1、参数方程教案第一节 曲线的参数方程【教学目标】1通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路2通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力3从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点【教学重点与难点】重点：曲线参数方程的探求及其有关概念；难点：是弹道曲线参数方程的建立【教学过程】一 复习：1满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？曲线方程的概念：(1)曲线
2、 C 上任一点的坐标（x,y）都是方程 f(x,y)=0 的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0 的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线 C 上那么，这个方程 f(x,y)=0 就称作曲线 C 的方程，而这条曲线 C 就称作这个方程 f(x,y)=0 的曲线2写出圆心在原点，半径为 r 的圆 O 的方程，并说明求解方法O 的普通方程是：x 2+y2=r2； O 的参数方程是： （ 为参数）sincoryx这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量 把圆上任意一点的横、纵坐标 x、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式二新课：1参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上
3、的任意一点的坐标 x,y，都是某个变数 t 的函数 ，并且对于 t 的每个允许值，由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(tgyfx )(就叫做这条曲线的参数方程，联系 x,y 之间关系的变量 t 叫做参变数，简称参数。2例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为 ，发射的初速度为 v0，求出弹道曲线的方程(不计空气阻力)。我们知道弹道曲线是抛物线的一段现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？（1）建系：建立适当的直角坐标系；以炮口为原点，水平方向为 x 轴，建立直角坐标
4、系。（2）设标，设炮弹发射后 t 秒时的位置为 M(x，y)(3)列式：即找出 x 与 y 之间的关系。怎样把 x、y 之间的关系联系起来呢。这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动显然在 x、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x、y 都与时间 t 有关在水平方向的初速度是 v0cos，在竖直方向的初速度是 v0sin.水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以 x=v0cos;在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动所以y=v0sint- gt21这里我们把水平
5、位移和竖直位移都用时间 t 表示出来了，即把 x、y 都表示成了 t 的函数，t 应该有一个确定的范围？令 y=0，得 t=0 或 t = ，gvsin200t 。gvsin20当 t= 时炮弹刚落地。记 为 T。i0 gvsin20则 )(21sinco0tgtvyx这个方程组表示的是弹道曲线的方程。前面我们举的圆和弹道曲线这两个例子中，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标 x,y之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的在圆的参数方程中旋转角 参与了方程组的建立，且 x、y 都是 的函数；在弹道曲线的参数方程中时间 t 参与了方程组的建立，且 x、y 都是 t的
6、函数。参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标 x、y 都是某个变量 t 的函数 ，)(tgyf且对于的 t 每一个允许值，由所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，则就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的。为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程。参数可以有明确的几何意义(旋转角 几何的)，也可以有明显的物理意义(时间 t物理的)事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作参数曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意
7、义，如弹道曲线中，x 表示炮弹飞行的水平位移，y 表示炮弹飞行的竖直高度求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度？当 t= 时炮弹刚落地gvsin20x=v 0cos = ，2= ，即 = ，得 x 最大 =i0gv2sin04gv20当 ,t= ,y 最大 =v0sin - = = 。4si0si2sin1vgosi2040【练习】1 动点 M 作等速直线运动，它在 x 轴、y 轴方向的速度分别为 9 和 12，运动开始时点 M 位于 A（1，1），求 M 点轨迹的参数方程。2 求半径为 5，圆心在点（2，-5）的圆的参数方程。3 求经过两个不同的 N（x 1，y 1）,M(x 2,y2)
