1、（备战中考）江苏省 2012 年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试） 与圆有关的位置关系考点聚焦1 理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系2 能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点3 能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系备考兵法1确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系， 涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上
2、、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决2 判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系3证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线， 再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径 ”识记巩固1设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆内 _；点在圆上_； 点在圆外 _2直线与圆的位置关系：如果O 的半径为 r，圆心
3、 O 到直线 L 的距离为 d，那么：（1）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r；（2 ） 直线和圆有_ 个公共点时， 叫做直线与圆相切， 这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r学优中考网 （3）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相离，此时 d_r3圆和圆的位置关系：如果两圆半径分别为 R 和 r（Rr） ，圆心距为 d，那么：（1）两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在_，这时我们称两圆_，d_R+r （2 ） 两个圆有_ 公共点， 并且除了这个公共点外， 每个圆上的点都在_，这时我们称两圆_，d_R+r（3）两个圆有两个公共点，
4、我们称这两个圆_，此时_（4） 两个圆有_ 公共点， 并且除了这个公共点外， 一个圆上所有的点都在_，这时我们称两圆_，d_R r（5）两个圆没有公共点， 并且一个圆上所有的点都在_， 这时我们称两圆_，d_Rr说明：两圆_和_统称为两圆相切，唯一的公共点称为_， 两个圆同心是两圆_的特例4圆的切线的判定方法：（1）定义法：与圆只有_个公共点的直线是圆的切线（2）数量关系法：到圆心的距离_的直线是圆的切线；（3）判定定理：过半径_且与这条半径_的直线是圆的切线5切线的性质定理及推论：定理：圆的切线_于经过切点的_推论 1：经过_且垂直于_的直线必经过切点推论 2：经过_且垂直于_的直线必经过圆
5、心6经过圆外一点作圆的切线，这一点和_之间的线段长， 叫做这点到圆的_；从圆外一点可以引圆的_条切线，它们的_相等，这点和圆心的连线_7与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_，_ 的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条_的交点识记巩固参考答案:10dr 2 （1）两 割线 交点 3 （1）另一个圆的外部 外离 （2）唯一 另一个圆的外部 外切 = （3）相交 RrdR+r （4）唯一 另一个圆的内部 内切 = （5） 另一个圆的内部 内含 外切 内切 切点 内含 4 （1） （2）等于半径 （3）外端 垂直 5垂直 半径 圆心 切线 切点 切线 6切点 切线长 两 切线长 平分两条切线的夹角 7
6、内切圆 内切圆 角平分线典例解析例 1 （2011 湖北黄石，24，9 分）已知 O1与 O2相交于 A、 B 两点，点 O1在 O2上，C 为 O2上一点（不与 A， B， O1重合） ，直线 CB 与 O1交于另一点 D。（1）如图（8） ，若 AC 是 O2的直径，求证： AC CD（2）如图（9） ，若 C 是 O1外一点，求证： O1CAD（3）如图（10） ，若 C 是 O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立。【答案】 （1）连接 C O1， AB AC 是 O2的直径 ABBD,ADC O1 AD 经过点 O1 AO1 DO1 AC CD（2）连接 O1 O2， AO1学优中考
7、网 O1 O2 AB AO1O2+ AG O1 O1AB= C 又 D= A O1B= AO1O2 C+ D=900 O1C AD（3）成立例 2 如图，O 与 y 轴交于 A，B 两点，交 x 轴于点C，过点 C 的直线 y=2 x8 与 y轴交于点 P（1）求证：PC 是O 的切线；（2）在直线 PC 上是否存在点 E，使得 SBOP =4SCDO？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当直线 PC 绕点 P 转动时，与 交于点 F（FAC不与 A，C 重合） ，连结 OF，设 PF=m，OF=n ，求 m， n之间满足的函数关系式，并写出自变量 n 的取值范围解析 （
