1、第 4课时 圆和圆的位置关系1.理解圆与圆的位置的种类 .2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长(圆心距) .3.会用连心线长判断两圆的位置关系 .重点:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系 .难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系 .古时候,人们不懂得月食发生的科学道理,像害怕日食一样,对月食也心怀恐惧 .外国有人传说,16 世纪初,哥伦布航海到了南美洲的牙买加,与当地的土著人发生了冲突 .哥伦布和他的水手被困在一个墙角,断粮断水,情况十分危急 .懂点天文知识的哥伦布知道这天晚上要发生月全食,就向土著人大喊,“再不拿食物来,就不给你们月光!”到了晚上,哥伦布的话应验了,果然
2、没有了月光 .土著人见状诚惶诚恐,赶快和哥伦布化干戈为玉帛 .你能否从月食过程归纳出圆与圆有哪几种位置关系呢?问题 1:圆与圆的位置关系可分为五种: 相离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 . 判断圆与圆的位置关系常用方法:(1)几何法:设两圆圆心分别为 O1、 O2,半径为 r1、 r2 (r1 r2),则 |O1O2|r1+r2 相离 ;|O1O2|=r1+r2 外切 ;|r1-r2| 0) 的公共弦的长为 2,则 a= . 【解析】 两圆公共弦所在直线方程为( x2+y2+2ay-6)-(x2+y2-4)=0,即 y=,圆心(0,0)到直线的距离为d=|=1,解得 a=1或 a=-
3、1(舍去) .【答案】14.求与已知圆 x2+y2-7y+10=0 相交,公共弦平行于直线 2x-3y-1=0,且过点( -2,3)、(1,4)的圆的方程 .【解析】 公共弦所在直线斜率为,已知圆的圆心为(0,),两圆圆心所在直线的方程为 y-=-x,即 3x+2y-7=0.设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得 所以所求圆的方程为 x2+y2+2x-10y+21=0.圆和圆的位置关系的判定已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.当 m 为何值时,(1)圆 C1 与圆 C2 相外切;( 2)圆 C1与圆 C2 内
4、含 .【方法指导】圆和圆的位置关系,可从交点个数也就是方程组解的个数来判断,也可从圆心距与两圆半径和、差的关系来判断 .【解析】 对于圆 C1与圆 C2的方程,经配方后 C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果 C1与 C2外切,则有 =3+2,即( m+1)2+(m+2)2=25,即 m2+3m-10=0,解得 m=-5或 m=2.(2)如果 C1与 C2内含,则有 3-2,即( m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得 -2m-1.所以,当 m=-5或 m=2时,圆 C1与圆 C2外切;当 -2m-1时,圆 C1与圆 C2内含 .【小结
5、】圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论,通常还是从圆心距与两圆半径和、差的关系入手 .圆和圆的相交弦问题已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 .【方法指导】两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程 .求弦长通常有两种方法:(1)利用弦心距、半径来求解;(2)联立直线与圆的方程,通过解方程组得交点坐标,再用两点间距离公式求解 .【解析】设两圆交点为 A、 B,则 A、 B两点坐标是方程组 的解,两式相减得:3 x-4y+6=0.因为 A、 B两点坐标都满足此方程,所
6、以 3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程 .因为圆 C1的圆心为( -1,3),半径为 3,点 C1到直线 AB的距离为 d=,所以 |AB|=2=2=,所以两圆的公共弦长为 .【小结】求解圆与圆相交弦问题,可结合图形,利用弦心距、半弦之间的关系,充分利用圆的几何性质 .圆与圆相交的连心线问题已知圆 C1:x2+y2-4x-2y-5=0 与圆 C2:x2+y2-6x-y-9=0.(1)求证:这两个圆相交 .(2)求这两个圆公共弦所在的直线方程 .(3)在平面上找一点 P,过 P 点引这两个圆的切线并使它们的长都等于 6.【方法指导】利用这两个圆的连心线长与这两个圆的半径之和、半径之差