8、的直线的参数方程。4 物体从 H 米的高处以初速度 v 米/秒沿水平方向抛出，写出物体所经过路径的参数方程。5 作水平飞行的飞机速度为 150 米/秒，飞行高度为 H=720 米，若飞机从这个高度进行投弹。求：（1） 炮弹离开飞机后的轨迹的参数方程。（2） 飞机与目标的水平距离多少时，投弹才能命中目标？（3） 从抛出炮弹到命中的时间？【小结】（1） 曲线的参数方程的概念。（2） 参数方程的优越性：当建立两个变量之间的直接联系比较困难，可以利用参数建立两个变量之间的间接的联系。参数一般带有物理意义和几何意义，可以利用它们的物理意义和几何意义来解决实际问题。【课程后反思】1未来社会对人才素质的要求
9、越来越高高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求由于人的素质是多方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能力，培养学生的个性品质显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用本节课的 3 个教学目标正是据于这样的思考而制定的2这节课按如下步骤逐渐展开：(1)圆的参数方程；(2)弹道曲线的参数方程；相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度”，加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程(参数方程)，提供了可参照的“样本”这对于发展学
10、生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为 x 轴，建立直角坐标系，并直接由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给这类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大地尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义旨在培养学生由具体到抽象的推理能力将两个例子作了进一步研究通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题，可以选取不同的变数作参数既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识而对炮弹最大水平
11、射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数 t 联系起来的 x、y 的最大值，有着鲜明的实际意义(几何的)，另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼应，使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛第二节 求曲线的参数方程一。复习：1 什么是曲线的参数方程？2 样求曲线的参数方程：建立坐标系，选好适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。把 x,y 分别表示为参数 t 的函数，并且联立。二几种常用曲线的参数方程1 直线： 是 参 数 ）tyx(sinco0 为倾斜角，
12、t 为动点 M 离开定点 M 0的位移，当 t0 时，M 点在 M0的上方。当 t0)，若以过原点的弦所在直线的斜率 k 为参数，求圆的参数方程：若以过原点的弦长 t 为参数，求圆的参数方程。【小结】1样求曲线的参数方程：建系：建立适当直角坐标系，选参：选择适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。设标：设曲线上任意一点 M 的坐标为（x,y）列式：把 x,y 分别表示为参数 t 的函数，并且联立。2常用曲线的参数方程：（1）直线： ； ；是 参 数 ）tyx(sinco0121yx0(mtyn为 参 数 ）
13、，（2）圆： ，（ 是参数）, (x-x 0)2+(y-y0)2=r20cosinxry（3）椭圆： ,为 参 数 ， 表 示 离 心 角 ）(sibya21xyab（4） 双曲线： ；为 参 数 ）(secbtgyax21xyab（5） 抛物线： ,y 2=2pxpt3参数方程的应用：利用直线的点角式参数方程的参数 t 的几何意义；把曲线上的点坐标用参数形式表示。第三节 参数方程和普通方程的互化【教学目标】1掌握把参数方程与普通方程互化的基本思路。2理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的3基本掌握消去参数的常用方法4培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力即在“互化”训练中
14、，提高学生解决数学问题的转化能力【教学重点与难点】使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法【教学过程】1 复习：曲线参数方程的定义。2 参数方程与普通方程之间的互化：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法也就是说，参数方程里的参数可以协调 x、y 的变化基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程即想办法消去参数 k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了参数方程参数方程化为普通方程：消参，即消去参数方程中的参数；普通方程化为参数方程
