1、1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( ).A. B. C. D.【解析】 利用三棱锥 A1-AB1D1的体积变换: =,则 24=6h,解得 h=.【答案】C2.点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面外一点, PA平面 ABC,PA=8,在 ABC 中,底边 BC=6,AB=5,则 P 到 BC 的距离为( ).A.4 B. C.3 D.2【解析】 作 AD BC 于 D,连接 PD,易证 PD BC,故 PD 的长即为 P 到 BC 的距离,易求得 AD=4,PD=4.【答案】A3.在正方体 ABCD-
2、A1B1C1D1 中,直线 C1D 与平面 B1CD 所成的角为 . 【解析】连接 C1B 交 B1C 于点 O,根据直线 C1B平面 B1CD,可得直线 C1D 与平面 B1CD 所成的角为 ODC1,在 Rt ODC1中,根据 DC1=2OC1,可得 ODC1=30,因此直线 C1D 与平面 B1CD 所成的角为 30 .【答案】304.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心 )的体积为 12,底面对角线的长为 2,求侧面与底面所成的二面角 .【解析】易求得底面边长为 2,高为 3,tan = ,所以 = 60.5.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a,点
3、D 是 CC1 上任意一点,连接 A1B,BD,A1D,AD,则三棱锥 A-A1BD 的体积为( ).A.a3 B.a3 C.a3 D.a3 【解析】 =Sh=.【答案】 B6.如图,等边三角形 ABC 的边长为 1,BC 边上的高为 AD,若将 ABD 沿 AD 折成直二面角 B-AD-C,则 A 到 BC 的距离是( ).A.1 B. C. D.【解析】折叠后 BD=DC=,且 BDC 为二面角的平面角, BDC=90,BC=.取 BC 中点 E,连接 DE、 AE,则 DE BC,进一步易证 AE BC,则 AE 的长即为所求的距离 .AD= ,DE=BC=,AE=.【答案】C7.把边长
4、为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD 之间距离为 a,则二面角 B-AC-D 的大小为 . 【解析】取 AC 的中点 O,画图知 BO=OD=a, BOD 为其二面角的平面角 .BO 2+OD2=BD2,BO OD, BOD=90.【答案】908.已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是边长为 2 的正方形,侧棱 AA1底面 ABCD,若求得二面角 A1-BD-C1 的大小为 60,求四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积 .【解析】 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 A1O,C1O,由正方形的性质可得 BD AC,又因为侧棱 AA1底面 ABCD,BD底
5、面 ABCD,所以 BD AA1,且 AC AA1=A,所以 BD平面 AA1C1C, 所以 A1OC1是二面角 A1-BD-C1的平面角,所以 A1OC1=60,又 A1O=C1O, A1OC1是等边三角形 .设 AA1=h,则 A1C1=2,A1O=C1O=,所以 =2,解得 h=,所以 =22=4.9.如图, P 是二面角 -AB- 的棱 AB 上一点,分别在 、 上引射线 PM、 PN,截 PM=PN,如果 BPM= BPN=45, MPN=60,则二面角 -AB- 的大小是 . 【解析】 过 M 在 内作 MO AB 于点 O,连接 NO, 设 PM=PN=a,又 BPM= BPN=
6、45, OPM OPN,ON AB, MON 为所求二面角的平面角 .连接 MN, MPN=60,MN=a.又 MO=NO=a,MO 2+NO2=MN2. MON=90.【答案】9010.如图,把等腰直角三角形 ABC 以斜边 AB 为轴旋转,使 C 点移动的距离等于 AC 时停止,并记为点 P.(1)求证:面 ABP面 ABC;(2)求二面角 C-BP-A 的余弦值 .【解析】(1)由题设知 AP=CP=BP, 点 P 在面 ABC 的射影 D 应是 ABC 的外心,即 D AB.PD AB,PD面 ABP,由面面垂直的判定定理知,面 ABP面 ABC.(2)取 PB 中点 E,连接 CE、 DE、 CD. BCP 为正三角形, CE PB. BPD 为等腰直角三角形, DE PB, CED 为二面角 C-BP-A 的平面角 .又由(1)知,面 ABP面 ABC,DC AB,AB=面 ABP面 ABC.由面面垂直性质定理,得 DC面 ABP.DC DE.因此 CDE 为直角三角形 .设 BC=1,则 CE=,DE=,cos CED=.
