2251325106故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出6 分(2)小王的年平均利润为:, xxxy 25192512512而 当且仅当 时取得等号,99即小王应当在第 5 年年底将大货车
9、出售，才能使年平均利润最大12 分19.(1) 由题意得 ，21143dada整理得 ,221,0 ， . 4 分aNnn(2) ， 6 分1213nbn nnbSL21 13nL. 8 分1假设存在整数 满足 总成立，t36tSn又 ,012121 nSn数列 是单调递增的 为 的最小值，故 ，即 .41nS436t9t又 ，适合条件的 的最大值为 8. 12 分Ztt20.（）因为 ，且 ， ，所以 ，所以 .ADB12AB3D60BA因为 为正三角形，所以 ，BC60C又四边形 为平面四边形，所以 ./因为 平面 ， 平面 ，APBPD所以 平面 . 4 分/D（）由点 在平面 上的射影
10、为 可得 平面 ，所以 ，ACACBDPA.PB7建立空间直角坐标系，则由已知可知 ， ， ， .(1,0)B(,30)A(,1)P(2,30)C平面 的法向量 ，ABC(0,)n设 为平面 的一个法向量，则(,)xyzmPA由 可得 令 ，则 ，0,BP30,xyz13,xz所以平面 的一个法向量 ，A(,)m所以 ，321cos,|7n由图可知二面角 的平面角为钝角，所以其余弦值为 .8 分PABC217（）由（）可得 ， ，(1,30)(2,31)P因为 ，所以 与 不垂直，(2,3),C CAB所以在线段 上不存在点 使得 平面 . 12 分PEE21解：（1）因为 ，所以 ，从而 ，
11、2514ab5ab2c椭圆 的方程为 . 4 分E215xy（2） ，当直线 的斜率不存在时，可得 ， ，,0Fl52,P,Q此时 ； 5 分1945OPQur当直线 的斜率存在时，设 ： , , ,ll2ykx1y2x联立 与 ，可得 ，2ykx21525050k所以 ， ， 7 分1220210kx，12OPQxyur222114xk8，（10 分） 22510k220415k2241951kk因为 ， ，所以 ，从而 ，22 20k95OPQur综上可得 的取值范围是 . 12 分OPQur195,22. (1) , 2)(xaf),0(当 时， ，此时 在 上单调递增；0afxf),(当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增5 分)(x),a,a（2）当 时， ，a25lngx25xg由 得 或0gx1x当 时， ；当 时， . ,20g1,20gx所以在 上，0,1max35ln而“ ， ，总有 成立”等价于,x21,12gxh“ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值” g,而 在 上的最大值为hx1, a所以有2hg 85ln235ln2 85ln218mm所以实数 的取值范围是 12 分ml,
