1、学优中考网 第 9 章 一元二次方程一、选择题1. （2011 湖北鄂州，11，3 分）下列说法中一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等数据 5，2，7，1，2，4 的中位数是 3，众数是 2等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形RtABC 中，C=90 ，两直角边 a，b 分别是方程 x27x7=0 的两个根，则 AB边上的中线长为 35正确命题有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】C 2. （2011 湖北荆州，9，3 分）关于 的方程 有两个不相等x0)1(2)(2axa的实根 、 ，且有 ，则 的值是1x2121A1 B1 C1 或1 D 2 【答案】B
2、3. （2011 福建福州，7，4 分）一元二次方程 根的情况是（ ）(2)0xA.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A4. （2011 山东滨州，3，3 分）某商品原售价 289 元,经过连续两次降价后售价为 256 元,设平均每次降价的百分率为 x,则下面所列方程中正确的是( )A. B. 289156x256189xC. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289【答案】A5. （2011 山东威海，9，3 分）关于 x 的一元二次方程 有两个相2()10xm等的实数根，则 m 的值是（ ）A B C D 或084208
3、【答案】D6. （2011 四川南充市，6，3 分） 方程(x+1)( x 2)=x+1 的解是（ ）（A）2 （B）3 （C）1，2 （D）1，3【答案】D7. （2011 浙江省嘉兴，2，4 分）一元二次方程 的解是（ ）0)(x（A） （B） （C） 或 （D） 或0x1x 0x1【答案】C8. （2011 台湾台北，20）若一元二次方程式 的)2(1)(ab 2)(两根为 0、2，则之值为何？ba43A2 B5 C 7 D 8【答案】B9. （2011 台湾台北，31）如图( 十三)，将长方形 ABCD 分割成 1 个灰色长方形与 148 个面积相等的小正方形。根据右图，若灰色长方形之
4、长与宽的比为 5：3，则 ： ？ABA5：3 B7：5 C23：14 D47：29【答案】D10（2011 台湾全区，31）关于方程式 的两根，下列判断何者正确？95)2(8xA一根小于 1，另一根大于 3 B一根小于2，另一根大于 2C两根都小于 0 D两根都大于 2【答案】A11. （2011 江西，6，3 分）已知 x=1 是方程 x2+bx-2=0 的一个根，则方程的另一个根是（ ）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】C12. （2011 福建泉州，4，3 分）已知一元二次方程 x24x+3=0 两根为 x1、x 2, 则 x1x2=（ ）.A. 4 B. 3 C. 4 D. 3
5、【答案】B13. （2011 甘肃兰州，1，4 分）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是A B20x20axbcC D()235y【答案】C14. （2011 甘肃兰州，10，4 分）用配方法解方程 时，原方程应变形为20xA B C D2(1)6x2()9x2(1)62()9x【答案】C15. （2011 江苏苏州，8,3 分）下列四个结论中，正确的是A.方程 x =2 有两个不相等的实数根学优中考网 B.方程 x =1 有两个不相等的实数根1C.方程 x =2 有两个不相等的实数根D.方程 x =a（其中 a 为常数，且|a|2）有两个不相等的实数根【答案】D16. （2011 江苏泰
6、州，3，3 分）一元二次方程 x2=2x 的根是 Ax=2 Bx=0 Cx 1=0, x2=2 Dx 1=0, x2=2【答案】C17. （2011 山东济宁，5，3 分）已知关于 x 的方程 x 2bxa0 有一个根是a( a0)，则a b 的值为A B0 C1 D2【答案】A18. （ 2011 山东潍坊， 7，3 分）关于 x 的方程 的根的情况描述正确的1kx是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根 B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和
7、有两个相等的实数根三种【答案】B19. （2011 四川成都，6,3 分）已知关于 的一元二次方程 有两x )0(2mknx个实数根，则下列关于判别式 的判断正确的是 Cmk42(A) (B) 042mkn 042k(C) (D) n【答案】C20（ 2011 重庆江津， 9，4 分）已知关于 x 的一元二次方程(a1)x 22x+1=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是( )A.a2 C.a0)的两实根分别为， ，则 ， 满足A. 12【答案】D28. （2011 安徽，8，4 分）一元二次方程 x（x2）=2x 的根是（ ）A1 B2 C1 和 2 D1 和 2【答案】D29.
