1、第四章 流体动力学分析基础,研究内容:守恒定律,连续性方程,欧拉方程,伯努里方程,纳维-斯托克斯方程,动量方程和动量矩方程。,4-1 系统和控制体,1.系统:在研究流体运动时,为了确定研究的对象,规划出研究的范围,常取出需要研究的部分,即一团流体质点的微团,在运动过程中,它始终包含着这些流体质点。 2.控制体:流场中某个确定的空间区域。控制体内流体可随时变化,流进流出。,4-2 雷诺输运定理,一.雷诺输运方程,系统,4-2 雷诺输运定理,4-2 雷诺输运定理,4-3 流体流动的连续性方程,一.连续性方程 要应用质量守恒,系统的物理量B就成为质量m, 单位质量的物理量,雷诺输运方程成为,因质量守
2、恒,4-3 流体流动的连续性方程,二.不可压缩流体的连续性方程 对定常流动,有,再对不可压缩流体,密度不随时间而变,则有,4-3 流体流动的连续性方程,对任意有限截面的流管,有,4-3 流体流动的连续性方程,4-4 理想流体的能量方程,上节根据质量守恒推出了连续性方程,现根据能量守恒来推导能量方程。 由热力学第一定律,得,应用雷诺输运方程,单位质量的能量,4-4 理想流体的能量方程,上式表示单位时间输入系统的热量与环境对系统所作的功等于控制体内的能量对时间的变化率与通过控制体表面的能量流率之和。重力场中,单位质量的能量可表示为,4-4 理想流体的能量方程,为单位时间作用在控制面上的表面应力所做
3、的功,对理想流体,切向应力=0,法向应力为,4-4 理想流体的能量方程,在定常且绝热的情况下,有,4-5 伯努利方程,一.伯努利方程 理想流体,绝热定常流动,侧面 流入截面A1, 流出截面A2, 有,4-5 伯努利方程,根据连续性方程,有,对于不可压缩理想流体与绝热边界,内能和密度皆为常数,4-5 伯努利方程,即,4-5 伯努利方程,Daniel Bernoulli (1700-82) Mathematician born in Groningen in the Netherlands. A good friend of Euler. Made efforts to popularise th
4、e law of fluid motion, while tackling various novel problems in fluid statics and dynamics. Originated the Latin word hydrodynamica, meaning fluid dynamics.,4-5 伯努利方程,The law of conservation of energy in that the sum of the kinetic energy, energy due to pressure and potential energy (i.e. the total
5、energy) is always constant. This is Bernoullis equation. Condition:1. Perfect fluid;2.Non compressible; 3.Mass force is gravity;4. Steady state;5.One dimension,4-5 伯努利方程,Exchange between pressure head and velocity head,4-5 伯努利方程,Hydraulic grade line and energy line,h2 and h3 are the losses of head b
6、etween section 1 and either of the respective sections.,4-5 伯努利方程,二.应用 1.小孔出流,若皆暴露于大气压下,则,4-5 伯努利方程,2.皮托(Pitot)管,直角弯曲管一端朝上,一端向来流,朝向来流处成为驻点,速度为0,该点的压强称为总压强,其值高于周围的静压。,4-5 伯努利方程,However, with an actual Pitot tube, since some loss occurs due to its shape and the fluid viscosity, the equation is modifie
