1、教学设计1.2.2 解决有关测量高度的问题 从容说课本节的例 3、例 4 和例 5 是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题在例 3 中是测出一点 C 到建筑物的顶部 A 的距离 CA，并测出点 C 观察 A 的仰角；在例 4 中是计算出 AB 的长；在例 5 中是计算出 BC 的长，然后转化为解直角三角形的问题本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出 已知
2、与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题教学重点 1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力日 常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来 让学生多感受问题的演变过程 教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；教具准备 直尺和投影仪三维目标一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.二、过程与方法本节课是解三角形应
3、用举例的延伸采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架通过 3 道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法教学形式要坚持引导讨论归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.三、情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识 及观察、归纳、类比、概括的能力.教学过程导入新课师 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.推进新课【例 1】AB 是底部 B 不可
4、到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生 要求建筑物 AB 的高，我只要能把 AE 的长求出来，然后再加上测角仪的高度 EB 的长就行了.师 对了，求 AB 长的关键是先求 AE，那谁能说出如何求 AE？生 由解直角三角形的知识，在 ADC 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计 算出 AE 的长师 那现在的问题就转化成如何去求 CA 的长，谁能说说？生 应该设法借助解三角形的
5、知识测出 CA 的长生 为了求 CA 的长，应该把 CA 放到DCA 中，由于基线 DC 可以测量，且 也可以测量，这样在DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出 CA 的长解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一条直线上由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是 、，CD = A，测角仪器的高是 h，那么，在ACD 中，根据正弦定理可得 ,AB=AE+h=acsin+h= +h.)sin(aC)sin(a师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？生 要测量某一高度 AB， 只要在地面某一条直线上 取两点 D、C，量出 CD=A 的长并在
6、C、D 两点测出 AB 的仰角 、 ，则高度 ，其中 h 为测角器的aAB)sin(高【例 2】如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 =5440，在塔底 C 处测得 A处的俯角 =501已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m). 师 根据已知条件,大家能设计 出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在 ABD 中求 CD，则关键需要求出哪条边呢？生 需求出 BD 边师 那如何求 BD 边呢？生 可首先求出 AB 边，再根据BAD= 求得解：在ABC 中, BCA=90+,ABC=90-,BAC =-,BAD =.根据正弦定理,=，所以 .)9
7、0sin()si(ABC )sin(co)sin(90BCBCA在 RtABD 中,得 BD =ABsinBAD= .)i(co将测量数据代入上式,得 177(m),934sin051co.27)1504sin(s3.27BDCD =BD -BC177-27.3=150(m).答:山的高度约为 150 米.师 有没有别的解法呢？生 要在ACD 中求 CD，可先求出 AC师 分析得很好，请大家接着思考如何求出 AC？生 同理，在ABC 中，根据正弦定理求得 （解题过程略） 【例 3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南 15的方向上,行驶 5
8、 km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为8,求此山的高度 CD.师 欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生 在BCD 中.师 在BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生 BC 边.解：在ABC 中, A=15,C=25-15=10,根据正弦定理, 7.452 4(km),10sin5isiniBBCCD=BCtanDBC=BCtan81 047(m).答:山的高度约为 1 047 米.课堂练习用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角 和 ,已知 BD
9、间的距离为 A,测角仪的高度为 B,求气球的高度.分析:在 RtEGA 中求解 EG,只有角 一个条件,需要再有一边长被确定,而 EAC 中有较多已知条件,故可在EAC 中考虑 EA 边长的求解,而在 EAC 中有角 ,EAC=180- 两角与 AC=BD=A 一边,故可以利用正弦定理求解 EA.解：在ACE 中,AC=BD=A,AC E=,AEC=-,根据正弦定理,得.在 RtAEG 中，EG= AEsin= .)sin(aAE )sin(aEF=EG+b= .b)i(s答:气球的高度是 .a)sin(评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设 EG=x,在 RtEGA 中,利
10、用 cot表示 AG,而 RtEGC 中,利用 cot 表示 CG,而 CG-AG=CA=BD=A,故可以求出 EG,又GF=CD=B,故 EF 高度可求.课堂小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化布置作业课本第 17 页练习第 1、3 题.板书设计解决有关测量高度的问题 例 1练习 例 2 课堂练习小结 例 3 布置作业习题详解（课本第 17 页练习）1.在ABP 中,AB P=180-+,BPA=180-（- ）- ABP=180-(-)-(180-+)=-.在AB P 中，根据正弦定理， ,)sin
11、()180sin(,sisin APBAP,所以山高为 h=APsin= .)sin(A )i(a2.在ABC 中，AC =65.3 m,BAC =-=2525-1738=747，ABC=90-=90-1738=7222.根据正弦定理， 9.3(m). 27sin43.65sin,sinsi ABCBAC井架的高约 9.3 m.3.由例题的计算公式，山高 490(m).)2938si(i0)si(ah备课资料备用例题1.地平面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB=20 m,在 A 点处测得 P 点的倾角OAP=30, 在 B 点处测得 P 点的仰角 OBP=45
12、，又测得AOB=60，求旗杆的高度 h.（结果保留两个有效数字）思路分析：在看图时要注意结合实际旗杆 OP 垂直地面，所以AOP 和BOP 都是直角三角形又这两个三角形中各已知一个锐角，那么其他各边均可用 h 的代数式表示在AOB 中，已知一边及其对角，另两边均为 h 的代数式 ，可利用余弦定理构造方程，解这个方程即求出旗杆高 h解：在 RtAOP 中， OAP=30，OP=h,OA=OPcot30=3h.在 RtBOP 中， OBP=45，OB =OPcot45=h.在AOB 中，AB=20 ， AOB=60，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOB cos60，即 202=（ ） 2
13、+h2-23hh ,解得 h2= 176.4,h13.h31340答：旗杆高度约为 13 m点评：（1）仰角和俯角是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时称为俯角（2）由余弦定理（正弦定理）构造方程，是解决此问题的关键方程思想是解决问题的一种常用思想方法2.在某时刻，A 点西 400 千米的 B 处是台风中心，台风以每小时 40 千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300 千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间 A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？解：如图，以 A B 为边，B 为顶点作ABP=45（点 P
14、 在 B 点的东北方向上 ） ，射线 BP 即台风中心 B 的移动方向，以 A 点为圆心、300 千米为半径画弧交射线 BP 于 C、D 两点，显然当台风中心从 B 点到达 C 点时，A 点开始进入台风圈，台风中心在 CD 上移动的时间即为 A 处在台风圈中的时间设台风中心由 B 到C 要 t 小时，在ABC 中，AB=400（千米） ，AC =300（千米） ，BC =40t（千米） ，ABC=45，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC，即 3002=4002+(40t)2-240040tcos45.4t2-402t+175=0. .251084t =4.6（小时）.)(tt2-t1= =5（小时）.2510答：经过 4.6 小时 A 进入台风圈，A 处在台风圈中的时间为 5 小时