15、：选参，即通过适当选择参数，将普通方程化为参数方程。例 1：消去参数 t，将曲线的参数方程化为普通方程： 。201gthyvx解：将 x=v0t 变为 t= ，代入 2 式中，得 y=h- .0vx20vg例 2：已知参数方程 sincoty(1)消去参数 t，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？(2) 消去参数 ，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？解：（1）从得 ，代入得： ，表示直线。cosxtxtgycosin（2）利用三角公式：sin 2+cos 2=1，得 x2+y2=t2，表示以原点为圆心圆。例 3：消去参数 t，将曲线的参数方程化为普
16、通方程 ，并说出方程表示)2,0)(sinctbaty的是什么曲线？解：三角公式：sin 2t+cos2t=1，得: ,表示椭圆。12bax消参的基本方法代入消参法；加减（乘除）消参法 ；利三角恒等变换或代数恒等变换例 4：求下列曲线的所表示的图形：（t 是参数）（1） ；（2）1tyxtyx2cos1解：（1）从得 =x-1，代入得 y=2(x-1)-1=2x-3,注意到 0，x1。t t参数方程表示射线：y=2x-3,(x1)。利用三角公式：Cos2t=2cos 2t-1，把化为：cost=x-1，代入得：y=2(x-1) 2-1=2x2-4x-3,且 cost-1,1，x0,2，参数方程
17、表示抛物线 y=2x2-4x-3, x0,2的一部分。注意；把参数方程化为普通方程要两个方程的等价性，特别要注意参数的范围对 x,y 的限制。例 5：消去参数 k，将曲线的参数方程化为普通方程： ，并说出方程表示的是什么曲线？1)(2kabyx解:把(3)代入(2)得：x 2-ax+y2-by=0(4)它的图形是圆。例 6：把弹道曲线的参数方程 ，化为普通方程。 )0(21sinco0Ttgtvyx故炮弹描绘的曲线是一条抛物线(含顶点在内的一部分因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合)例 7：把参数方程化为普通方程 tytx1432即 3x+5y-11=0 是所求的普
18、通方程。在解题时注意参数 t 的取值范围，t 为不等于-1 的实数，即 t-1，x-33x+5y-11=0(x-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4)注意：在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价。例 8 化下列参数方程为普通方程解 ： (1)(x+1) 2+y=sin2+cos 2，所以 (x+1) 2+y=1，(0y1)所以 x2-y2=4小结：1消去参数的方法常用的有哪些？消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(2)加
19、减（乘除）消参法；(3)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数2转化过程中应注意什么？转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价例 9：在曲线(x+1)y=1 上求一点 P，使它到直线 x+2y+3=0 的距离最小，并求这个最小值。分析：曲线方程中有 2 个变量，其中的 x 和 y 表示曲线上点的坐标；如果用参数方程表示问题可转化为讨论当 为何值时，点 P 到直线的距离最小问题。参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的 x 与 y 的值，因而也就确定了这时点所在的位置解：把曲线(
20、x+1)y=1 化为参数方程 。设 P(tg-1,ctg) 曲线上一点，ctg1由点到直线的距离公式， d= .5|2|tt因为 tan、cot 同号，|tg+2ctg|=|tg|+|2ctg|2 2又|tg+2ctg+2|tg+2ctg|-|2|=2 -2,2d ,此时，tg=2ctg=- 。即 P（- -1， ）到直线)12(5222x+2y+3=0 的距离最小。最小值是 )(从例9 的结论知道，参数 不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性【练习】一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各
21、表示什么曲线二、关于 t 的方程 t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，yR，i 是虚数单位)有实根，求动点 P(x，y)的轨迹的普通方程下面是作业题略解一、(1)(x-x 0)2+(y-y0)2=t2，以(x 0，y 0)为圆心，|t|为半径的圆(2)y-y0=tan(x-x 0)，过点(x 0，y 0)，斜率是 tan 的直线(3)2x+y-5=0(0x3)，缺一个端点的线段(4)y2-x2=4(y2)，双曲线的上支二、已知方程整理为：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为 x，y，tR，得 4x2+y2+4x-2y=0 为所求设计说明参数方程与普通方程的互化，应