7、d as follows:,4-5 伯努利方程,3.汾丘里(Venturi)管,Assuming that the pipe line is horizontal,4-5 伯努利方程,However, since there is some loss of energy between sections, in actual cases, the above equation is amended as follows:,4-5 伯努利方程,例 求水位从H1降到H2所需时间,小孔面积为a,桶截面积为A,C is called the coefficient of discharge. For
8、a small hole with a sharp edge, C is approximately 0.60.,4-6 动量定理,一.定常流动的动量定理 动量方程适用于求解流体与固体间的相互作用问题,是动量守恒定律对流体流动问题应用的结果。 根据动量定理:系统内流体动量对时间的变化率等于作用在系统上外力的矢量和。,4-6 动量定理,应用雷诺输运方程,把这一对系统的方程转换成适用于控制体的方程。,4-6 动量定理,对于定常流动:,4-6 动量定理,综合上述三式,得在定常流动条件下:物理意义:定常流动时,作用于固定控制体上的 合力等于流出、流入控制面的净动量流率。,4-6 动量定理,求解时通常将
9、上式分解为x、y、z三个分量方程,定常流动条件下合力沿三个坐标轴的分量与流出和流入控制面的净动量流率在三个坐标轴的分量相等。,4-6 动量定理,下面对合力项和净动量流率项作分析讨论 (1)合力项 动量方程中的合力项F表示作用在系统上所有外力的矢量和 作用在系统上的合力看作就是作用在控制体上的合力。 合力包括所有质量力和表面力,4-6 动量定理,令 表示单位质量的质量力,而且质量力只有重力, 即则总质量力可以表示成,4-6 动量定理,控制体上的表面力由两部分组成: (1)切割凸出于控制面的固体所产生的力 (2)周围流体的压强力和粘性应力所产生的力计算时要特别注意压强力的方向:,4-6 动量定理,
10、如在全部闭合控制面上都作用一均匀压强pu,因控制面 是闭合的所以净压强的矢量和为零,即因此,若控制面上作用的总压强包含这个均匀压强pu, 为简化计算,可将总压强减去均匀压强来计算压强力,其 结果是相同的。,4-6 动量定理,(2)净动量流率项固定控制体的净动量流率项 是对控制面的一个面积分。通常当控制面上流体速度分布不均匀时,可以适当选择控制体,使 和 在控制面上都均匀,此时净动量流率可以如此计算,4-6 动量定理,上式中 是控制面上法向速度的大小,与方向无关。式中 表示流过控制面的质量流率 ,因此又可以表示成上式为矢量方程,可以分解成x、y、z三个坐标轴的分量,4-6 动量定理,注:如果坐标
11、方向与分速度方向一致,动量流率为正值,反之为负。,4-6 动量定理,二. 动量方程的应用在应用动量方程求解流体与固体之间的相互作用问 题时,应注意以下几点: (1)选择合适的控制体; (2)要确定坐标系; (3)将已知外力、动量向所确定的坐标轴投影,求得在 该方向上的分量; (4)假定待求力的方向与所确定的坐标的方向一致。若 最后计算结果为正值,说明待求力的方向与假定一致,沿坐标轴正向,若计算结果为负值,则待求力 的方向与假定相反,沿坐标轴负向。,4-6 动量定理,4-6 动量定理,4-6 动量定理,解:如图所示,选定坐标系的X轴与喷嘴喷出的方向相同,y轴与平板表面平行。如图虚线所示选择控制体
12、,可见控制面切割支撑管,支撑管对控制体有作用力R,本题就要求解此力。假定Rx的方向与坐标x的方向一致,写出定常流动的x方向的动量方程:,4-6 动量定理,x方向无质量力,即 x方向表面力为:(1)控制体左面大气压强的作用力,与x向一致,为paA(2)控制体右面大气压强的作用力,与x向相反,为-paA(3)支撑管对控制体的作用力,根据假定沿x正向,为Rx.所以,4-6 动量定理,动量流率项有三部分:一个流入和两个流出的动量流率项,其中两个流出动量流率项由于与x向垂直,所以沿x向的分量为零,因而沿x向的动量流率只有进口截面A1上的值,即上式中最后一项的负号是因为在进口截面A1 ,流入速度 与 方向
13、相反。,4-6 动量定理,得:因为所求得的RX为负值,所以实际的RX方向 与假定方向相反,故支撑这块平板得水平力大小 为2000N,方向向左。,4-6 动量定理,例45 一个内径d=0.34m,曲率半径R=0.53m的90。钢弯头,质量mc=71.9kg,对焊在输水量Q18m3/min的竖直管道上,弯头进口处压力表指示的相对压强pg=0.014MPa,弯管出口为大气压,如图示,试求定常流动时焊缝内支撑弯头的力。假设水的密度为1000kg/m3,弯头出入口截面速度均匀。,4-6 动量定理,解: 坐标系如图,控制体如图中虚线所示。假设焊缝支撑弯头的水平力Rx和垂直力Ry沿 x、y坐标正向,定常流动
