1、广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、 （深圳市 2015 届高三）函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ axf1)(),(a）A. B。 C。 D。),0(),(,0( ),10(二、填空题1、 （韶关市 2015 届高三）设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，lnyx(,)eaxy则 a2、 （珠海市 2015 届高三）函数 在点 处的切线方程为 ()lxf1,0三、解答题1、 （潮州市 2015 届高三）已知函数 ，其中 lnafxR当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；2af1,f如果对于任意 ，都有 ，求 的取值范围1,
2、x22、 （东莞市 2015 届高三）设函数（1）当a 1时，求 f (x)的极小值；（2）讨论函数 零点的个数；（3）若对任意 恒成立，求实数 a 的取值范围.3、 （佛山市 2015 届高三）设函数 的导函数为 ( 为常数, 是自exfafxe2.718然对数的底数).() 讨论函数 的单调性；fx() 求实数 ,使曲线 在点 处的切线斜率为 ；ayf2,af326174a() 当 时,若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.x1xkf学 优 网 k4、 （广州市 2015 届高三）已知函数 在点 处的切线为 2lnfxabx1,f1y（1）求实数 ， 的值；ab（2）是否存在实数 ，当 时
3、，函数 的最小值为 ，若存m0,12gfmx0在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若 ，求证： 120x212lnxx5、（惠州市 2015 届高三）已知函数 的导函数2()1(),()fafxfR是（1）若 ，不等式 恒成立，求 a 的取值范围；2,1xx（2）解关于 x 的方程 ；()|ff（3）设函数 ，求 时的最小值,()()xgff ()2,4gx在6、 （江门市 2015 届高三）已知函数 （ ） 1)(23axf Ra求曲线 在点 处的切线方程；)(xfy 0, 是否存在常数 ，使得 ， 恒成立？若存在，求常数 的值或取值a 4,)(xf a范围；若不存在，请说明理由
4、7、 （清远市 2015 届高三）已知函数 .1)(axef（1）当 时，试判断函数 的单调性；ax（2）对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；),0x0(f8、 （汕头市 2015 届高三）已知函数 （ ） 12ln2fxaxa0当 时，求 的极值；10afx当 时，讨论 的单调性；2若 ， ， ，有 ，求实数 的取3,212,312ln32lmafxfm值范围9、 （汕尾市 2015 届高三）已知函数 的极值点为 和32()fxbcx23x1（1 ）求 的值与 的单调区间,bc()f（2 ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围12x()fxm10、 （韶关市 2015 届高三）已知
5、函数 ， , .2321()afxaxR(1)若函数 在区间 内恰有两个零点，求实数 的取值范围；)(xf0,2(2)若 ，设函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ,记1a)(xf3,t()Mt()mt,求函数 在区间 上的最小值 .()()FtMtmFt111、 （深圳市 2015 届高三）已知 ，函数 ， ，且曲Rba, xaxfln)2()54)(2xbg线 与曲线 在 处有相同的切线。)(xfy)(xgy1（1）求 的值；（ 2）证明：当 时，曲线 恒在曲线 的下方；ba, )(xfy)(xy（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。0(kx12()(gxfkk12、 （珠海
6、市 2015 届高三）已知函数 ， 2()lnfaxR(1)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；()fx1,)3(2)试讨论 的单调区间参考答案一、选择题1、B 二、填空题1、 2、 0exy三、解答题1、 （1）解：当 时，由已知得 ，故 ，. 2 分a2()lnfx21()fx所以 ，又因为 ，()23f1所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，x(,)f 3(1)yx即 ；. 5 分350y（2）解：由 ，得 ，又 ，()2fxln2ax(,)x故 7 分2lna设函数 ，()lgxx则 . 8 分1 2ln21x因为 ，(,)x所以 ， ，ln01所以当 时， ， 10 分(,)(
7、)ln210gx故函数 在 上单调递增gx所以当 时， . . 12 分(1,)()l1x因为对于任意 ，都有 成立，x()2fx所以对于任意 ，都有 成立(,)ag所以 . 14 分1a2、解：（本小题满分 14 分）（1）当时 ， ，易得 的定义域为 1 分1axxf2ln)()fx(0,)2 分2 当 时， ，此时 在 上单调递减；),0()0f()f2,当 时， ，此时 在 上单调递增； 3 分2xxx)当 时， 取得极小值 的极小值为 4 分f ln2ln)(f(2) 函数0(616)( 2afg令 ，得 ，设 5 分()0gx0123xa )(3xx41) 当 时， ，此时 在 上
