1、（备战中考）江苏省 2012 年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试） 等腰三角形考点聚焦1等腰三角形的判定与性质2等边三角形的判定与性质3运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题备考后法1运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论2要正确辨析等腰三角形的判定与性质3能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题识记巩固1等腰三角形的性质定理及推论：_2等腰三角形的判定定理及推论：_识记巩固参考答案:1等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底
2、边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于 60. 2如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.典例解析例 1 （2011 浙江衢州，23,10 分）是一张等腰直角三角形纸板， .ABCRt2CABC，要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. 学优中考网 （第 23 题）（第 23 题图1）PNDFEBAC CABQM图
3、1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的1S中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这ADE和两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的2S2=S方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 (如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪取时， . 3 10S求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如图乙，,1CFDEAEDC正 方 形即设 ，则由题意，得MNxMQPNBMx232,38()9PNMQS正
4、方 形 解 得又 819甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 的中点，ABC、 、12ABCCFDESS正 方 形解法 2：如图甲，由题意得 ， 即 =1如图乙，设 ,MNxMQPNBMx则 由 题 意 得232,31,xEC解 得又 即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2) 21S(3) 109(3)解法 1：探索规律可知： 12nS剩余三角形的面积和为： 110 911242S 解法 2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为 12=第二次剪取后剩余三角形面积和为 2SS第三次剪取后剩余三角形面积和为 233421 世纪教育网第十次剪取后剩余三
5、角形面积和为 例9109=2S2 如图，ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 上的点AD 平分BAC；DEAB，DFAC；ADEF以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：；（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题解析 （1） 正确； 错误； 正确（2）先证 ，如图 1AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，AED=AFD=90在 RtAED 和 RtAFD 中，,DEFAAEDAFD（HL）AE=AF学优中考网 AEF 是等腰三角形，ADEF再证 图 1 图 2 图 3方法一：如图 2，DEAB，EFAD，DFAC来源:学优中考网
6、 xyzkw易证DEHDAE，DFHDAF ，,DEHFAADDE 2=ADDH，DF 2=DHADDE 2=DF2，DE=DF，AD 平分BAC 方法二：如图 3，取 AD 的中点 O，连结 EO，FODEAB，DFAC，OE，OF 分别是 RtADE，RtADF 斜边上的中线OE= AD，OF= AD12即 O 点到 A，E，D，F 的距离相等A，E，D，F 四点在以 O 为圆心， AD 为半径的圆上，AD 是直径，EF 是O 的弦，12而 EFAD，AD 平分 ，即 AEDFDAE=DAF，即 AD 平分BAC点评 本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第 111页拓广探
7、索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第 150页第 13 题，第 158 页第 11 题因此，在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式，与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等这样可以不断提高自己的综合解题能力2011 年真题一、选择题1. （2011 浙江省舟山，7，3 分）如图，边长为 4 的等边 ABC 中， DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）23336（第 7 题）BCDE【答案】B2. （2011 四川南充市，10，3 分）如图，ABC 和CDE
8、均为等腰直角三角形，点 B,C,D在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：tanAEC= ;S ABC +SCDE S ACE CDB;BMDM;BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 MEDCBA【答案】D3. （2011 浙江义乌，10，3 分）如图， ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形， BAC= DAE=90， 四边形 ACDE 是平行四边形，连结 CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交 CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： CE=BD； ADC 是等腰直角三角形； ADB= AEB； CDAE=EFCG；一定正确
9、的结论有ABCDEFG学优中考网 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D4. （2011 台湾全区，30）如图(十三)， ABC 中，以 B 为圆心， 长为半径画弧，分别C交 、C于 D、 E 两点，并连接 、 若 A=30， ，则 BDE 的度数为何？BDEA 45 B 525 C 675 D 75【答案】5. （2011 台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形 ABC、 DEF，且 D、 A 分别为ABC、 DEF的重心固定 D 点，将 DEF 逆时针旋转，使得 A 落在 上，如图(十七)所示求图(十E六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A2：1 B 3