14、的动量方程式:质量力在x方向投影为零,即,4-6 动量定理,4-6 动量定理,表面力在x方向投影为 可得质量力在y方向投影为表面力在y方向投影为 可得:,4-6 动量定理,由已知数据可求得:,4-6 动量定理,所以,作用在控制体上的外力为 Rx-988.8N 方向向左 Ry=-1518.8N 方向向下但是焊缝支撑弯头的力,尚需考虑弯头本身的重量,以弯头为隔离体,沿向弯头上作用着两个力(1)弯头重力Wc=mcg=71.99.8=704.6N垂直向下(2)水对弯头的作用力Ky=-Ry=1518.8N方向向上,所以沿y向水对弯头的净作用力Fw=Ky-Wc=1518.8-704.6=814.2N.因此
15、焊缝支撑头的力应为:Fx=Rx=-988.8N,Fy=-Fw=-814.2N,4-7 角动量定理,一.角动量,若质点 m 在某时刻的动量 , 该时刻质点对某定点 O 的 矢径为 , 则此时刻质点 m 对固定点 O 的角动量 (angular momentum of a particle),定义为:,大小 :,4-7 角动量定理,二.定常流动的角动量定理角动量定理指出了作用在流体质点上的净力矩与质点角动量随时间变化之间的关系。如图所示,处在P点的质量为mp的流体质点,其速度为V,且受到净力F的作用,则力F对距离P点矢径r0为的空间点的力矩M0,与质点对O点的角动量随时间的变化相等。即,4-7 角
16、动量定理,对于由许多质点组成的连续介质流体系统,角 动量定理可表示成:和动量方程一样,可应用雷诺输运方程把对系统 的方程转变为对控制体的方程。此时,4-7 角动量定理,将上式代入雷诺输运方程得:对定常流动,4-7 角动量定理,上式就是定常流动的角动量方程,其表示: 定常流动时,作用在控制体内部质点上的所有力 的力矩矢量和,等于流入、流出控制面的净角动 量流率。 三.角动量方程的应用与动量方程一样,角动量方程也是矢量方程。 解题时,一般应使坐标轴与力矩(或角动量)的 方向一致。,4-7 角动量定理,4-7 角动量定理,例46 一草坪洒水机在水平面(xy平面)内绕z轴等角速度旋转,转速为120r/
17、min。如图示,水从中心垂直管进入,经过转臂两端的喷嘴喷出,进水流量Qi=0.006m3/s,喷嘴出口截面积A0=0.001m2,洒水机臂长R=0.2 m,水的密度=1000kg/m3。试求(1)为使洒水机维持120r/min的等角速度旋转,外界需加的阻力矩为多少?(2)如果阻力矩为零,则洒水机的旋转角速度将增加至多少?,4-7 角动量定理,解:选择坐标系:xy坐标轴如图,z坐标为喷水机的旋转轴,如图(a)所示选择控制体:围绕喷水机做控制体,如图虚线所示。 1)维持120r/min的角速度旋转,需加的阻力矩力矩的矢量和项为,4-7 角动量定理,控制体四周作用着均匀的大气压强,压强力 对中心(旋
18、转轴)的力矩之和为零。质量力对旋转轴O点对称,故质量力力矩也为零。,4-7 角动量定理,对角动量的通量项,则有,根据流动的对称性及连续性方程,4-7 角动量定理,4-7 角动量定理,2)阻力矩为零时的旋转角速度现T0,则转速,4-8 微分形式的守恒方程,一 .微分形式的质量守恒方程连续性方程控制体分析的最大有点在于对于定常流动,当已知控制面上流动的有关信息后,就能求出总力的分量和平均速度,而不必探究控制体内各处流动的详细情况,给一些工程问题的求解带来便利。但是,它不能得到控制体内各处流动的细节,而这一点对深入研究流体运动是非常重要的。本节中我们将推导微分形式的守恒方程,包括连续性方程和N-S方
19、程。并讨论积分求解它们的定解条件。,4-8 微分形式的守恒方程,下面推导微分形式的连续性方程。可以通过对积 分形式的连续性方程应用数学上的高斯定理转换求得。根据高斯定理,一物理量通过控制面的面积分等于 该物理量的散度在控制体内的体积分,4-8 微分形式的守恒方程,可得:因为流场满足连续介质条件,控制体得选取具有任意 性,则有:上式称为微分形式的连续性方程,转换成笛卡尔坐标为:,4-8 微分形式的守恒方程,即而所以其中第一次项为 为 的随体导数,写成矢量形式,4-8 微分形式的守恒方程,只要流体满足连续介质假设,微分连续性方程皆适用。对定常流动 ,故得定常流动的连续性方程为在笛卡尔坐标系中的表达
