1、三角函数式的化解求值【知识简介】高考对三角恒等变换的考查主要有三个角度：(1)给角求值；(2)给值求角；(3)给值求值试题以选择题、填空题出现，分值为 5分以解答题的形式出现时，一般为中、低档题目，分值为 12分【典例】 (1)(2013重庆，9)4cos 50tan 40( )A. B. C. D2 122 32 3 2(2)(2015江苏，8)已知 tan 2，tan() ，则 tan 的值为_17(3)(2014广东，16，12 分)已知函数 f(x)Asin ，xR，且 f .(x4) (512) 32求 A的值；若 f()f() ， ，求 f .32 (0， 2) (34 )(2)方
2、法一：tan tan()tan（ ） tan 1 tan（ ） tan 3.17 （ 2）1 17（ 2）方法二：由于 tan() ，tan tan 1 tan tan 所以由已知得 ，解得 tan 3. 2 tan 1 2tan 17(3)f Asin Asin A ，(512) (512 4) 23 32 32A .3f()f() sin sin3 ( 4) 3 ( 4) 3(sin cos4 cos sin4) 3sin（ ） cos4 cos（ ） sin42 cos sin cos ，34 6 32cos .64又 ，sin .(0，2) 104f sin() sin .(34 )
3、3 3 304【名师点睛】题(1)是典型的给角求值问题，解决的关键是将式中的非特殊角通过运用角的变换及相关公式转化为特殊角，再通过分子分母约分、正负项抵消等方法求得结果在转化特殊角时，利用了两角和与差的公式题(2)是典型的给值求值问题，解题关键是寻求已知角与未知角的关系，巧妙借助角的变换求解(方法一)，方法二根据公式，通过解方程求值解题(3)的思路是由 f 的值直接求出 A的值；化简 f()f() 可得 cos (512) 32的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得 sin ，再化简 f 可得答案(34 )【典例】 (2015山东淄博二模， 11)若 x，y 都是锐角，且 sin x
4、，tan y ，则55 13xy_.【答案】 ,4三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值” ，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围【
5、针对训练】1(2015安徽阜阳期末，7)化简 ( )cos 40cos 251 sin 40A1 B. C. D 23 22(2016河北保定一模，6)已知 cos sin ，则 tan 的值为( )( 3) ( 3)A1 B1 C. D3 32B 由已知得 cos sin sin cos ，整理得，12 32 12 32sin cos ，即 sin cos ，故 tan 1.(12 32) (12 32)3(2016山东潍坊质检，5)若 sin ，则 cos ( )(6 ) 13 (23 2 )A B. C D.79 79 29 293A 由 sin 得 cos ，于是 cos cos 2c
6、os 2(6 ) 13 (3 ) 13 (23 2 ) 2(3 )1 .(3 ) 794(2016贵州贵阳调研，6)已知 sin sin ，则 sin 的值是( (3 ) 435 ( 76)A B. C. D235 235 45 454D sin sin (3 ) 435sin cos cos sin sin 3 3 435 sin cos 32 32 435sin cos ，32 12 45故 sin( 76)sin cos cos sin76 76 .(32sin 12cos ) 455(2016浙江杭州模拟，10)若 3sin x cos x2 sin(x)，(，0)，则3 3_.【答案
7、】 66(2016河南郑州一模，13)若 tan 20msin 20 ，则 m的值为_36 【解析】 由于 tan 20msin 20 ，3可得 m3 tan 20sin 203cos 20 sin 20sin 20cos 202(32cos 20 12sin 20)12sin 40 4.4sin（ 60 20）sin 40【答案】 47(2016重庆巴蜀中学模拟，13)已知 ，tan() ，则 tan sin cos 1 cos 2 12 12_.7 【解析】 由已知得 ，即 ，于是 sin cos sin cos 1 （ 1 2sin2 ） 12 sin cos 2sin2 12，故 ta
8、n 1，于是 tan tan() tan tan（ ）1 tan tan（ ） .1 121 112 13【答案】 138(2016广东六校联考，16，12 分)已知函数 f(x)sin ，xR.(x12)(1)求 f 的值；(4)(2)若 cos ， ，求 f .45 (0， 2) (2 3)【点击高考】1(2016课标，5，易)若 tan ，则 cos22sin 2( )34A. B.6425 4825C1 D.16251A cos 22sin 2cos2 4sin cos sin2 cos2 1 4tan tan2 1 4 .1 434916 1 1625 64252(2016课标，9，
9、中)若 cos ，则 sin 2( )(4 ) 35A. B.725 15C D15 7252D sin 2cos cos 2cos 2 12 1(2 2 ) 2(4 ) (4 ) (35)2 .7253(2015课标，2，易)sin 20cos 10cos 160sin 10( )A B.32 32C D.12 123D 原式sin 20 cos 10cos 20 sin 10sin 30 .124(2013浙江，6，中)已知 R，sin 2cos ，则 tan 2( )102A. B. C D43 34 34 435(2014课标，8，中)设 ， ，且 tan ，则( (0，2) (0，
10、2) 1 sin cos )A3 B32 2C2 D22 2思路点拨：通过切化弦将已知条件转化为角 ， 的正弦与余弦的关系式，然后根据诱导公式得到角之间的关系6(2016四川，11，易)cos 2 sin 2 _.8 86 【解析】 cos 2 sin 2 cos .8 8 4 22【答案】 227(2016浙江，10，易)已知 2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则A_，b_.7 【解析】 2cos 2xsin 2xAsin(x)b，sin 2xcos 2x1Asin(x)b. sin 1Asin(x )b，A ，b1.2 (2x4) 2【答案】 128(2015四川，12，易
11、)sin 15sin 75的值是_8 【解析】 方法一：sin 15sin 75sin 15cos 15 2(22sin 15 22cos 15) (sin 15cos 45cos 15sin 45)2 sin 60 .2 232 62方法二：由于(sin 15sin 75) 2(sin 15cos 15) 212sin 15cos 151sin 30 ，32又 sin 150，sin 750，所以 sin 15sin 750，故 sin 15sin 75 .62【答案】 629(2013四川，13，易)设 sin 2sin ， ，则 tan 2 的值是(2， )_【答案】 310(2014江苏，15，14 分，中)已知 ，sin .(2， ) 55(1)求 sin 的值；(4 )(2)求 cos 的值(56 2 )10解：(1)因为 ，sin ，(2， ) 55所以 cos .1 sin2 255故 sin sin cos cos sin (4 ) 4 4 .22 ( 255) 22 55 1010