8、（2011 湖南湘潭市，7，3 分）一元二次方程 的两根分别为0)5(3A. 3, 5 B. 3，5 C. 3,5 D.3，5【答案】D30. （2011 浙江省舟山，2，3 分）一元二次方程 的解是（ ）0)1(x（A） （B） （C） 或 （D） 或0x1x 0x1【答案】C学优中考网 二、填空题1. （2011 江苏扬州，14,3 分）某公司 4 月份的利润为 160 万元，要使 6 月份的利润达到250 万元，则平均每月增长的百分率是 【答案】25%2. （2011 山东滨州，14，4 分）若 x=2 是关于 x 的方程 的一个根，则 a 2250xa的值为_.【答案】 73. （20
9、11 山东德州 14,4 分）若 ， 是方程 的两个根，则1x2210x=_21x【答案】34. （2011 山东泰安，21 ，3 分）方程 2x2+5x-3=0 的解是 。【答案】x 1= -3,x2= 125. （2011 浙江衢州，11,4 分）方程 的解为 .20【答案】 120,6. （2011 福建泉州，附加题 1，5 分）一元二次方程 的解是 0)1(x【答案】 或0x7. （2011 甘肃兰州，19，4 分）关于 x 的方程 的解是2()0ambx1=2，x 2=1（a，m，b 均为常数， a0），则方程 的解是 2(。【答案】x 1=4，x 2=18. （2011 广东株洲，
10、13，3 分）孔明同学在解一元二次方程 x2-3x+c=0 时，正确解得x1=1，x 2=2，则 c 的值为 【答案】29. （2011 江苏苏州，15,3 分）已知 a、b 是一元二次方程 x22x1=0 的两个实数根，则代数式（ab）（ab2）ab 的值等于_.【答案】-110（2011 江苏宿迁,16,3 分）如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6m若矩形的面积为 4m2，则 AB 的长度是 m（可利用的围墙长度超过 6m）【答案】111. （2011 四川宜宾,12,3 分）已知一元二次方程 的两根为 a、b，则0562x的
11、值是_ba1【答案】 5612. （2011 四川宜宾,15,3 分）某城市居民最低生活保障在 2009 年是 240 元，经过连续两年的增加，到 2011 年提高到 元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是6.345_【答案】20%13. （2011 江苏淮安，13，3 分）一元二次方程 x2-4=0 的解是 .【答案】214. （2011 上海，9，4 分）如果关于 x 的方程 （m 为常数）有两个相等实0数根，那么 m_【答案】115. （2011 上海，14，4 分）某小区 2011 年屋顶绿化面积为 2000 平方米，计划 2012 年屋顶绿化面积要达到 2880 平方米如果每
12、年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_【答案】20%16. (20011 江苏镇江,12,2 分 )已知关于 x 的方程 的一个根为 2,则 m=_,260mx另一根是_.答案：1，-317. 三、解答题1. （2011 安徽芜湖，20，8 分） 如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（ ）cm，正六边形的边长为217x（ ）cm .求这两段铁丝的总长. 2x(0)x其 中【答案】解: 由已知得，正五边形周长为 5（ ）cm，正六边形周长为 6（ ）cm.2217x2x分因为正五边形和正六边形的周长相等，所以 . 3 分22=x（ ） 6
13、（ ）整理得 , 配方得 ，解得 (舍去).6 分21850x+1x（ ） 125， -7故正五边形的周长为 (cm). 7 分217=（ ）学优中考网 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为 420cm.答：这两段铁丝的总长为 420cm. 8 分2. （2011 山东日照， 20，8 分）为落实国务院房地产调控政策，使 “居者有其屋” ，某市加快了廉租房的建设力度2011 年市政府共投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预计到 2012 年底三年共累计投资 9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本
14、不变，求到 2012 年底共建设了多少万平方米廉租房【答案】（1）设每年市政府投资的增长率为 x，根据题意，得：2+2（1+ x）+2（1+ x） 2=9.5， 整理，得：x 2+3x-1.75=0， 解之，得：x= ，75.1493x 1=0.5 x2=-0.35（舍去），答：每年市政府投资的增长率为 50%；（2）到 2012 年底共建廉租房面积=9.5 （万平方米）823. （2011 四川南充市，18，8 分）关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2。（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2 x1x21 且 k 为整数，求 k 的值。【答案】解：（
15、1）方程有实数根 =2 2-4（k +1）0解得 k 0K 的取值范围是 k 0（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=-2, x1x2=k+1x1+x2-x1x2=-2,+ k+1由已知，得 -2,+ k+1-1 解得 k-2又由（1） k 0 -2 k 0 k 为整数 k 的值为-1 和 0.4. （2011 浙江衢州，21,8 分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入 3 株时，平均单株盈利 3 圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加 1 株，平均单株盈利就减少 0.5 元.要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植多少株？小明的解
16、法如下：解：设每盆花苗增加 株，则每盆花苗有 株，平均单株盈利为 元，由题x3x30.5x意，得 .30.51x化简，整理，的 .20x解这个方程，得 12,答：要使得每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植入 4 株或 5 株.本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系： 请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。【答案】解：（1）平均单株盈利 株数=每盆盈利平均单株盈利= 每盆增加的株数30.5每盆的株数=3+每盆增加的株数（2）解法 1（列表法）平均植入株数 平均单株盈利（元） 每盆盈利（元）3 3 94 2.5 105 2 106 1.5 97