8、1）直线 y=2 x8 与 x，y 轴分别交于点 C（2 ，0） ，P （0，8） cotOCD=2 ，cotOPC=2 2OCD=OPC OPC+PCO=90 ，OCD+PCO=90 ，PC 是O 切线（2）设直线 PC 上存在一点 E（x，y） ，使 SBOP =4SCDO ，则 8x=4 12 112解得 x= 由 y=2 x8 可知，当 x= 时，y= 12；当 x= 时，y=42在直线 PC 上存在这样的点（ ，12）和（ ，4） 2（3）如图，作直线 PF 交 AC 于点 F设 F（x，y） ，作 FMy 轴，M 为垂足，连结DF，由 PF=m，OF=n 得，m2（8+y ） 2=
9、x2，n 2y 2=x2，m 26416yy 2=n2 y2，即 m26416y=n 2 又CD= =3，DF 2DM 2=FM2，COD3 2（1y） 2=x2，3 2（1y） 2=n2y 2，解得 y= 8n将代入，解得 m=3n 或 m=3n（舍去） m=3n（ 2n2） 点拨 本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强例 3 （2008 ，江苏无锡）如图，已知点 A 从（1， 0）出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向正方向运动以 O， A 为顶点作菱形 OABC，使点 B，C 在第一象限内，且AOC=60， 以
10、点 P（0， 3）为圆心，PC 为半径作圆，设点 A 运动了 t 秒，求：（1）点 C 的坐标（用含 t 的代数式表示） ；（2）当点 A 在运动过程中，所有使 P 与菱形 OABC 的边所在直线相切的 t 的值解析 （1）过点 C 作 CDx 轴于点 DOA=1+t ，OC=1+t，OD=OCcos60= 12tDC=OCsin60= ，3()t点 C 的坐标为（ ， ） 12t()t（2）当P 与 OC 相切时（如图 1） ，切点为 C，此时 PCOC，OC=OPcos30学优中考网 1+t=3 ，32t= 1图 1 图 2 图 3当P 与 OA，即与 x 轴相切时（如图 2） ，则切点为
11、 O，PC=PO，过点 P 作 PEOC于点 E，则 OE= OC2 =OPcos30= ，1t3t=3 1当P 与 AB 所在直线相切时（如图 3） ，设切点为 F，PF 交 OC 于点 G，则PFOC，FG=CD= 3(1)2tPC=PF=OPsin30+ = + ()t32(1)t过点 C 作 CHy 轴于点 H，则 PH+CH=PC，（ ） 2+ 3 2= + 21t3(1)t3(1)t（t+1） 218 （t+1）+27=0t+1=9 6 36t=9 6 10，t=9 +6 1所求 t 的值是 1，3 1 和 9 +6 1236点评 运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重
12、不漏2011 年中考真题一、选择题1. （2011 宁波市，11，3 分）如图，O 1 的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O2 为正方形 ABCD 的中心，O 1O2 垂直 AB 与 P 点，O 1O28若将O 1 绕点 P 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，O 1 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现A 3 次 B5 次 C 6 次 D 7 次 【答案】B2. （2011 浙江台州，10,4 分）如图， O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PB 切 O 于点 B，则 PB 的最小值是（ ）A. B. C.
13、 3 D.2135【答案】B3. （2011 浙江温州，10，4 分）如图，O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，O 边AB，BC 都相切，点 E，F 分别在边 AD，DC 上现将DEF 沿着 EF 对折，折痕 EF 与O 相切，此时点 D 恰好落在圆心 O 处若 DE2，则正方形 ABCD 的边长是( )A3 B4 C D22【答案】C学优中考网 4. （2011 浙江丽水，10，3 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） xy110BCAA点(0，3) B点 (2，3) C点(5，1) D点(6 ，1)【
14、答案】C5. （2011 浙江金华，10，3 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）xy110BCAA点（0， 3） B点（2，3） C点（5，1） D点(6，1)【答案】C6. （2011 山东日照，11，4 分）已知 ACBC 于 C，BC=a，CA= b，AB =c，下列选项中O的半径为 的是（ ）ba【答案】C7. （2011 湖北鄂州，13，3 分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则PCA=（ ）A30 B45 C60 D67.5CDA OPB第 13
