1、第十一讲 平面向量的数量积一、知识回顾知识点 1：定义：两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 cos 叫做abab与 的数量积（或内积） ，记作： ，即： = cos （“ ”中间的ab abb“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 零向量与任何向量的数量积为零） 。的范围0 90 =90 0 180 的符号知识点 2：向量投影的概念：如图，把 cos （ cos ）叫做向量 在 方向上baba（ 在 方向上）的投影，记做：OB 1= cos 。数量积的几何意义：ab数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 cos 的乘积。aab知识点 3：数量积的性质：设 和 b 都是非零向
2、量，则知识点 4：数量积的运算律：例 2、 （已知 =6， =4, 与 的夹角为 60，求（ +2 ）（ -3 ） ，abaabab变式：（1）( + )2= 2+2 + 2 （2）( + )( - )= 2 2b知识点 5：设两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ， ，),(),1yxyx则： baa cos b二、典型例题例 1、已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角是 60时，分别ababaAbcosB1BO1、 =0 2、 ababb3、当 与 同向时， = ；当 与 反向时，ab = - ， 特别地， = 2或 =a已知向量 、 、 和实数 ，则：c（1） = （2） （ ） =（ )= （
3、 ）b（3） （ + ） = + cc求 。ab例 2、 在 ABC 中， =(2， 3)， =(1， k)，且 ABC 的一个内角为直角，求 k 值。ABC变式：已知， (1,2)(3,)ab与当 k 为何值时， （1） 3kab与垂直？（2） k与平行吗？平行时它们是同向还是反向？变式：已知向量 a=(-2,-1),b=(,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则 取值范围是多少?例 3、与 a=,4平行的单位向量是_变式：与 垂直的单位向量是_三、课堂练习1、已知| |=5， | |=4， 与 的夹角 =120o， = .baab2.已知| |=2，| |=1， 与 之间的夹角为 ，那么向量
4、 m= -4 的模为 .a33.已知 + =2i-8j， - =-8i+16j，其中 i、j 是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么 = .ab4.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为 ，求向量 =2m+n 与 =2n-3m 的夹角.ab5.已知| |=1，| |= ，(1)若 ，求 ；(2) 若 、 的夹角为，求| + |；ab2ab ab(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角.四、总结提升1、 = cosabb2、a=(x 1,y1),b(x2,y2)，则 ab=(x1,y1)(x2,y2) =x1x2+y1y。五、课后作业1、设 a=(2,1),b=(1,3),求 ab 及 a 与 b 的夹角2.a=(2,3)b-,5则与方向上的投影为_3.已知 、c 与 、 的夹角均为 60，且| |=1，| |=2，|c|=3，则( +2 -c) _ .aabab4、已知 A（1，2） ，B(4,-1),问在 y 轴上找点 C，使ABC90，若能求 C 坐标；若不能，说明理由。