17、 1 7 答：要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植入 4 株或 5 株。解法 2（图像法）如图，纵轴表示平均单株盈利，横坐标表示株数，则相应长方形面积表示每一盆盈利. 元7,1元元6,1.5元5,2元4,2.5元3, 元765432100.511.522.53元元元从图像可知，每盆植入 4 株或 5 株时，相应长方形面积都是 10.答：要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植入 4 株或 5 株。解法 3(函数法)解：设每盆花苗增加 株时，每盆盈利 10 元，根据题意，得x103.5x解这个方程，得 12,经验证， 是所列方程的解.x答：要使每盆的盈利达到 10 元，每盆应该植入 4 株或
18、 5 株。5. （2011 浙江义乌，19，6 分）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；学优中考网 （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100 元？【答案】（1） 2x 50x （2）由题意得：（50x）（302x）=2100 化简得：x 235x +300=0解得：x 1=15， x2=20该商场为了尽
19、快减少库存，则 x=15 不合题意，舍去. x=20答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元.6. （2011 江苏苏州，22,6 分）已知|a-1|+ =0，求方程 +bx=1 的解.ba【答案】解：由|a-1|+ =0，得 a=1，b=-2.2b由方程 -2x=1 得 2x2+x-1=0x1解之，得 x1=-1，x 2= .经检验，x 1=-1，x 2= 是原方程的解.7. （2011 山东聊城，18，7 分）解方程： 20x【答案】(x2)(x 1)0，解得 x2 或 x18. （ 2011 四川广安， 27，9 分）广安市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售
20、，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售。（1）求平均每次下调的百分率。（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.8 折销售；不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更优惠？【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率 x，则6000（1x） 2=4860解得：x 1=0.1 x2=1.9（舍去）平均每次下调的百分率 10%（2）方案可优惠：4860100（10.98）=9720 元方案可优惠：10080=8000 元
21、方案 更优惠9. (2011 江苏南京，19，6 分 )解方程 x24x1=0【答案】解法一：移项，得 41配方，得 ，241x()3由此可得 2x，123x23x解法二： ,4,1.abc，224()20bc13.x， 123210（2011 四川乐山 23，10 分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。题甲：已知关于 x 的方程 的两根为 、 ，且满足22(1)740axa1x2.求 的值。12230x24【答案】解： 关于 的方程 有两根22(1)70xaxa21,x 04714221aax即： 1223xx01 472aa解得 ,321 4a把 代入 ，得：24
22、(1)a 2463416题乙：如图（12），在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4.(1) 求证:AC BD(2) 求AOB 的面积学优中考网 我选做的是 题【答案】证明：如图，过点 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于点 EADCE,ACDE四边形 ACED 为平行四边形DE=AC=4，CE=AD=2在 BDE 中， BD=3，DE=4 ，BE=BC+CE=5 22BEDBED 为直角三角形且 BDE=90ACDEBOC=BDE=90即 ACBD11. （2011 江苏无锡，20(1)，4 分）解方程：x 2 + 4x 2 = 0
23、； 【答案】解：(1)方法一：由原方程，得( x + 2)2 = 6 (2 分) x + 2 = ， (3 分)6x = 2 (46分)方法二： = 24，(1 分) x = ，(3 分) 4 242x = 2 (4 分)612. （2011 湖北武汉市，17，6 分）（本题满分 6 分）解方程：x 23x1=0【答案】 a=1,b=3,c=1=b24ac=9 41150x=3x1=3 ，x 2=313. （2011 湖北襄阳，22，6 分）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008 年我市某种品牌汽车的年产量为 6.4 万辆，到 2010 年，该品牌汽车的年产量达到 1
24、0 万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从 2008 年开始五年内保持不变，则该品牌汽车 2011 年的年产量为多少万辆？【答案】设该品牌汽车年产量的年平均增长率为 x，由题意得2 分10)(4.62x解之，得 .4 分255.21x， ，故舍去，x0.2525%. 5 分02.2x10（125%）12.5答：2011 年的年产量为 12.5 万辆. 6 分14. （2011 山东东营，22，10 分）(本题满分 10 分) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008 年底全市汽车拥有量为 15 万辆，而
