1、 教学设计本章复习（一）从容说课通过投影仪展示实际情景，让学生感受现实世界中存在的大量不等关系，理性建立不等观念.复习本章所研究的三种不等式模型：一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等式 ，回忆不等式的基本性质，一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、2ba求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.利用几何背景分析基本不等式 的应用条件，一正、二定、三等.回忆从三种角度对基本不等式的证明2ba及对基本不等式展开的一些简单应用，用数形结合的思想理解基本不等式.本节课对具体例题的分析和求解过程中，设
2、置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解不等式的基本性质，一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，进一步深刻理解利用基本不等式证明一些简单不等式的方法与思路，巩固强化基本不等式的应用.以便更好地培养学生学习数学的兴趣与解决问题的能力.通过类比、2ba直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神.就学生的学习状况，知识结构与能力水平而言，抽象的推理、归纳是难点，而以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养是高中教学的一项长期任务.根据本节课的教学内容，
3、应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究、引导学生积极参与，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.经历实际情景，复习本章所研究的三种不等式模型，一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等式；2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；3.进行一些简单不等式的证明.教学难点 1.证明一些简单的不等式；2.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系并能够灵活应用.教具准备 实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过实际情景，复习本章所研究的三种不等式模型，一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等式 ；2ba2.会解一
4、元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；3.进行一些简单不等式的证明.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过
5、程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的世界观.教学过程导入新课师 前面我们已经系统地研究了第三章不等式的内容.从本节课开始，我们的将对第三章不等式所研究的知识与思想方法进行回忆和复习，并展开一些应用.(此时，老师用投影仪给出同学们已研究过的一个具体问题)二次函数 y=x2-5x 的对应值表与图象如下：x -1 0 1 2 3 4 5 6y 6 0 -4
6、 -6 -6 -4 0 6师 请同学们由图说出函数值 y 与自变量 x 的对应关系.生 当 x=0 或 x=5 时，y =0，即 x2-5x=0；当 0x5 时，y 0，即 x2-5x0；当 x0 或 x5 时，y 0，即 x 2-5x0.师 结合此实例，请同学们描述一下二次函数、一元二次方程与一元二次不等式有什么关系呢？生抛物线 y=x2-x-6 与 x 轴的交点是(0，0) 与(5，0), 则一元二次方程 x 2-5x=0 的解就是x1=0，x 2=5.一元二次不等式 x 2-5x0 的解集是x|0x 5,一元二次不等式 x2-5x0 的解集是x|x 0 或 x5.教师精讲师 由一元二次不
7、等式的一般形式，知任何一个一元二次不等式，最后都可以化为 ax 2+bx+c0 或 ax 2+bx+c0（a0）的形式.一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.师 如何讨论一元二次不等式的解集呢？(此时，老师用投影仪给出下列草图)生 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，设其判别式为 =b2-4ac，它的解按照 0,=0， 0 分为三种情况，相应 地，抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)与 x 轴的相关位置也分为三种情况（如上图） ，因此，对相应的一元二次不等式 ax 2+