10、：2 C 4：3 D 5：4【答案】6. （2011 山东济宁，3，3 分）如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm，那么此三角形的周长是A15cm B16cm C17cm D16cm 或 17cm【答案】D7. （2011 四川凉山州， 8， 4 分）如图，在 中， ， ，点AC 130BC为 的中点， ，垂足为点 ，则 等于（ ） DBEDEA B C D 10356013751321 世纪教育网【答案】C8. 二、填空题1. （2011 山东滨州，15，4 分）边长为 6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为_.【答案】 cm32. （2011 山东烟台，14,4 分）等腰
11、三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底边为 .【答案】4 或 6来源:21 世纪教育网3. （2011 浙江杭州，16，4）在等腰 Rt ABC 中， C=90， AC1，过点 C 作直线l AB， F 是 l 上的一点，且 AB AF，则点 F 到直线 BC 的距离为 【答案】 312或4. （2011 浙江台州，14,5 分）已知等边ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,BC 上，把BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在点 B处，DB,EB分别交边 AC 于点 F，G，若ADF=80 ，则EGC 的度数为 【答案】805. （2011 浙江省嘉兴，14，5 分）如图，在
12、ABC 中， AB=AC， ，则 ABC 的外40A角 BCD （第 14 题）ABCD【答案】1106. （2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50，则A=_。学优中考网 【答案】80。提示：A=180-250=80。7. （2011 山东济宁，15，3 分）如图，等边三角形 ABC 中， D、 E 分别为 AB、BC 边上的两个动点，且总使 AD=BE， AE 与 CD 交于点 F， AG CD 于点 G，则 FA GFEC BA第 15 题D【答案】 128. （2011 湖南怀化，13，3 分）如图 6，在ABC 中，AB=AC，BAC 的角
13、平分线交 BC 边于点 D，AB=5，BC=6，则 AD=_.【答案】49. （2011 四川乐山 16，3 分）如图，已知AOB= ，在射线 OA、OB 上分别取点 OA =OB1，连结 A B ，在 B A 、B B 上分别取点 A 、B ，使 B B = B A ，连结 A B 按111212122此规律上去，记A B B = ， ，2213n+n则 = ； = 。1n【答案】 2180n218010（2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50，则A=_。【答案】80。11. （2011 贵州贵阳，15，4 分）如图，已知等腰 Rt ABC 的直
14、角边长为 1，以 Rt ABC的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推直到第五个等腰 Rt AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_（第 15 题图）【答案】31212. （2011 广东茂名，14，3 分）如图，已知 ABC 是等边三角形，点 B、 C、 D、 E 在同一直线上，且 CG CD， DF DE，则 E 度【答案】15 学优中考网 三、解答题1. （2011 广东东莞，21，9 分）如图（1）， ABC 与 EFD 为等腰直角三角形， AC 与 DE重合， AB=EF=9，
15、BAC DEF90，固定 ABC，将 EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、 DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、 H 点，如图（2）.（1）问：始终与 AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设 CG x， BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（3）问：当 x 为何值时， AGH 是等腰三角形？【解】（1）HGA 及HAB；（2）由（1）可知AGCHAB ，即 ，CGABH9xy所以， 8yx（3）当 CG 时，GAC=HHAC，ACCH12AGAC，AGG
16、H又 AHAG，AHGH此时，AGH 不可能是等腰三角形；当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC此时，GC= ，即 x=92当 CG 时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9综上，当 x=9 或 时，AGH 是等腰三角形922. （2011 山东德州 19,8 分）如图 AB=AC， CD AB 于 D， BE AC 于 E， BE 与 CD 相交于点O（1）求证 AD=AE；(2) 连接 OA， BC，试判断直线 OA， BC 的关系并说明理由AB CEDO【
17、答案】（1）证明：在 ACD 与 ABE 中， A= A， ADC= AEB=90， AB=AC， ACD ABE 3 分 AD=AE 4 分(2) 互相垂直 5 分在 RtADO 与 AEO 中，OA=OA， AD=AE， ADO AEO 6 分 DAO= EAO即 OA 是 BAC 的平分线 7 分 又 AB=AC， OA BC 8 分3. （2011 山东日照，23，10 分）如图，已知点 D 为等腰直角 ABC 内一点， CAD CBD15， E 为 AD 延长线上的一点，且 CE CA（1）求证： DE 平分 BDC；（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证： ME=BD【
18、答案】（1）在等腰直角 ABC 中， CAD= CBD=15o， BAD= ABD=45o-15o=30o， BD=AD， BDC ADC， ABECDO学优中考网 DCA= DCB=45o由 BDM= ABD+ BAD=30o+30o=60o， EDC= DAC+ DCA=15o+45o=60o， BDM= EDC， DE 平分 BDC； （2）如图，连接 MC， DC=DM，且 MDC=60， MDC 是等边三角形，即 CM=CD 来源:21 世纪教育网又 EMC=180- DMC=180-60=120， ADC=180- MDC=180-60=120， EMC= ADC 又 CE=CA
19、， DAC= CEM=15， ADC EMC， ME=AD=DB 4. （ 2011 湖北鄂州， 18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长第 18 题图BAEDF C【答案】连结 BD，证BEDCFD 和AEDBFD，求得 EF=55. （2011 浙江衢州，23,10 分） 是一张等腰直角三角形纸板，ABC.Rt2CAB，要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.
