1、2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1.对抛物线 x2=y,下列描述正确的是 ( )A.开口向上,焦点坐标为(0,1)B.开口向上,焦点坐标为C.开口向右 ,焦点坐标为 (1,0)D.开口向右,焦点坐标为答案:B 来源 :学优 解析:一次项变量为 y 且系数为正,抛物线开口向上,焦点坐标为.2.动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点( )A.(4,0) B.(2,0)C.(0,2) D.(0,-2)答案:B解析:x+2=0 为抛物线 y2=8x 的准线,由抛物线定义知动圆一定过抛物线的焦点. 来源:学优3.抛物线 y=ax2 的准
2、线方程是 y-2=0,则 a 的值是( )A. B.-C.8 D.-8来源:学优 gkstk答案: B解析:抛物线方程化为标准形式为 x2=y,其准线方程为 y=-=2,所以 a=-.4.抛物线 y2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,则此抛物线的方程为( )A.y2=-16xB.y2=8xC.y2=16x 或 y2=-8xD.y2=-16x 或 y2=8x 来源:GKSTK.Com答案:D解析:抛物线的准线方程为 x=-,则=3,m=8 或-16.所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-16x.故选 D.5.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=
3、4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A.2 B.3C. D.答案:A解析:如图所示,动点 P 到 l2:x=-1 的距离可转化为|PF|,由图可知,距离和的最小值即 F 到直线 l1 的距离 d=2.二、填空题6.已知动点 P 到定点 (2,0)的距离和它到定直线 l:x=-2 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 .答案:y 2=8x解析:由条件可知 P 点的轨迹为抛物线 ,其焦点为(2,0),准线方程为 x=-2,所以=2,p=4,轨迹方程为 y2=2px=8x.7.已知点 A(0,-2),直线 l:y=2,则过点 A 且与 l 相切的圆的圆心的轨迹方程
4、为 . 答案:x 2=-8y解析:设圆心为 C,则|CA|=d,其中 d 为点 C 到直线 l 的距离,所以 C 的轨迹是以 A 为焦点,l 为准线的抛物线.所以所求轨迹方程为 x2=-8y.8.设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为 . 答案:解析:由已知得 B 点的纵坐标为 1,横坐标为,即 B,将其代入 y2=2px(p0)得 1=2p,解得 p=,则 B点到抛物线准线的距离为 p=.来源:学优 gkstk三、解答题9.求经过点 P(-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线方程、焦点坐标.解:
5、由已知设抛物线的标准方程是 x2=-2py(p0)或 y2=-2px(p0),把 P(-2,-4)代入 x2=-2py 或 y2=-2px,得 p=或 p=4,故所求的抛物线的标准方程是 x2=-y 或 y2=-8x.当抛物线方程是 x2=-y 时,焦点坐标是 F,准线方程是 y=;当抛物线方程是 y2=-8x 时,焦点坐标是 F(-2,0),准线方程是 x=2.10.某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶 5 米时,水面宽 8 米,一木船宽 4 米,高 2 米,载货的木船露在水面上的部分为 0.75 米,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解:以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为 y 轴,建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是 x2=-2py(p0),由题意知点 A(4,-5)在抛物线上,故 16=-2p(-5)p=,则抛物线的方程是 x2=-y(-4x4).设水面上涨,木船面两侧与抛物线形拱桥接触于点 B,B时,木船开始不能通航.设 B(2,y).则 22=-yy=-,此时水面与拱顶相距+0.75=2(米),故当水面上涨到与抛物线形的拱桥拱顶相距 2 米时,木船开始不能通航.