20、式为,对不可压缩流体的流动(定常或非定常), 是常数。可得不可压缩流体得连续性方程为在笛卡尔坐标系中的表达式为对于在xy平面内的二维流动,上式可简化为:,4-8 微分形式的守恒方程,4-8 微分形式的守恒方程,例48 不可压缩流体的二维平面流动, y方向的速度分量为v=y2-y-x,试求 x方向的速度分量u,假定x=0时u=0. 解: 不可压缩流体的平面运动,满足连续性方程,4-8 微分形式的守恒方程,将已知v的速度分量代入, 得对x积分得根据边界条件x=0时u=0代入上式得故所以,4-8 微分形式的守恒方程,二.微分形式的动量守恒方程N-S方程选取一个正六面体的微元控制体,各边长分 别是dx
21、、dy、dz,如图示,应用牛顿第二定律:考虑x方向的动量守恒,有x方向质量力,4-8 微分形式的守恒方程,4-8 微分形式的守恒方程,在粘性流体中,根据表面力作用面的法线方向与力的方向是否相同,将表面力分为两部分:法向应力和切向应力。并用应力的两个下标表示应力作用面的法线方向和应力的方向,第一个下标表示应力作用面的法向,第二个下标表示应力的方向。,4-8 微分形式的守恒方程,4-8 微分形式的守恒方程,故,x向净表面力为对粘性流体,应力由流体静压强和粘性变形引起,而静压强只对法向应力 贡献,粘性应力对法向应力、切向应力都有贡献,用 表示相应的粘性应力,则有可得,4-8 微分形式的守恒方程,最终
22、可得x向运动微分方程同理,4-8 微分形式的守恒方程,将以上三式写成矢量形式其中表示作用在微元六面体上得粘性应力张量。上式就是应力表示的粘性流体运动微分方程。,4-8 微分形式的守恒方程,下面分理想流体和粘性流体两种情况对上式做进一步的 分析: 理想流体的欧拉运动方程 对理想流体, ,故上式可简化为,其中笛卡尔坐标中的表达式为,4-8 微分形式的守恒方程,理想流体的欧拉运动微分方程表示作用在理想流体上的质量力(如重力)与压强力之和使一定质量的理想流体产生加速运动。 粘性流体的N-S方程牛顿内摩擦定律给出了一维情况下粘性应力与流体剪切变形之间的关系。对于不可压缩的三维流动stokes提出了广义牛
23、顿内摩擦定律,给出了应力张量与流体变形之间的关系,对切向应力:,4-8 微分形式的守恒方程,可见切向应力等于动力粘度与角变形速率的乘积.且 即切向应力具有对称性,故六个切向应力中,只有三个是独立的。对于法向应力:,4-8 微分形式的守恒方程,上式表明,法向应力除了流体静压强的作用外,还与流体的线变形有关。可知,静压强P为负值,故静压强的方向与法向应力方向相反。而且同一点三个互相垂直的法向应力 一般不相等。,4-8 微分形式的守恒方程,总和由不可压缩流体的连续性方程,上式等号右边第二项为零,得:即:不可压缩粘性流体中一点得三个法向应力虽然不相等,但是它们的算术平均值刚好与流体静压强相等。,4-8
24、 微分形式的守恒方程,x向的运动微分方程:同样由不可压缩流体的连续性方程,上式右边第四项为零,故上式可写为 同理,4-8 微分形式的守恒方程,写成矢量形式式中的 称为laplace算子上式即为与流体变形有关的不可压缩流体的运动 微分方程,是描写不可压缩流体的一般式,也称 为N-S方程。对理想流体,就简化为欧拉运动微 分方程,对静止流体,就简化为静止流体的欧拉 平衡微分方程。,4-8 微分形式的守恒方程,图417 圆柱坐标和球坐标示意图,4-8 微分形式的守恒方程,圆柱坐标系中不可压缩粘性流体的运动微分方程,4-8 微分形式的守恒方程,圆柱坐标系中不可压缩流体的连续性方程圆柱坐标系重的法向应力和
25、切向应力公式,4-8 微分形式的守恒方程,球坐标系中不可压缩流体的运动方程:,4-8 微分形式的守恒方程,球坐标系中不可压缩流体的连续性方程坐标系重的法向应力和切向应力公式,4-8 微分形式的守恒方程,4-8 微分形式的守恒方程,三. 基本微分方程组的定解条件N-S方程有4个未知数u、v、w、p,将N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立,组成由四个微分方程构成的描写流体运动的基本微分方程组,原则上可以通过积分求解,得到四个未知量。一般而言,通过积分得到的是微分方程的通解,只有在此基础上,结合基本微分方程组的定解条件,即初始条件和边界条件,确定积分常数,才能得到具体流动问题的特解。,4-8 微