7、的绝对值之间的关系进行证明 .求公共弦的方程使用圆系方程 .【解析】(1)圆 C1:(x-2)2+(y-1)2=10,圆 C2:(x-3)2+(y-)2=. 两圆圆心距 |C1C2|=,且 -+, 圆 C1与圆 C2相交 .(2)联立两个圆的方程相减即得这两个圆公共弦所在直线方程为 2x-y+4=0.(3)设 P(x,y),依题意得解方程组得点 P(3,10)或( -,-).【小结】解决直线与圆以及圆与圆的位置关系的相关问题时,一定要根据图形进行适当的联想,根据图形间的关系来寻求数量间的关系,从而找到解题思路,这恰好也是新课标所倡导的 .本题有一定的综合性,将位置关系的几个问题综合在一起,求解
8、时要注意数形结合 .已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1)m 取何值时两圆外切?(2)m 取何值时两圆内切?(3)m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 .【解析】 两圆的标准方程分别为( x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为 M(1,3),N(5,6),半径分别为和 .(1)当两圆外切时, =+.解得 m=25+10.(2)当两圆内切时,因定圆的半径小于两圆圆心间距离,故有 -=5.解得 m=25-10.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为( x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2
9、-10x-12y+45)=0,即 4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,得公共弦的长为2 =2.已知圆 O1:x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心坐标为(2,1),且两圆外切,求圆 O2 的方程,并求内公切线的方程 .【解析】 因为两圆圆心坐标分别为(0, -1)、 (2,1),由两圆外切,得|O1O2|=r1+r2=2,所以 r2=2-2,所以圆 O2的方程为( x-2)2+(y-1)2=4(-1)2.两圆方程相减,得 x+y+1-2=0,即为两圆内公切线的方程 .求过圆 C1:x2+y2+6x-4=0 和圆 C2:x2+y2+6y-28=0 的交点,且圆心在直线 x-
10、y-4=0 上的圆的方程 .【解析】(法一)两个圆的圆心分别为( -3,0),(0,-3),所以两个圆的连心线所在直线的方程为 x+y+3=0.由得圆心(, -).利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长 d=,两个已知圆的公共弦所在的直线方程为 x-y+4=0,所以圆半径 r2=()2+2=.故所求圆的方程为( x-)2+(y+)2=,即 x2+y2-x+7y-32=0.(法二)设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+ (x2+y2+6y-28)=0,即 x2+y2+x+y-=0.故此圆的圆心为(,),它在直线 x-y-4=0上,所以 -4=0,解得 =- 7.故所求圆的方程为 x2+
11、y2-x+7y-32=0.1.已知圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2-2ax+a2-1=0 相内切,则 a 等于( ).A.1 B.-1 C.1 D.0【答案】C2.圆 C1:(x-1)2+y2=4 与圆 C2:(x+1)2+(y-3)2=9 相交弦所在直线为 l,则 l 被圆 O:x2+y2=4 截得弦长为( ).A. B.4 C. D.【解析】由圆 C1与圆 C2的方程相减得 l:2x-3y+2=0,圆心 O(0,0)到 l的距离 d=,圆 O的半径 R=2,所以截得弦长为 2=2=.【答案】D3.点 P 在圆 x2+y2-8x-4y+16=0 上,点 Q 在圆 x2+y2+
12、4x+2y-11=0 上,则 |PQ|的最小值为 . 【解析】两圆分别化为标准方程为( x-4)2+(y-2)2=4,(x+2)2+(y+1)2=16,可知两个圆相离,故 |PQ|的最小值等于圆心距减两个圆的半径,即 3-6.【答案】3 -64.已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短距离 .【解析】光线从点 A经 x轴反射到圆周 C的距离即圆上一点 P到点 A关于 x轴的对称点 A(-1,-1)的距离,其最小值为 |AC|-r=10-2=8.(2013 年重庆卷)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 |PM|+|PN|的最小值为( ).A.5-4B.-1C.6-2D. 【解析】 如图,作圆 C1关于 x轴的对称圆 C1:(x-2)2+(y+3)2=1,则 |PM|+|PN|=|PM|+|PN|,由图可知当C2,M,P,N,C1在同一条直线上时, |PM|+|PN|=|PM|+|PN|取得最小值,即为 |C1 C2 |-1-3 = 5-4,故选 A.【答案】A