20、（第 23 题）（第 23 题图1）PNDFEBAC CABQM图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的1S中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这ADEBF和两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的2S2=S方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 (如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪取时， . 3 10S求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如图乙，,1CFDEAEDC正 方 形
21、即设 ，则由题意，得MNxMQPNBMx232,38()9PNMQS正 方 形 解 得又 819甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 的中点，ABC、 、12ABCCFDESS正 方 形解法 2：如图甲，由题意得 ， 即 =1如图乙，设 ,MNxMQPNBMx则 由 题 意 得232,31,xEC解 得又 即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2) 2S(3) 109(3)解法 1：探索规律可知： 12nS剩余三角形的面积和为： 110 911242S 解法 2：由题意可知，学优中考网 第一次剪取后剩余三角形面积和为 21 世纪教育网12=S第二次剪取后
22、剩余三角形面积和为 2S第三次剪取后剩余三角形面积和为 2334第十次剪取后剩余三角形面积和为 9109=2S6. (2011 浙江绍兴，23，12 分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目. 三三ABC三E三AB三DCB D=C，.AED三. EABCD小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 为 的中点时，如图 1，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论：EABAE（填“”,“”,“b=c），那么 a2b 2c 2=211若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为等腰直角三角形。A、1 个 B、2 个 C、3
23、个 D、4 个答案：A2、（11 年青岛二中）如图，等边 AB 的边长为 3， P为 BC上一点，且 1P，D为 C上一点，若 60PD，则 的长为（ ）A 3B 23C 1D 4答案：B3、（2011 杭州模拟）如图，在ABC 中，ACBC，CD 是 AB 边上的高线，且有 2CD=3AB，又 E，F 为 CD 的三等分点，则ACB 和AEB 之和为： ( )A45 B90 C 60 D75答案：B4.(浙 江 省 杭 州 市 党 山 镇 中 2011 年 中 考 数 学 模 拟 试 卷)若等腰三角形中有一个角等于 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A 50B 8C 65或 D 50
24、或 821 世纪教育网答案：DMDOCBAEB 组1. （2011 深圳市全真中考模拟一）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30。，则顶角的度数为(A)60 (B)120 (C)60 或 150 (D)60 或 120答案:D2.（浙江杭州进化 2011 一模）如图，ABC 内接于O，其外角平分线 AD 交O 于 DMAC于 M，下列结论：DB=DC；AC-AB=2AM；AC+AB=2CM； =2 其中正确的有SABDCB( )A只有 B只有 C只有 D答案: B21 世纪教育网3、 （2011 年杭州模拟 17）如图，在等边 ABC 中， D 为 BC 边上一点， E 为 AC 边上一点
25、，且 ADE=60， BD=3， CE=2，则 ABC 的面积为（2010 沈阳中考第 8 题改编） A. 81 B . 81 2 C. 81 4 D. 81 8 333答案：C二、填空题1、（2011 年北京四中四模）如图，以 A、B 两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_个.答案：22、（2011 北京四中模拟 6）用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出下列图形 21 世纪教育网.答案 平行四边形，正方形，等腰直角三角形；3、(2011 浙江杭州模拟 15)如图，将含 30角的直角三角尺 ABC 绕点 B 顺时针旋转 150ADCPB（第 1 题图）60AB CDE学优中考
26、网 后得到EBD，连结 CD.若 AB=4cm. 则BCD 的面积为 答案： 23cm4、(2011 浙江杭州模拟 15)如图ABC 中，ACB90，BC6 cm，AC8cm，动点 P 从A 出发，以 2 cm / s 的速度沿 AB 移动到 B，则点 P 出发 s 时，BCP为等腰三角形 答案： 2，25，14 5. （2011 年江苏盐城）已知 ABC 中， AB AC， B70 ，则 C 的大小为 答案 706、（2 011 年 浙 江 省 杭 州 市 模 拟 ）等腰 两边的长分别是一元二次方程ABC的两个解，则这个等腰三角形的周长是 5x答案：7,9 B 组1. （2011 深圳市中考