22、该是两课时，这是第一课时的内容：参数方程化为普通方程对这一问题课本仅用 32 页的篇幅介绍了互化的方法共 3 个例题纵观全章参数方程、极坐标也只是对参数方程进行了初步研究而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题第四课时 参数方程小结一参数方程的：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标 x、y 都是某个变量 t 的函数 ，)(tgyfx且对于的 t 每一个允许值，由所确定的点 M(x,y)都在这条
23、曲线上，则就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。二参数方程的优越性：（1） 当建立两个变量之间的直接联系比较困难，可以利用参数建立两个变量之间的间接的联系。（2） 参数一般带有物理意义和几何意义，可以利用它们的物理意义和几何意义来解决实际问题。（3） 参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性三样求曲线的参数方程：（1）建系：建立适当直角坐标系，（2）选参：选择适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。（3）设标：设曲线上任意一点 M 的坐标为（x,y）（4）列式：把 x,y 分别表
24、示为参数 t 的函数，并且联立。四常用曲线的参数方程：（1） 直线： ； ；是 参 数 ）tyx(sinco012yx0(mtyn为 参 数 ） ，（2）圆： ，（ 是参数）, (x-x 0)2+(y-y0)2=r20cosinxry（3）椭圆： ,为 参 数 ， 表 示 离 心 角 ）(siba21xyab（4）双曲线： ；为 参 数 ）(secbtgyax2y（5）抛物线： ,y 2=2pxpt五参数方程的应用：（1）利用直线的点角式参数方程的参数 t 的几何意义；（2） 把曲线上的点坐标用参数形式表示,使把曲线上的点由二元转化成为一元。有利于解题。（3） 用参数法求动点的轨迹方程。六消去
25、参数的方法（1）代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去（2）加减（乘除）消参法；（3）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数七参数方程与普通方程转化过程中应注意什么？转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价【例题】例 1 化下列参数方程为普通方程解 ： (1)(x+1) 2+y=sin2+cos 2，所以 (x+1) 2+y=1，(0y1)所以 x2-y2=4例 2：在曲线(x+1)y=1 上求一点 P，使它到直线 x+2y+3=0 的距离最小，并求这个最小值。分析：曲线方程中有 2 个变量，其中的 x
26、和 y 表示曲线上点的坐标；如果用参数方程表示问题可转化为讨论当 为何值时，点 P 到直线的距离最小问题。参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的 x 与 y 的值，因而也就确定了这时点所在的位置解：把曲线(x+1)y=1 化为参数方程 。设 P(tg-1,ctg) 曲线上一点，ctg1由点到直线的距离公式， d= .5|2|tt因为 tan、cot 同号，|tg+2ctg|=|tg|+|2ctg|2 2又|tg+2ctg+2|tg+2ctg|-|2|=2 -2,2d ,此时，tg=2ctg=- 。即 P（- -1， ）到直线)12(5222x+2y+3
27、=0 的距离最小。最小值是 )(从例 2 的结论知道，参数 不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性例 3已知椭圆 4x2+9y2=36，求以点 P（2，1）为中点的弦所在的直线方程.分析：求过已知点 P 所在的直线方程，关键求直线的斜率。思路：设斜率；点差法；参数方程。解：设过点 P 的直线斜率为 k(斜率不存在的情况不可能)，那么直线方程是:y-1=k(x-2),代入椭圆 4x2+9y2=36 中 ，得： (4+9k 2)x2-18k(2k-1)x+(2k-1)2-36=0.P 是弦的中点 ，
28、 得21x,49)1(2k98k 点差法：过点 P（2，1）的弦 AB，A（x 1,y1）、B(x 2,y2)在椭圆上，作差 4（x 1+x2）(x 1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, x1+x2=4,y1+y2=2,369421yx 9821xyk参数方程；设直线参数方程 ，代入椭圆 4x2+9y2=36 方程，sin1coty得:t 2+(16cos+18sin)t+25=0,P 是的弦中点，t 1+t2=0, 16cos+18sin=0,k=tg=- .98例 4：已知椭圆 5x2+8y2=40，求以椭圆的右焦点 F 作弦 AB，使|AF|=2|BF|，求 AB 所在的直线方程.例 5：圆系 C 方程是：x 2+y2-4cosx-4sin 2y-4sin 2cos 2=0，（1） 求圆系 C 的圆心轨迹方程；（2）圆系 C 能否覆盖原点？例 6：求函数 （x2k，kZ）的值域。1cos2in)(xf解：常规解法是：这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cos，sin)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题动点 P(cos，sin)的轨迹是以坐标原点为圆心，1 为半径的圆(挖去(1，0)点)如图 3-7 知：