15、 题图【答案】D21 世纪教育网8. (2011 浙江湖州，9，3) 如图，已知 AB 是O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，BCOB，CE 是O 的切线，切点为 D，过点 A 作 AECE，垂足为 E，则 CD：DE 的值是A B1 C2 D3 12【答案】C9. （ 2011 台湾 全区，33）如图(十五)， 为圆 O 的直径，在圆 O 上取异于 A、B 的一点ABC，并连接 、B若想在 上取一点 P，使得 P 与直线 BC 的距离等于 长，判断下列四个作法何A AP者正确？A作 的中垂线，交 于 P 点 CABB作ACB 的角平分线，交 于 P 点C作ABC 的角平分线，交 于 D
16、点，过 D 作直线 BC 的并行线，交 于 P 点CABD过 A 作圆 O 的切线，交直线 BC 于 D 点，作ADC 的角平分线，交 于 P 点【答案】10 （2011 甘肃兰州，3，4 分）如图，AB 是O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切O 于点 C，若A=25，则D 等于A20 B30 C40 D50ABD OC【答案】C11. （2011 四川成都，10,3 分）已知O 的面积为 ，若点 0 到直线 的距离为 ，29cmlcm学优中考网 则直线 与O 的位置关系是 Cl(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定【答案】C12. (2011 重庆綦江，7，4 分
17、) 如图,PA 、 PB 是O 的切线，切点是 A、 B，已知P60，OA3，那么AOB 所对弧的长度为（ ） A6 B 5 C3 D2【答案】：D13. （2011 湖北黄冈，13，3 分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则PCA=（ ）A30 B45 C60 D67.5CDA OPB第 13 题图【答案】D14. （2011 山东东营，12，3 分）如图，直线 与 x 轴、y 分别相交与 A、B 两3y点，圆心 P 的坐标为（ 1，0） ，圆 P 与 y 轴相切与点 O。若将圆 P 沿 x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标
18、为整数的点 P的个数是（ ）A2 B3 C4 D 5【答案】B15. （2011 浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系 xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4 为半径的圆（ ）A与 x 轴相交，与 y 轴相切 B与 x 轴相离，与 y 轴相交C与 x 轴相切，与 y 轴相交 D与 x 轴相切，与 y 轴相离【答案】C16. （2011 山东枣庄，7，3 分）如图， 是 的切线，切点为PAOA，PA=2 ,APO =30，则 的半径为（ ）3OOPAA.1 B. C.2 D.43【答案】C二、填空题1. （2011 广东东莞，9，4 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点，连
19、结 BC.若A 40，则C 【答案】 0252. （2011 四川南充市，13，3 分）如图，PA，PB 是O 是切线，A，B 为切点， AC 是O 的直径，若BAC=25，则P= _度 . POC BA【答案】503. （2011 浙江衢州，16,4 分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 .用角尺的较短r边紧靠 ，并使较长边与 相切于点 .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点 ，较OAOACB短边 .若读得 长为 ，则用含 的代数式表示 为 . 8cmBBcmaar学优中考网 第 16 题图（第 16 题）ABOC【答案】当 时， ；当08ara.2 21184.08,;466arra时
20、 ， 或 当 当4. (2011 浙江绍兴， 16，5 分) 如图，相距 2cm 的两个点 在在线 上，它们分别以 2 ,ABlcm/s 和 1 cm/s 的速度在 上同时向右平移，当点 分别平移到点 的位置时，半径为l ,11 cm 的 与半径为 的 相切，则点 平移到点 的所用时间为 s. A1BA1lAB【答案】 13或5. （2011 江苏苏州，16,3 分）如图，已知 AB 是O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使得AC=3BC，CD 与O 相切，切点为 D.若 CD= ，则线段 BC 的长度等于_.来源:3学优中考网 xyzkw【答案】16. （2011 江苏宿迁,17,3 分