27、模拟五）等腰三角形的腰长为 2，腰上的高为 1，则它的底角等于 答案: 15或 752（ 2011 年杭州三月月考）若一边长为 40的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 (铁丝粗细忽略不计)答案： 30PC BAA DFCBE（第 4 题）图）AB CD EO第 5 题3、（北京四中 2011 中考模拟 13）用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出下列图形 .答案：平行四边形，正方形，等腰直角三角形；4（2011 年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为 4 的正方形塑料摸板 ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点ABCD落在 点，两条直角边分别与 交于
28、点 ，与 延长线FCB交于点 则四边形 的面积是 E答案：165. （2011 年浙江省杭州市模 2） 如图，在半圆 O 中，直径 AE=10，四边形 ABCD 是平行四边形，且顶点A、B、C 在半圆上，点 D 在直径 AE 上，连接 CE，若AD=8，则 CE 长为 答案： 10三、解答题A 组1、（北京四中模拟 7）已知：如图，在 ABC 中，C=90 ，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，垂足为 E.若 A=30，DE=2，求 DBC 的度数和 CD 的长.答案 22、(2011 浙江杭州模拟 15)如图（1）矩形纸片，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？（1）在图（2）中用实线画出
29、折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出其中一种情况）（2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。AD CB（1） AD CB（2）FCAE第 2 题图G学优中考网 答案：（1）图略 （4 分）（2）等腰三角形 （1 分）BDECBFACBDF是 沿 折 叠 而 成是 矩 形重 叠 部 分 ， 即 是 等 腰 三 角 形（2 分）3（2011 年重庆江津区七校联考）已知、分别是ABC 的三边，其中1，4，且关于 x 的方程 042bx有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状.答案：关于 x 的方程 042bx有两个相等的实数根 )( b 4c ABC 是等腰三角形. 等腰三角形一
30、、选择题1（2010 年黑龙江一模）如图，在等腰 ABC 中， ABC=1200，点 P 是底边 AC 上一个动点， M、 N 分别是 AB、 BC 的中点，乙ODCBA若 PM PN 的最小值为 2，则 ABC 的周长是（ ）A2 B 3C 4D 324 来源:21 世纪教育网来源:xyzkw.Com答案：D2.（2010 年广州市中考七模）、已知等腰三角形的一个内角是 30，那么这个等腰三角形顶角的度数是（ ）A. B. 120 C. D.30或21 世纪教育网答案：D3.（2010 北京市朝阳区模拟）某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm，则它的周长为（ ）A9cm B12cm
31、 C15cm D12cm 或 15cm答案：C4.（2010 年河南中考模拟题 6）一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=50cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，要使桌面 a 距离地面 m 为 40cm 高，则两条桌腿需要叉开的角度AOB 为（ ）A120 0 B150 0 C60 0 D90 0答案：A二、填空题1(2010 年江西省统一考试样卷)如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，若拼成下列四边形：平行四边形；梯形；矩形；菱形；正方形，则可以拼成的四边形序号是 答案：2、（2010 年河南中考模拟题 3） 如图，有一底角为 35的等腰三角形纸片，现过底边上一
32、点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 。答案：125 0甲学优中考网 三、解答题1（2010 年广州中考数学模拟试题(四)）如图，RtABC 中，C90，AC4，BC3，以ABC 的一边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在ABC 的其它边上请在图、图、图中分别画出一个符合条件的等腰三角形，且三个图形中的等腰三角形各不相同，并在图下方的横线上写明所画等腰三角形的腰和腰长(不要求尺规作图)答案：来源:xyzkw.Com画图并且指明腰的每个 1 分，写出腰长的每个 1 分，只画图的不给分.BCDBC=BD=3ABC(第 1 题图)图 图 图ABCABCAABCBC=CD=3DABCABCABCABCBD=CD=2.5 AD=CD=2.5AC=AD=4 AD=BD=25/8D DD D
