1、第 3课时 空间几何体的直观图1.学会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 .2.学会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图 .3.初步学会根据空间几何体的三视图画出空间几何体的直观图 .重点:掌握斜二测画法画水平放置的平面图形、空间几何体的直观图 .难点:根据空间图形的直观图还原出原图形 . 清明上河图为北宋画家张择端所作,该画描绘北宋京城汴梁及汴河两岸的繁华、热闹的景象和优美的自然风光 .作品以长卷形式,采用散点透视的构图法,将繁杂的景物纳入统一而富于变化的画卷中,画卷有 814人,牲畜 60 多头,船只 28 艘,房屋楼宇 30 多栋,车 20 辆,轿 8 顶,树木 1
2、70 多棵,往来衣着不同,神情各异,栩栩如生,其间还穿插各种活动,注重情节,构图疏密有致,富有节奏感和韵律的变化,笔墨章法都很巧妙,颇见功底 .问题 1:张择端通过画笔把北宋汴河两岸的繁华和热闹的景象呈现在纸上,从数学角度来看,就是把空间图形通过 平面图形 来呈现,像这种表示 空间图形 的 平面图形 叫作空间图形的直观图 . 问题 2:用斜二测画法画空间几何体的直观图,通常要建立三条轴: x轴, y轴和 z轴 .对它们的位置和角度有什么规定?画直观图时 ,三个方向上线段长度如何规定?这三条轴相交于 O,且 xOy= 45(或 135) , xOz= 90 . 与 x 轴平行的线段,在直观图中长
3、度保持 不变 ,与 y 轴平行的线段,在直观图中长度为原来的 一半 ,平行于 z 轴的线段,在直观图中也要保持 长度不变 . 问题 3:三视图与直观图有何联系与区别?空间几何体的三视图与直观图有密切联系 .由于 三视图 从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,因此得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸) . 直观图 是对空间几何体的整体刻画,根据 直观图 的结构可以想象实物的结构 . 工程上一般采用正投影法绘制物体的投影图,即多面正投影图 .它能完整而准确地反映物体的形状和大小,且度量性好,作图简单,但立体感不强,只有具备一定读图能力的人才看得懂 .有时工程上还需采用
4、一种立体感较强的图来表达物体,即轴测图 .轴测图是用轴测投影的方法画出来的富有立体感的图形,它接近人们的视觉习惯,但不能确切地反映物体真实的形状和大小,并且作图较正投影复杂,因而在生产中它作为辅助图样,用来帮助人们读懂正投影视图 .1.下面关于用斜二测画法画直观图的说法错误的是( ).A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆【解析】对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该熟记它们的大致形状,以便在选择题中快速作出判断 .【答案】B2.利用斜二
5、测画法画正方形的直观图,其中正确的是( ).【解析】(1)锐角 45,排除 A,B;(2)短边是长边的,排除 D,故选 C.【答案】C3.在用斜二测画法画水平放置的 ABC 时,若 A 的两边平行于 x 轴与 y 轴且 A=90,则在直观图中, A= . 【答案】45或 1354.根据斜二测画法的规则画直观图时,把 Ox、 Oy、 Oz 画成对应的 Ox、 Oy、 Oz,使 xOy= , xOz= . 【解析】根据斜二测画法规则可知 xOy=45, xOz=90.【答案】45 90平面图形直观图的面积如图所示,四边形 ABCD 是一个梯形, CD AB,CD=AO=1, AOD 为等腰直角三角
6、形, O 为 AB 的中点,试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积 .【方法指导】先根据斜二测画法画出直观图,再求直观图的面积 .【解析】在梯形 ABCD中, AB=2,高 OD=1.由于梯形 ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底 CD和下底 AB的长度都不变,如图所示 .在直观图中, OD=OD,梯形的高 DE=,于是,梯形 ABCD的面积 S=(1+2)=.【小结】对于几何体的直观图,一方面,要掌握斜二测画法的规则,注意线线平行关系的不变性及长度的变化特征;另一方面,若能了解原图形面积 S与其直观图面积 S 直 之间的关系: S 直 =S 原 ,S 原 =2S 直 还可以简化有关问题
7、的计算 .(2)把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于 x轴的线段长度不变,平行于 y轴的线段长度变成原来的 2倍 .空间几何体的直观图已知某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图 .【方法指导】由三视图可知,该几何体是一个简单的组合体:它的下部是一个上、下底面均为正方形的四棱台,上部是一个四棱锥,该题的实质就是考查空间几何体的直观图的画法 .【解析】(1)画轴 .如图画 x轴、 y轴、 z轴,使 xOy=45, xOz=90.(2)画底面 .利用斜二测画法画出底面 ABCD,在 z轴上截取一点 O,使 OO等于三视图中相应的高度,过 O作 Ox的