8、bx+c0 或 ax 2+bx+c0（a0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.师 这位同学回答得非常好.下面请你具体得描述一下.生 (1)若 0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a0) 与 x 轴有两个交点图（1） ，即方程 ax 2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实根 x1，x 2（x 1x 2）,则不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集是x| xx 1 或 xx 2；不等式 ax 2+bx+c0（a0）的解集是x|x 1xx 2.(2)若 =0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)与 x 轴只有一个交点图(2) ，即方程 ax 2+bx+c=0(a0)有两个相等的实根 x1
9、=x 2=- ,则不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集是bx|x- ；不等式 ax 2+bx+c0（a0）的解集是.b(3)若 0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)与 x 轴没有交点图(3) ，即方程 ax 2+bx+c=0(a0)无实根，则不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集是 R；不等式 ax 2+bx+c0（a0）的解集是.(此时，老师用投影仪给出下列草图，并让学生填空)=b2-4ac 0 =0 0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0 的根x1,2= ababx21ax2+bx+c0 的解集ax2+bx+c0 的解集师 对于二次项系数是负数（即
10、 a0）的不等式，我们又如何求解呢？生 对于二次项系数是负数（即 a0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. 师 我们还可以归纳出解一元二次不等式的程序.归纳如下：（此时，老师用投影仪给出，让学生回忆）（）将二次项系数化为“+ ”：A=ax 2+bx+c0(或0)( a0).（）计算判别式 ，分析不等式的解的情况：0 时，求根 x 1x 2， .,0;21x则若 或则若=0 时，求根 x1=x 2=x0， .,;00xA则若 则若 的 一 切 实 数则若0 时，方程无解， .0,;xAR则若 则若（）写出解集.用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来.(学生自己完成)师 同学
11、们对前面所研究的内容掌握得非常好.下面我们就来看几个具体应用(此时，老师用投影仪给出下列例题)合作探究【例 1】已知集合 A=xx 2+2x-80,B=x x+23,C=xx 2-2mx+m2-10,mR .若（ 1）AC=,(2) ABC,分别求出 m 的取值范围.（让两位同学上黑板板演，教师作点评） 解：() A=x|4x2，B=x |x1 或 x5，C=x|m1xm1，欲使 AC=，只需 m-12 或 m+1-4.m3 或 m5.(2)欲使 ABC,AB=x1x 2 ，只需 即 即 1m2.,21m,师 这两位同学完成得很好.请同学继续思考下面的例 2.例题剖析师 此例中不等式是一元二次
12、不等式吗？生 不是一元二次不等式，应转化为一元二次不等式来考虑.（让两位同学上黑板板演，教师作作评）【例 2】 不等式 1 的解集为xx1 或 x2, 求 a.a解法一：将 即（a-1）x+1( x -1)0,0)(化 为 x由已知，解集为x| x1 或 x 2可知 a10， (x1)0.(1-a)x-10,x ,于是有 .2解得 .21解法二：原不等式转化为 (x1) 0,即（a-1）x 2+(2-a)x+10.依题意,方程（1-a）x 2+(a-2)x+1=0 的两根为 1 和 2, 解得 .31,a1师 这两位同学完成得非常好.请下面的同学仔细观察这两位同学的解法，和自己的解法作比较，可
13、以互相交流.（留三分钟的时间让学生合作交流）师 前面我们还利用实际背景分析得出基本不等式 ,对它的应用我们要注意些2ba什么？如何应用？生 应用时要注意“一正、二定、三等”，对它的应用要注意创设和它类似的结构特征.师 回答得非常好，都能说出应用的要点.下面我们就来看几个以不等式的基本性质及基本不等式 为基础的证明问题.2ba(此时，老师用投影仪给出下列例题)【例 3】已知 a,b,c,dR,求证: ac+bd .)(22dc（方法引导师 请同学们思考，要证明的不等式是否能用基本不等式来证明？生 可以.(a 2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d 2+b2c2+b 2d2=(a2c2+2ab