25、截止到 2010 年底，全市的汽车拥有量已达 21.6 万辆。（1） 求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从 2011 年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆；另据估计，该市从 2011 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x，根据题意，得解得 （不合题意，舍去）25.6x（ +)120.%,.xx（2）设全市每年
26、新增汽车数量为 y 万辆，则 2011 年底全市的汽车拥有量为（21.690%+y）万辆，2012 年底全市的汽车拥有量为（21.690%+y ）90%+y ）万辆。根据题意得：（21.690%+y）90%+y23.196解得 y3答:该市每年新增汽车数量最多不能超过 3 万辆。15. (20011 江苏镇江,26,7 分)某商店以 6 元/千克的价格购进某干果 1140 千克,并对其起先筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售,这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每都有销售量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第 x 天的总销售量 (千1y克)与
27、x 的关系为 ;乙级干果从开始销售至销售的第 t 天的总销售量 (千克)240x 2y与 t 的关系为 ,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:2yatbt 1 2 3学优中考网 2y21 44 69(1)求 a、b 的值.(2)若甲级干果与乙级干果分别以元/千克和 6 元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润为多少元?(3)此人第几天起乙级干果每 天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多千克?(说明:毛利润=销售总金额-进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计.)【答案】：（1）选取表中两组数据，求得 a=1,b=20.(2)甲级干果与乙级干果 n 天销完这批货。则 22
28、4014n即 60n=1140,解之得 n=19,当 n=19 时， , =741.139y2毛利润=3998+7416-11406=798（元）（3）第 n 天甲级干果的销售量为-2n+41,第 n 天乙级干果的销售量为 2n+19.(2n+19)-(-2n+41)6解之得 n7.16. （2011 广东湛江 26,12 分）某工厂计划生产 A,B 两种产品共 10 件，其生产成本和利润如下表：A 种产品 B 种产品成本（万元/件） 2 5利润（万元/件） 1 3（1）若工厂计划获利 14 万元，问 A,B 两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于 44 万元，且获利多于 1
29、4 万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润【答案】（1）设生产 A 种产品 件，则生产 B 种产品有 件，于是有x10x，解得 ，(0)314x8所以应生产 A 种产品 8 件， B 种产品 2 件；（2）设应生产 A 种产品 件，则生产 B 种产品有 件，由题意有xx，解得 ；5()3104x8所以可以采用的方案有：共 6 种方案；23457,87643AABB（3）由已知可得，B 产品生产越多，获利越大，所以当 时可获得最大利润，其最28AB大利润为 万元。2183617. （2010 湖北孝感，22，10 分）已知关于 x 的方程 x2
30、2（k1）x+k 2=0 有两个实数根x1，x 2.（1）求 k 的取值范围；（4 分）（2）若 ，求 k 的值. （6 分）121x【答案】解：（1）依题意，得 即 ，解得 .0A2(1)40k12k（2）解法一：依题意，得 .122,xkx以下分两种情况讨论：当 时，则有 ，即120x1212(1)k解得 k 2 不合题意，舍去1k 时，则有 ，即20x1212xx2(1)k解得 1,3k ，2.综合、可知 k=3.解法二：依题意可知 .12()xk由（1）可知 k ，即2()0120x 2k解得 12,3 ，k.学优中考网 18. （2011 湖北宜昌，22，10 分）随着经济的发展，尹
31、进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进 2008 年的月工资为 2000 元，在 2010 年时他的月工资增加到 2420 元，他 2011 年的月工资按 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率继续增长.(1)尹进 2o11 年的月工资为多少? (2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己 2011 年 6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比 2o11 年 6 月份的月工资少了 242 元，于是他用这 242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把
32、购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校.请问，尹进总共捐献了多少本工具书?【答案】解 :（ 1） 设 尹 进 2008 到 2010 年 的 月 工 资 的 平 均 增 长 率 为 x,则 ,2000（ 1 x） 2 2420 (1 分 )解 得 ， x1 2.1, x2 0.1, (2 分 )x1 2.1 与 题 意 不 合 ， 舍 去 . 尹 进 2011 年 的 月 工 资 为 2420(1 0.1)=2662 元 . (3 分 )（ 2） 设 甲 工 具 书 单 价 为 m 元 ， 第 一 次 选 购 y 本 .设 乙 工 具 书 单 价 为 n 元 ， 第一 次 选 购 z 本 .则 由 题 意 ， 可 列 方 程 :m n 242， (4 分 )ny mz 2662， (6 分 ) my nz 2662 242 (7 分 )( , 任 意 列 对 一 个 给 2 分 ; , 全 对 也 只给 3 分 )由 ， 整 理 得 ， （ m n） （ y z） 22662 242， (8 分 )由 , 242（ y z） 22662 242， y z 22 1 21 (9 分 )答 ： 尹 进 捐 出 的 这 两 种 工 具 书 总 共 有 23 本 .(10 分 ) (只 要 得 出 23 本 ， 即 评1 分 )学.优.中*考，网