8、平行线 Ox,Oy的平行线 Oy,利用 Ox与 Oy画出面 ABCD.(3)画四棱锥的顶点 .在 Oz上取点 P,使 PO等于三视图中相应的高 .(4)成图 .连接 PA,PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,并擦去辅助线,即得到题中三视图所表示的几何体的直观图 .【小结】解决本类问题首先要根据三视图正确得出几何体的结构,几何体的结构不清易导致错误 .平面图形的直观图画出如图所示的四边形 OABC 的直观图(已知 OC=AD=2,OD=3,OB=4,OC OB,AD OB).【方法指导】先以 CO、 BO建立坐标系,再将所有点放在坐标轴上或者与坐标轴平行的直线上,然后利用斜二测画法画出直观
9、图 .【解析】以 O为原点, OB所在的直线为 x轴建立直角坐标系 xOy,如图(1) .作 COB=45,其中 OB是水平的, OB=4,OD=3,OC=1,过 D作 BDA=90,使 AD=1,顺次连接 OA,AB,BC,所得四边形OABC即为四边形 OABC的直观图,如图(2) .问题 四边形 ABCO 中的 AD 在直观图中画对了吗?结论坐标轴上的点 O,B,C画得正确,点 A的直观位置画错了,在直观图中 BDA不再是 90,而是45或 135.于是,正确解答如下:如图所示,作 COB=45,其中 OB是水平的, OB=4,OD=3,OC=1,过点 D作 BDA=135,使 AD=1,
10、顺次连接OA,AB,BC,所得四边形即为四边形 OABC的直观图 .【小结】直观图与实际图形比较,某些量(如长度、角度、面积等)在视觉上可能有些改变,但必须认为它们仍是原图中的那些量,同时,如两线间的平行关系、两三角形的全等、相似关系、线段的中点位置等在直观图中仍保持不变,解题时不能被直观图所迷惑 .已知 ABC 的平面直观图 ABC是边长为 a 的正三角形,那么原 ABC 的面积为( ).A.a2 B.a2 C.a2 D.a2【解析】如图,作出直观图中的坐标系 xOy,使 BC在 x轴上,点 A在 y轴上,转移到原图中,则有BC=BC=a.OA=2OA=2a=a,S ABC=BCOA=aa=
11、a2.故选 C.【答案】C如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图 .【解析】由几何体的三视图可知,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆台,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆台的上底面重合 .画直观图时,我们可以先画出下部的圆台,再画出上部的圆锥 .画法: (1)画轴 .如图 ,画 x轴、 y轴、 z轴,使 xOy=45.(2)画圆台的两底面 .利用斜二测画法,画出底面圆 O,在 z轴上截取 OO,使 OO等于三视图中相应的高度,过O作 Ox的平行线 Ox,Oy的平行线 Oy,利用 Ox与 Oy画出上底面圆 O(与画圆 O一样) .(3)画圆锥的顶点 .在 Oz上截取点
12、 P,使 PO等于三视图中相应的高度 .(4)成图 .连接 PA,PB,AA,BB,整理得到三视图所表示的几何体的直观图,如图 .如图所示,梯形 ABCD 中, AB CD,AB=4 cm,CD=2 cm, DAB=30,AD=3 cm,试画出它的直观图 .【解析】(1)如图 a所示,在梯形 ABCD中,以边 AB所在的直线为 x轴,点 A为原点,建立平面直角坐标系xOy.如图 b所示,画出对应的 x轴, y轴,使 xOy=45.(2)在图 a中,过 D点作 DE x轴,垂足为 E.在图 b中,在 x轴上取 AB=AB=4 cm,AE=AE=2 .598 cm;过点 E作 ED y轴,使 ED
13、=ED=0.75 cm,再过点 D作 DC x轴,且使 DC=DC=2 cm.(3)连接 AD、 BC,并擦去 x轴与 y轴及其他一些辅助线,如图 c所示,则四边形 ABCD就是所求的直观图 .1.如图中的斜二测直观图所示的平面图形是( ).A.直角梯形 B.等腰梯形C.不可能是梯形 D.平行四边形【解析】根据直观图可判断原图形 AB BC,AD BC.故选 A.【答案】A2.利用斜二测画法得到: 三角形的直观图是三角形; 平行四边形的直观图是平行四边形; 正方形的直观图是正方形; 菱形的直观图是菱形 .以上结论中正确的是( ).A. B.C. D.【解析】由斜二测画法知平行于 x轴的线段长度
14、不变,平行于 y轴的线段长度减半,平行线在直观图中的平行性不变,因此三角形的直观图仍是三角形,平行四边形的直观图仍是平行四边形 .由于正方形、菱形中不平行于 x轴的边在直观图中长度要改变,因此直观图不可能仍是正方形和菱形 .【答案】A3.在用斜二测画法作直观图时,原图中平行且相等的线段,在直观图中对应的两条线段 . 【解析】由斜二测画法法则可知 .【答案】平行且相等4.画水平放置的正 ABC 的直观图 .【解析】(1)在已知的正 ABC中,设 AB所在的直线为 x轴,取线段 AB的中点 O为坐标原点,如图 .(2)画对应的 x轴、 y轴,使 xOy=45,如图 ,并在 x轴上截取 OA=OA,OB=OB,在 y上截取OC=OC.(3)连接 AC,BC,并擦去辅助线,所得的 ABC就是正 ABC的直观图,如图 .(2011 年浙江卷)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可能是 ( ).【解析】A 中正(主)视图,俯视图不对,故 A错;B 中正(主)视图,侧(左)视图不对,故 B错;C 中侧(左)视图,俯视图不对,故 C错,故选 D.【答案】D