21、）如图，从O 外一点 A 引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO 并延长交圆于点 C，连接 BC若A26，则ACB 的度数为 【答案】327. （ 2011 山东济宁， 13， 3 分）如图，在 Rt ABC 中， C=90， A=60，BC=4cm ，以点 C 为圆心，以 3cm 长为半径作圆，则 C 与 AB 的位置关系是 C BA第 13 题【答案】相交8. （2011 广东汕头，9，4 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点，连结 BC.若A 40，则C 【答案】 0259. （2011 山东威海，17，3 分）如图，将一个量角器与一张等腰直角三角形（ ABC
22、）纸片放置成轴对称图形，ACB=90 ,CDAB,垂足为 D，半圆（量角器）的圆心与点 D 重合，没得 CE5cm ，将量角器沿 DC 方向平移 2cm，半圆（量角器）恰与ABC 的边 AC、BC 相切，如图，则 AB 的长为 cm.（精确到 0.1cm）图 （第 17 题） 图来源:学优中考网 xyzkw【答案】 24.510 （2011 四川宜宾,11,3 分）如图，PA、PB 是O 的切线， A、B 为切点，AC 是O 的直径，P=40，则BAC=_ （第 11 题图）学优中考网 【答案】2011. （2010 湖北孝感，18，3 分）如图，直径分别为 CD、CE 的两个半圆相切于点 C
23、，大半圆 M 的弦 AB 与小半圆 N 相切于点 F，且 ABCD，AB=4，设 、 的长分别为 x、y，线ACDE段 ED 的长为 z，则 z（x+y）= .【答案】812. （2011 广东省，9，4 分）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点，连结BC.若A40，则C 【答案】 025三、解答题1. （2011 浙江义乌， 21，8 分）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E. O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F，且 AD=3，cos BCD= .（1）求证：CDBF；（2）求O 的半径；（3）求弦 CD 的长. FMADOECO
24、CB【答案】 （1）BF 是O 的切线 ABBF ABCD CDBF（2）连结 BD AB 是直径 ADB=90 BCD=BAD cosBCD= 43cosBAD= 43ABD又AD=3 AB =4O 的半径为 2FADEOCB（3）cosDAE = AD=3AE= 43A49ED= 792CD=2ED=2. （2011 浙江省舟山，22，10 分）如图，ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AB 于点D，ACD= ABC（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点 E 是 BC 上一点，已知 BE=6，tanABC = ，tanAEC = ，求圆的直径3235（第 22 题）ABCED【答案】 （
25、1）BC 是直径， BDC=90， ABC+ DCB=90，ACD=ABC， ACD+ DCB=90，BC CA，CA 是圆的切线(2)在 RtAEC 中，tan AEC= ， , ;53ACE35A在 Rt ABC 中，tan ABC= ， , ;2B2BC-EC=BE ，BE =6， ,解得 AC= ,6503BC= 即圆的直径为 10.3201学优中考网 3. （2011 安徽芜湖，23， 12 分）如图，已知直线 交O 于 A、B 两点，AE 是OP的直径,点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE，过 C 作 ，垂足为 D.(1) 求证：CD 为O 的切线；(2) 若 DC+DA=6
26、，O 的直径为 10，求 AB 的长度.【答案】（1）证明：连接 OC， 1 分因为点 C 在O 上，OA=OC，所以 因为 ，所以 ，.OCACDPA90C有 .因为 AC 平分PAE，所以 3 分90AD .O所以 4 分D又因为点 C 在O 上，OC 为O 的半径，所以 CD 为O 的切线. 5 分（2）解:过 O 作 ，垂足为 F，所以 ，FB90CDAF所以四边形 OCDF 为矩形，所以 7 分,.因为 DC+DA=6，设 ,则ADx6x因为O 的直径为 10，所以 ，所以 .21 世5O5纪教育网在 中，由勾股定理知RtF 22.FA即 化简得 ，22565.x180x解得 或 x
27、=9. 9 分由 ，知 ，故 . 10 分AD0x2从而 AD=2， 11 分3.F因为 ，由垂径定理知 F 为 AB 的中点，所以 12 分OB26.ABF4. （2011 山东滨州，22，8 分）如图，直线 PM 切O 于点 M,直线 PO 交O 于 A、B 两点，弦 ACPM, 连接 OM、BC.求证：（1）ABCPOM;(2)2OA2=OPBC.（第 22 题图）PMOCB A【答案】证明：（1）直线 PM 切O 于点 M，PMO=901 分弦 AB 是直径，ACB=902 分ACB=PMO3 分ACPM, CAB=P 4 分ABCPOM5 分(2) ABCPOM, 6 分ABCPOM