14、cd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a 2d2)=(ac+bd) 2+(bc-ad)2(ac+bd)2. |ac+bd|ac+bd.)(（故命题得证.师 这位同学回答得很好.证明过程很详细.同学们是否还有其他的证明思路？生 可以由条件到结论来证明.对两边平方.师 能直接平方吗？生 由不等式的性质知，需要讨论.(1)当 ac+bd0 时,显然 成立.(2) 当 ac+bd0 时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd) 2(a2+b 2)(c2+d 2)，即证 a 2c2+2abcd+b2d2a 2c2+a 2d2+b2c2+b2d2， 即证 2abcdb2c2+a 2d2，即证 0(bc-
15、ad)2.因为 a,b,c,dR,所以上式恒成立.综合(1)(2)可知原不等式成立.师 这位同学回答得很好.证明过程也很详细.同学们是否还有其他的证明思路？生 可以用作差的思路证明.( a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.|a c+bd|ac+bd,即 ac+bd .)22dcba（ )dc（师 同学们用三种方法证明此不等式，这说明同学们对不等式的证明掌握得很好，思维很灵活.希望同学们在课后研究问题时也要注意一题多解，一题多思，这样能够训练思维的深度和广度.课堂小结师 本节课我们复习了哪些知识、方法？同学们用这些知识、
16、方法解决了什么问题？通过本节课的复习，同学们又有什么收获呢？生 我们通过本节课的复习，对本章三种不等式模型：一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等 式 有了更深刻的认识，并且以不等式的基本性质为基础，能熟练地2ba解一元二次不等式.对给定的一元二次不等式，能够尝试设计求解的程序框图.能够进行一些简单不等式的证明.师 同学们总结得很好.通过本节课的复习，我们还应当掌握证明一些简单的不等式的基本思路.应深刻理解二次函数、一元二次方程与一 元二次不等式的关系并且能够灵活应用.同时去体会数形结合思想对解题的指导作用.布置作业课本第 116 页复习参考题，组 2、3,组.板书设计本章复习（一）一元二
17、次不等式： 题组二元一次不等式组： 例 方法归纳基本不等式： 方法引导 小结. 实例剖析（知识方法应用）2ba示范解题习题详解一、备用公式、定理1.重要不等式：如果 a,bR,那么 a2+b22ab(当且仅当 a=b 时取“=”).2.定理：如果 a,b 是正数，那么 ab(当且仅当 a=b 时取“=”).3.公式的等价变形：ab ,ab（ ） 2.24. 2（ab0） ，当且仅当 ab 时取“”.ba5.定理：如果 a,b,cR+，那么 a3+b3+c33abc（当且仅当 a= b=c 时取“=”）.6.推论：如果 a,b,cR +，那么 （当且仅当 a=b=c 时取“=” ）.二、阅读材料
18、初等数学中的不等式证明方法集锦1.配方法把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的.2.判别式法通过对所证不等式的观察、分析、构造出二次方程，然后利用二次方程的判别式，从而使不等式得证.3.比较法为了证明 AB，可转化为证明 A-B0 或者当 B0 时转化为证明 .1BA4.分析法分析要证明的结论的特征，对其进行等价转化，使之与已知条件的联系更加密切.5.综合法利用一些现成的结论（比如重要不等式） ，从已知条件直接入手，逐步得到要证明的结论. 在实际证明过程中，分析法和综合法常结合使用.6.放缩法为了证明 A
19、B，可设法证明 AC ，且 BA.有时也可考虑证明加强命题.7.数学归纳法常用来证明与正整数有关的命题.8.构造法构造适当的图形，使要证的命题比较直观地反映出来.9.辅助函数法 函数是数学中的一个重要内容，它与不等式有密切的联系.通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明该不等式.通常我们可以利用以下一些函数的性质：（1）函数 y=ax2+bx+c，若 a0，则 y0 0；（2）三角函数的有界性；（3）函数的单调性；（4）函数的凸性；（5）函数的导数.10.换元法通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式.应用换元法，可把字母多化成字母少，可把紊乱的不等式化成简单的、条理清晰的不等式. 常用的换元方法有三角换元和均值换元.（1）三角换元x2+y2=r2(r0) (02);x 2+y2a2 (0,0r a);sin,coryxsin,corxx2-y2=r2(r0) (02).ta,e（2）均值换元x+y=a x+y+z=a (+=0).;2,rzx3,3另外，在证明的过程中还经常使用整体换元，即用一个变量代替一个整式.11.逐步调整法在证明不等式的过程中，对某一个函数式的某些变元进行调整（变大或变小） ，观察函数值的变化，从中发现函数式的最值.