26、分形式的守恒方程,初始条件:对非定常流动,要求给定变量初始时刻t=t0时,带下标0的物理量表示初始时刻的空间分布.十分明显,对定常流动,不需要初始条件,流场中的每个变量仅是空间坐标的函数,与时间无关。,4-8 微分形式的守恒方程,边界条件:,4-8 微分形式的守恒方程,边界条件是包围流场每一边界上的流场数值。不同种类的流动,边界条件也不同。图4-18给出了在流体流动分析中最常遇到的三类边界条件。1)固体壁面粘性流体与一不渗透的( ),无滑移的固体壁面相接触,在贴壁处,流体速度,中的 Vw 表示固体壁面的运动速度。,4-8 微分形式的守恒方程,)进口与出口流动的进出口截面上的速度与压强的分布也是
27、通常需要知道的。有时流动进出口边界条件就选用上游无穷远处的值。例如,理想流体绕无限长圆柱的二维流动,将圆柱体上游无穷远处作为进口条件,给定 的值,而圆柱体下游无穷远处,可近似认为与进口各参数一样,仍为,4-8 微分形式的守恒方程,)液体气体交界面液体气体交界面的边界条件主要有二个,一为运动学条件,即通过交界面的法向速度应相等,即式中 表示交界面处液体的法向速度, 表示交界面处气体的法向速度;二为压强平衡条件,即液体的压强必须与大气压和表面张力相平衡。,4-8 微分形式的守恒方程,根据这些初始条件和边界条件,我们可对基本微分方程组积分,并确定积分常数,得到符合实际流动的求解结果。,4-9 定常欧
28、拉运动微分方程的积分求解,一.兰姆运动微分方程将理想流体的欧拉运动微分方程等号左边的随体导数项展开,可得,4-9 定常欧拉运动微分方程的积分求解,虽然上式可适用于理想流体的任何运动, 但式中只有表示移动的线速度 , 而没有表示旋转运动的角速度 ,因此, 上式不能显示流体是做无旋运动.为此,对上式的迁移加速度做如下变换.例如,对x向的迁移加速度重新组合得,4-9 定常欧拉运动微分方程的积分求解,同理,y向,z向的迁移加速度可写成可得,上式称为兰姆运动微分方程若各向角速度都为,即式号左边第二项都为,流动是无旋的,否则,便是有旋的,4-9 定常欧拉运动微分方程的积分求解,二.方程可积的条件理想流体的
29、欧拉运动微分方程或兰姆运动微分方程只能对以下条件的几种特殊流动直接积分求解这些条件是 .定常流动.作用在流体上的质量力有势,4-9 定常欧拉运动微分方程的积分求解,.流体正压性即流体的密度只与压强有关, 这时可定义压强函数为它对笛卡儿坐标系中三个坐标的偏导数为()对不可压缩流体,压强函数为()对可压缩流体的等温流动,若流体符合完全气体的状态方程, 则压强函数为,4-9 定常欧拉运动微分方程的积分求解,. 欧拉运动微分方程可积的条件,()对可压缩流体的绝热流动,若流体符合完全气体的状态方程,则对完全气体的绝热流动有 ,压强函数为具备这三个条件的流体流动,兰姆运动微分方程可简化为,. 欧拉运动微分
30、方程的积分求解,.无旋流动的欧拉积分 对无旋流动 式(4-102)成为,. 欧拉运动微分方程的积分求解,在流场中,任意取一微元段 ,将它在三个坐标轴上的分量分别为 将他们分别一次与上面三式相乘,然后相加,得写成全微分形式: 积分得,式(4-104)称为无旋流动欧拉积分。它表明,对正压性的理想流体,在有势的质量力作用下做定常的无旋流动时,单位质量流体的动能,势能和压强势能之和在流场中任意一点都保持常数。而且这三种机械能可相互转换。,. 欧拉运动微分方程的积分求解,2.定常流动的伯努力积分欧拉积分是对无旋流场的积分,伯努力积分是对有旋流场沿流线的积分。设 分别 为流场中沿流线上某线段在三个坐标轴上
31、的分量.由于定常流动中的流线与迹线重合,故 ,即将 分别乘以式(4-102)沿三个坐标轴的对应公式,可得,. 欧拉运动微分方程的积分求解,将上列三式相加后,等式右边为0,左边三项刚好是个全微分,积分后可得伯努利积分上式表明,对正压性的理想流体,在有势质量力作用下做定常有旋流动时,沿某条流线上各点的单位质量的动能,势能和压强势能之和保持常数。而且三种机械能可以相互转换。,. 欧拉运动微分方程的积分求解,3.伯努利方程对不可压缩理想流体在重力场作用下的定常流动,由于此时质量力仅为重力,且重力的方向垂直向下,则质量力的势函数,对不可压缩流体 =常数 ,压强函数将式(4-106a),(4-106b)代入式(4-105),可得,. 欧拉运动微分方程的积分求解,上式就是伯努利方程。它与前面推导的不可压缩理想流体在重力场作用下做一维流动时的伯努利方程(4-28)在形式上是一致的。现在我们知道,对有旋流动,沿同一条流线各点单位质量流体的压强势能,动能和势能之和保持不变。而对无旋流动,无须此假定,因为此时非但同一条流线上的各点,而且整个流场中所有各点的总机械能保持不变。,