28、又 AB=2OA,OA=OM, 7 分22OA 2=OPBC8 分5. （2011 山东菏泽，18，10 分）如图，BD 为O 的直径，AB=AC ，AD 交 BC 于点E，AE=2，ED=4，(1)求证：ABEADB；(2)求 AB 的长；(3)延长 DB 到 F，使得 BF=BO，连接 FA，试判断直线 FA 与O 的位置关系，并说明理由 FDOCEBA解：(1)证明：AB=AC ，ABC=C，C=D， ABC=D，又BAE = EAB， ABEADB ， (2) ABE ADB， ，ABE学优中考网 AB 2=ADAE=(AEED)AE=(24)2=12AB= 3(3) 直线 FA 与O
29、 相切，理由如下：连接 OA，BD 为O 的直径，BAD=90， ，2 21(4)3BDABF=BO= ，3AB= ，BF=BO=AB，可证OAF=90，2直线 FA 与O 相切6. （2011 山东日照，21，9 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，CD 是O 的切线，C为切点，ADCD 于点 D求证：（1）AOC=2ACD；（2）AC 2AB AD【答案】证明：（1）CD 是O 的切线，OCD =90， 即ACD+ ACO=90 OC=OA，ACO=CAO，AOC=180-2ACO ，即 AOC +ACO=90 . 由，得：ACD-21AOC=0 ，即 AOC =2 ACD；2（2）
30、如图，连接 BCAB 是直径，ACB =90在 Rt ACD 与RtACD 中，AOC=2 B，B =ACD，ACDABC， ，即 AC2=ABAD ACD7. （2011 浙江温州，20 ，8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，过点 B 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F已知 OA3，AE 2，(1)求 CD 的长；(2)求 BF 的长【答案】解：(1)连结 OC，在 Rt OCE 中， 2912CEOCDAB， 342CDE(2) BF 是O 的切线，FBAB，CEFB，ACE AFB， ， ，CEABF26 62来源:学优中考网 xyzkw8. （2011 浙江
31、省嘉兴，22，12 分）如图，ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AB 于点D，ACD= ABC（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点 E 是 BC 上一点，已知 BE=6，tanABC = ，tanAEC = ，求圆的直径3235（第 22 题）ABCED学优中考网 【答案】 （1）BC 是直径， BDC=90， ABC+ DCB=90，ACD=ABC， ACD+ DCB=90，BC CA，CA 是圆的切线(2)在 RtAEC 中，tan AEC= ， , ;53ACE35A在 Rt ABC 中，tan ABC= ， , ;2B2BC-EC=BE ，BE =6， ,解得 AC= ,6503
32、BC= 即圆的直径为 10.32019. （2011 广东株洲，22，8 分）如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线， AC 交O 于点E，D 为 AC 上一点，AOD=C（1）求证：ODAC；（2）若 AE=8， ，求 OD 的长3tan4A【答案】 （1）证明：BC 是O 的切线，AB 为O 的直径ABC=90，A+C=90，又AOD=C， AOD+A=90，ADO=90，ODAC. （2）解：ODAE，O 为圆心，D 为 AE 中点 ， ，1AD=E4又 ， OD=3.3tan10 （2011 山东济宁，20，7 分）如图，AB 是 O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DE
33、切 O 于点 E，交 AM 于点 D，交 BN 于点 C，F 是 CD 的中点，连接 OF，（1）求证：OD BE；（2）猜想：OF 与 CD 有何数量关系？并说明理由【答案】 （1）证明：连接 OE，AM 、 DE 是 O 的切线， OA、 OE 是 O 的半径， ADO= EDO， DAO= DEO=90， AOD= EOD= AOE， 12 ABE= AOE， AOD= ABE，OD BE （2）OF= CD，1理由：连接 OC，BC 、 CE 是 O 的切线， OCB= OCE AM BN， ADO+ EDO+ OCB+ OCE=180由（1）得 ADO= EDO，2 EDO+2 OC
34、E=180，即 EDO+ OCE=90在 Rt DOC 中，F 是 DC 的中点，OF= CD 11. （2011 山东聊城，23，8 分）如图，AB 是半圆的直径，点 O 是圆心，点 C 是 OA 的中点，CDOA 交半圆于点 D，点 E 是 的中点，连接 OD、AE，过点 D 作 DPAE 交 BAAB的延长线于点 P，（1）求AOD 的度数；（2）求证：PD 是半圆 O 的切线；【答案】 （1）点 C 是 OA 的中点，OC OA OD，CD OA，OCD90 ，在 RtOCD 中，cosCOD 2，COD60，即AOD 60，ODC（2）证明：连接 OC，点 E 是 BD 弧的中点，D
