1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件1向量数乘运算实数 与向量 a 的积是一个_，这种运算叫做向量的_，记作_，其长度与方向规定如下：(1)|a| _.(2)a (a0) 的方向Error! ；特别地，当 0 或 a0 时，0a_或 0_.2向量数乘的运算律(1)(a)_.(2)()a_.(3)(a b)_.特别地，有()a_ _；(ab)_.3共线向量定理向量 a (a0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使_4向量的线性运算向量的_、_、_运算统称为向量的线性运算，对于任意
2、向量 a、b，以及任意实数 、 1、 2，恒有(1a2b)_.一、选择题1设 e1，e 2是两个不共线的向量，若向量 me 1ke 2 (kR)与向量 ne 22e 1 共线，则( )Ak0 Bk 1Ck 2 Dk 122已知向量 a、b，且 a2b， 5a6b， 7a2b，则一定共线的三点是( )AB BC CD AB、C、D BA、B、C CA、B、D DA、C、D3已知ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P，且 ，则( )PA PB PC AB AP 在ABC 内部BP 在ABC 外部CP 在 AB 边上或其延长线上DP 在 AC 边上4已知ABC 和点 M 满足 0.若存在实
3、数 m 使得 m 成立，则MA MB MC AB AC AM m 的值为( )A2 B3 C4 D55在ABC 中，点 D 在直线 CB 的延长线上，且 4 r s ，则 rs 等于( )CD BD AB AC A0 B. C. D345 836设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 216，| | |，则|BC AB AC AB AC |等于( )AM A8 B4 C2 D1题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7若 2 (cb3y)b0，其中 a、b、c 为已知向量，则未知向量 y_.(y 13a) 128已知平面内 O，A，B，C 四点，其中 A，B，C 三点
4、共线，且 x y ，则OC OA OB xy_.9. 如图所示，D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量 _.(填写正确的序号)CD BC 12BA BC 12BA BC 12BA BC 12BA 10. 如图所示，在ABCD 中， a， b， 3 ，M 为 BC 的中点，则AB AD AN NC _.(用 a，b 表示)MN 三、解答题11两个非零向量 a、b 不共线(1)若 A ab，B 2a8b，C 3(ab)，求证：A、B、D 三点共线；B C D (2)求实数 k 使 kab 与 2akb 共线12. 如图所示，在ABCD 中， a， b， 3 ，M 为 BC 的中点，则AB AD
5、 AN NC _.(用 a，b 表示)MN 能力提升13已知 O 是平面内一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 (0，)，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )OP OA (AB |AB |AC |AC |)A外心 B内心 C重心 D垂心14在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F.若 a， b，则 等于( )AC BD AF A. a b B. a b14 12 23 13C. a b D. a b12 14 13 231实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 a，a 是没有意
6、义的2a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量 表a|a|示与向量 a 同向的单位向量3共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题22.3 向量数乘运算及其几何意义知识梳理1向量 数乘 a (1)| |a| (2) 0 0 0 02(1)()a (2) a a (3)a b ( a) (a) a b3ba4加 减 数乘 1a2b作业设计1D 当 k 时，me 1 e2，n2e 1e 2.12 12n2m，此时，m，n 共线2C 2a4b2 ，BD BC CD AB A、B、D 三点共线 3D ，PA PB PC PB PA
7、 2 ， P 在 AC 边上 PC PA 4B 0，MA MB MC 点 M 是ABC 的重心 3 ，m3.AB AC AM 5C 4 ，CD CB BD BD 3 .CB BD CD AD AC AB BD AC AB 13CB AC ( )AB 13AB AC AC 43AB 43AC r ，s ，r s .43 43 836C 216，BC | | 4.又| | | 4，BC AB AC CB | |4.AB AC M 为 BC 中点， ( )，AM 12AB AC | | | |2.AM 12AB AC 7. a b c421 17 1781解析 A，B，C 三点共线，R 使 .AC
8、AB ( )OC OA OB OA (1) .OC OA OB x1，y ，x y 1.9解析 .BC 12BA CB 12BA CB BD CD 10. (ba)14解析 MN MB BA AN ba12 34AC ba (ab)12 34 (ba) 1411(1)证明 A A B C ab2a8b3a3b6a6b6A ，A、B、D 三点共D B C D B 线(2)解 kab 与 2akb 共线，kab (2ak b)(k2 )a(1k)b0，Error! k .212证明 设 a， b，则由向量加法的三角形法则可知：BA BC ab.CM BM BC 12BA BC 12又N 在 BD
9、上且 BD3BN， ( ) (ab)，BN 13BD 13BC CD 13 (ab)b a b ，CN BN BC 13 13 23 23(12a b) ，又 与 共点为 C，CN 23CM CN CM C、M、N 三点共线13B 为 上的单位向量， 为 上的单位向量，则 的方向为BAC 的AB |AB | AB AC |AC | AC AB |AB |AC |AC |角平分线 的方向AD 又 0，)， 的方向与 的方向相同而 (AB |AB |AC |AC |)AB |AB |AC |AC | OP OA ，点 P 在 上移动(AB |AB |AC |AC |) AD 点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心14B 如图所示，E 是 OD 的中点， b.OE 14BD 14又ABE FDE， .AEEF BEDE 31 3 ， .AE EF AE 34AF 在AOE 中， a b.AE AO OE 12 14 a b.AF 43AE 23 13
