1、第三章过关检测(时间:45 分钟,满分:100 分)一、选择题(每小题 6 分,共 48 分)1.f(x)=ax3-2x2-3,若 f(1)=5,则 a 等于( )A.5 B.4 C.2 D.3答案:D解析: f(x)=3ax2-4x, f(1)=3a-4=5, a=3.2.若函数 f(x)可导,则 f(x0)等于( )A. B.C. D.答案:B解析:根据导数的定义直接判断,但是应注意 y 中自变量的差与 x 相等 .3.曲线 y=在点( -1,-1)处的切线方程为( )A.y=-1 B.y=2x+1C.y=-2x-3 D.y=x-答案:B解析: y=. k=y|x=-1=2,所求切线方程为
2、 y+1=2(x+1),即 y=2x+1.4.函数 y=f(x)=ln x-x 在区间(0,e上的最大值为( )A.-e B.1-e C.-1 D.0答案:C解析: f(x)=-1,令 f(x)=0,即 x=1.当 x 变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,e) ef(x)+ 0 -f(x)单调递增极大值-1单调递减1-e由于 f(e)=1-e,而-11-e,从而 f(x)max=f(1)=-1.5.已知函数 f(x)=3x3-ax2+x-5 在区间1,2上单调递减,则 a 的取值范围是( )A. B.(-,5)C.5,+) D.答案:D解析: f(x)=9x
3、2-2ax+1.当 f(x)在1,2上递减时, a .6.当 a 取下列哪个值时,函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰好有两个不同的零点( )A.8 B.6 C.4 D.2答案:C解析: f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),知可能的极值点为 x=1,x=2,且 f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当 a=4 时,函数 f(x)恰好有两个不同的零点 .7.把一个周长为 12cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为( )A.12 B.21 C.1 D.2答案:B解析:设圆柱高为 x,底面半径为 r,则 r=,圆柱体积 V= x=(
4、x3-12x2+36x)(00, f(-1)=-f(-1)0,即 ln(-a)ln1. a0,f(x)在区间(64,640)内为增函数 .所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时 n=-1=-1=9.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 .14.(12 分)已知 aR,函数 f(x)=4x3-2ax+a.(1)求 f(x)的单调区间;(2)证明:当 0 x1 时, f(x)+|2-a|0.解：(1)解:由题意得 f(x)=12x2-2a.当 a0 时, f(x)0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为( -, +) .当 a0 时, f(x)=12,此时函数 f(x)的单调递增区间为.
5、单调递减区间为 .(2)证明:由于 0 x1,故当 a2 时, f(x)+|a-2|=4x3-2ax+24 x3-4x+2.当 a2 时, f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-24 x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.设 g(x)=2x3-2x+1,0 x1,则 g(x)=6x2-2=6,于是在 x(0,1)上,当 x 变化时, g(x),g(x)的变化情况如下表:x 0 1g(x) - 0 +g(x) 1单调递减极小值1-单调递增 1所以, g(x)min=g=1-0.所以当 0 x1 时,2 x3-2x+10.故 f(x)+|a-2|4 x3-4x+20.来源:gkstk.Com