35、E 弧BE 弧，学优中考网 BOEDOE DOB (180COD)60，OAOE，EAOAEO，21又EAOAEOEOB 60，EAO30 ，P DAE，PEAO30，由（1）知AOD60，PDO180(P POD)180(30 60)90，PD 是圆O 的切线12. （2011 山东潍坊，23，11 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，AB=2.射线 AM、BN 为半圆的切线.在 AM 上取一点 D，连接 BD 交半圆于点 C，连接 AC.过 O 点作 BC 的垂线 OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F.过 D 点做半圆的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点 Q.（1）求证：AB
36、C OFB；（2）当 ABD 与BFO 的面积相等时，求 BQ 的长；（3）求证：当 D 在 AM 上移动时（A 点除外） ，点 Q 始终是线段 BF 的中点.21 世纪教育网【解】 （1）证明：AB 为直径，ACB=90 ，即 ACBC.又OEBC，OE/AC，BAC=FOB.BN 是半圆的切线，故BCA=OBF=90.ACBOBF.（2）由ACBOBF，得OFB=DBA，DAB=OBF=90，ABDBFO，当ABD 与BFO 的面积相等时，ABD BFO.AD=BO= AB =1.1DAAB，DA 为O 的切线.连接 OP，DP 是半圆 O 的切线，DA=DP=1，DA=AO=OP=DP=
37、1，四边形 ADPO 为正方形.DP/AB，四边形 DABQ 为矩形.BQ= AD=1.（3）由（2）知，ABDBFO， ， .BFAOD2DPQ 是半圆 O 的切线，AD=DP ，QB=QP .过点 Q 作 AM 的垂线 QK，垂足为 K，在 RtDQK 中， ，22DQK ，22ADBQ ，BF=2BQ， Q 为 BF 的中点.113. （2011 四川广安，29，10 分）如图 8 所示P 是 O 外一点PA 是 O 的切线A 是切点B 是 O 上一点且 PA=PB，连接 AO、BO、AB，并延长 BO 与切线 PA 相交于点Q（1）求证：PB 是 O 的切线；（2）求证： AQPQ=
38、OQBQ； （3）设AOQ= 若 cos = OQ= 15求 AB 的长45_Q_P_O_B_A图 8【答案】 （1）证明：如图，连结 OPPA=PB，AO=BO ，PO=POAPOBPO PBO= PAO= 90PB 是 O 的切线（2）证明：OAQ= PBQ=90QPB QOA 即 AQPQ= OQBQPQBOA（3）解：cos = = AO =1245QPB QOA BPQ=AOQ=tanBPQ= = PB=36 PO=12BQP3410学优中考网 ABPO= OBBP AB=1236105_Q_P_O_B_A图 814. （2011 江苏淮安，25，10 分）如图，AD 是O 的弦，
39、AB 经过圆心 O，交O 于点C，DAB=B=30.(1)直线 BD 是否与 O 相切？为什么？(2)连接 CD，若 CD=5，求 AB 的长. CO BAD【答案】(1)答：直线 BD 与 O 相切.理由如下：如图，连接 OD，ODA=DAB=B=30，ODB=180-ODA-DAB-B= 180-30-30-30=90，即 ODBD ，直线 BD 与O 相切.(2)解：由（1）知，ODA= DAB=30 ，DOB=ODA+DAB= 60，又OC=OD，DOB 是等边三角形，OA=OD=CD=5.又B=30，ODB=30，OB=2OD=10.AB=OA+OB= 5+10=15.15. （20
40、11 江苏南通，22，8 分） （本小题满分 8 分）如图，AM 为O 的切线，A 为切点，BDAM 于点 D，BD 交O 于 C，OC 平分AOB .求B 的度数.【答案】60.16. （2011 四川绵阳 22，12 ）如图，在梯形 ABCD 中，AB/ CD，BAD=90，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切.(1)求证：OB 丄 OC;(2)若 AD= 12， BCD=60 ， O 1 与半O 外切，并与 BC、CD 相切，求O 1 的面积.【答案】 （1）证明：连接 OF,在梯形 ABCD，在直角AOB 和直角AOB F 中学优中考网 AO=FOOB=OB)AOBAOB（HL
41、）同理CODCOF,BOC=90，即 OBOCF(2) 过点做 O1G,O1H 垂直 DC,DA,DOB=60 ，DCO=BCO=30，设 O1G=x,又AD=12,OD=6，DC=6 ,OC=12,CG= x, O1C =6-x,根据勾股定理可知 O1G+GC=O1C3 3x+3x=（6-x） (x-2)(x+6)=0,x=2FGH17. （ 2011 四川乐山 24，10 分）如图，D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且ACDA=CBD.(1)求证:CD 是O 的切线;(2)过点 B 作 O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若 BC=6,tanCDA= ,求 BE 的长A 23【答案】证明：连接 ODOA=ODADO=OADAB 为O 的直径，ADO+BDO=90在 RtABD 中，ABD+BAD=90CDA=CBDCDA+ADO=90ODCE即 CE 为O 的切线 21 世纪教育网18. （2011 四川凉山州，27，8 分）如图，已知 ，以 为直径， 为圆心的半圆ABC O交 于点 ，点 为 的中