8、单调递增； ,(x()x()x2,0当 时， ，此时 在 上单调递减；20所以 是 的唯一极值点，且是极大值点，因此 也是 的最大值2x()x点，的最大值为 ，又 ，结合 的图像（如图） ，可知6 分()x3)()(y 当 时，函数 无零点；2agx 时，函数 有且仅有一个零点； 3()当 时，函数 有两个零点； 20agx 时，函数 有且只有一个零点； 8 分()综上所述，当 时，函数 无零点；当 或 时，函数 有且3()32a0()gx仅有一个零点；当 时，函数 有两个零点. 9 分20agx（3）对任意 恒成立，等价于 恒成立10 分1)(,nmffn nfmf)()(设 等价于 在 上
9、单调递减 11 分)0l)( xxfxh xh0,在 恒成立 12 分012 a(,)恒成立 13 分)(812xxx（对 ， )(h仅在 时成立） ， 的取值范围是 14 分8a a),813、 【解析】()函数 的定义域是 ,1 分f,32对 求导得: ,2 分fx2e1xaf由 得 ；由 得 或 ,4 分0f0fx1a所以 在 , 上单调递减,在 上单调递增.5 分xa1,()由()得 6 分2e4af令 得 2326417ae3226170aa令 ,则有 ,8 分t30te令 ,则 ,9 分h2the故 是 上的增函数,又 ,因此 是 的唯一零点,即 是方程的唯一实数解,tRht2故存
10、在唯一实数 满足题设条件.10 分2a()因为 ,故不等式 可化为 ,1fx1fxka1xakx令 ,则 ,11 分 且有 12 分at0tt 若 ,则 ,即 ,此时 ；t1kt2t0k 若 ,则 ,即 ,此时 ；0tt 2211ttk 若 ,则 ,即 ,此时 .1tkt2tk故使不等式恒成立的 的取值范围是 .14 分14、 （1）解： ，其定义域为 ， 2lnfxabx0, . 1 分()f依题意可得 2 分(1),20.fab解得 . 4 分,ab（2）解： ，2()(1)()2ln,(01gxfmxx . 5 分 当 时， ，则 在 上单调递减，0m()0gx()gx0,1 . 6 分
11、in()1gx 当 时， ，则 在 上单调递减,022()0mxggx(01 . 7 分min()(1)gx当 时，则 时， ； 时， ， 220,x0gx2,1m0gx 在 上单调递减，在 上单调递增.()gx,1故当 时， 的最小值为 .2mgx2gm . (1)0g . 8 分min()x综上所述，存在 满足题意，其取值范围为 . 9 分(,2（3）证法 1：由（2）知，当 时， 在 上单调递减,1m)1lngxx(01) 时， , 即 . 10 分(0,)x()0gx2l , 12 . 11 分20x . 12 分112ln . 13 分212(l)xx ,21ln . 14 分221
12、lxx证法 2：设 ，222()(ln)(0)xxx则 .22()1xx当 ， ， 10 分20,()0 在 上单调递减()x, . 11 分20 时， . 12 分(,)x22(ln)xx,120 . 13 分121(ln)xx,2 . 14 分122lnxx5、解：(1)因为 ，所以 ， 1 分()ff 21()xax又因为 ，知 0所以 在 时恒成立，因为 ， 2 分21()xa ,1x213()2所以 3 分3 因为 ，所以 ，()fxf2xaxa所以 ，则 或 4 分210a11xa当 时， ，所以 或 ； 512分当 时， 或 ， xaxa所以 或 或 ； 6 分x2(1)当 时，
13、 ，所以 或 7 分1a1a(2)因为 ，()()()fxa ,(),fxfxg若 ，则 时， ，所以 ，2a ,4(fxf ()2fa从而 的最小值为 ； 9 分()gx(2)ga若 ，则 时， ，所以 ，32a,4()fx2()1gxfxa当 时， 的最小值为 ， ()g245ga当 时， 的最小值为 ，4x2()1当 时， 的最小值为 a ()8711 分若 ，则 时，312a 2,4x21,2,)() 4xaxag当 时， 最小值为 ；,)x()g5当 时， 最小值为 4(1)2因为 ， ，312a (5)2630a所以 最小值为 13 分()gx综上所述， 14 分2min817,4
14、, 2145,2, 2agxa 6、解： 1 分，所求切线的斜率 2 分3)(2/ xxf )0(/fk所求切线方程为 （或 ）3 分)0()kfy )(fxy即 4 分1y（方法一）由 ，作函数 ，其中32)(3xaf xg14)(235 分 ,(0) ,2x6 分)(6141423/ xxg0) ,2 ,024 ,(2)(/ 0 + 极小值 9 分（每行 1 分）由上表可知， ， ； ，0) ,2x21)(gx4 ,(x21)(gx11 分由 ，当 时， ， 的取值范围为31)(23af 4 ,(0xa123a，当 时， ， 的取值范围为 13 分21 ,(0) ,xxa12 ) , ，
15、恒成立， 14 分 ,2 ,()0(f 21a（方法二） 时， 不符合题意5 分a364)(f时，解 得 ，023/ xxf ax611ax362) ,(1) ,(2 ) ,(2)(/g 0 + 0 )(xg 极小值 极大值 8 分，由 10 分，解得 11 分3264)(18af 1652a此时 ， 12 分122x 161 ax ，即 ， 13 分3)(23af 0242x26x解 得 ，综上所述 14 分62xa7、解：（1）当 时，设 .1 分1a1)(xef 1)(xef当 时， ;当 时， ;.3 分0x0)(xf0)(f当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减 .5 分),)
16、,(2) 对于任意的 ， 恒成立 当 时， .7 分x(xf x0)(minxf aef)(（i）当 时， , 在 上单调递增10)(aexf 1)(axez), ,故 符合题意 .9 分0)(minxf 1(ii) 当 时，由 ,得a)(exfxln当 时， ；当 时，xl00aa0)(aexf 在 上单调递减；在 上单调递增；1)(ef )ln,0( ,(l 1)lminafx .11 分lal设 )(1)(xxr 在 上单调递增；02 xr1ln)(),( ，即 ，这与 矛盾, 不符合题意.13 分)1(ra1lnaa综上， 的取值范围是 . .14 分8、解：（1）当 时， 2 分0212ln, (0).xfxfx（求导 1 分、标出定义域 1 分）
