1、（无）1. （2014 年江苏苏州 3 分）如图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接 PA设 PAx，PBy，则（xy）的最大值是 1. （2014 年福建福州 14 分）如图，抛物线 21yx3与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D.（1）求点 A，B，D 的坐标；（2）连接 CD，过原点 O 作 OECD，垂足为 H，OE 与抛物线的对称轴交于点 E，连接AE，AD.求证：AEO=ADC；（3）以（2）中的点 E 为圆心，1 为半径画圆，在对称轴右侧
2、的抛物线上有一动点 P，过点P 作O 的切线，切点为 Q，当 PQ 的长最小时，求点 P 的坐标，并直接写出点 Q 的坐标. CGDOME，即932.EM=2，即点 E 的坐标为（3，2），ED=3.由勾股定理，得 2A6,D ， 22AD639E.AED 是直角三角形.设 AE 交 CD 于点 F，ADC+AFD=90.又AEO+HFE=90，AFD=HFE，AEO=ADC.设点 Q 的坐标为（m，n），则由E 的半径为 1，根据勾股定理可得 22m3n1；由切线的性质可得 22PQE，即 222m5n15，联立二方程解得m3n1或95，从而得到点 Q 的坐标.2. （2014 年福建南平
3、12 分）如图，已知抛物线 21yxbc图象经过 A（1，0），B（4，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若 C（m，m1）是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段 AB 上的一个动点（不与A、B 重合），过点 D 分别作 DEBC 交 AC 于 E，DFAC 交 BC 于 F求证：四边形 DECF 是矩形；连结 EF，线段 EF 的长是否存在最小值？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，请说明理由如答图，过 C 点作 CHAB，垂足为 H，则AHC=BHC=90，3. （2014 年福建莆田 14 分）如图，抛物线 C1：y=（x+m） 2（m 为常数，m0），平移抛物线 y=x 2，
4、使其顶点 D 在抛物线 C1位于 y 轴右侧的图象上，得到抛物线 C2抛物线 C2交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，设点 D 的横坐标为 a（1）如图 1，若 m= 2当 OC=2 时，求抛物线 C2的解析式；是否存在 a，使得线段 BC 上有一点 P，满足点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由；（2）如图 2，当 OB= 3m（0m 3）时，请直接写出到ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含 m 的式子表示）假设存在满足条件的 a 值AP=BP，点 P 在 AB 的垂直平
5、分线上，即点 P 在 C2的对称轴上.点 B 与点 C 到直线 OP 的距离之和BC，只有 OPBC 时等号成立，OPBC（2）P 1（ 3m，1），P 2（ 3m，3），P 3（ m，3），P 4（3，3）如答图 2 所示，设对称轴与 x 轴交于点 E，则 DE=3，BE=AB= 3，OE=OBBE= 3m综上所述，到ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有 4 个，其坐标为：P1（ 3m，1），P 2（ 3m，3），P 3（ m，3），P 4（ 3m，3）4. （2014 年福建三明 14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的一个交点为 A（2，0），
6、与 y 轴的交点为 C，对称轴是 x=3，对称轴与 x 轴交于点 B（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过 B，C 的直线 l 平移后与抛物线交于点 M，与 x 轴交于点 N，当以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点 M 的坐标；（3）若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点 P，使得PBDPBC？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+4 交 x 轴于 A（2，0），0=4a2b+4，对称轴是 x=3， b3a，即 6a+b=0，两关于 a、b 的方程联立解得 13,b42 ，抛物线为 21yx4（3）点 P 的坐
7、标为（ 426， 1）或（ 426， 1）或（14， 8241）或（ ， 84）【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5. 平行四边形的性质；6.勾股定理；7.全等三角形的性质；8.分类思想的应用【分析】（1）解析式已存在，y=ax 2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出 a，b 即可由对称轴为 b2a，又过点 A（2，0），所以函数表达式易得（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等因为已知 MNBC，所以 MN=BC，即 M、N 的位置如 B、C 位置关系，则可分 2 种情形，N 点在 M 点右下方，即 M 向下平行 4
8、个单位，向右 2 个单位与 N 重合；M 点在 N 右下方，即 N 向下平行 4 个单位，向右 2 个单位与 M 重合（3）使PBDPBC，易考虑CBD 的平分线与抛物线的交点确定平分线可因为 BC=BD，可作等腰BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出 P 即可OC=4，OB=3，BC=5如果PBDPBC，那么 BD=BC=5，D 在 x 轴上，D 为（2，0）或（8，0）当 D 为（2，0）时，如答图 3，连接 CD，过 B 作直线 BE 平分DBC 交 CD 于 E，交抛物线于 P1，P 2，此时P 1BCP1BD，P 2BCP 2BD，BC=BD，E 为
9、CD 的中点，即 E（1，2），设过 E（1，2），B（3，0）的直线为 y=kx+b，则 kb，解得 1k23b，BE： 1yx2设 P（x，y），则有 213yx4，解得 4261y，或x61y2.则 P1（ 426， ），P 2（ 46， 21）5. （2014 年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线是由抛物线 y=x23 向右平移一个单位后得到的，它与 y 轴负半轴交于点 A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为 3（1）求点 M、A、B 坐标；（2）连结 AB、AM、BM，求ABM 的正切值；（3）点 P 是顶点为 M 的抛
10、物线上一点，且位于对称轴的右侧，设 PO 与 x 正半轴的夹角为，当 =ABM 时，求 P 点坐标（3）如答图，过点 P 作 PHx 轴于 H，y=（x1） 23=x 22x2，设点 P（x，x 22x2）=ABM，tan= 1O3点 P 在 x 轴的上方时，2x，整理得，3x 27x6=0，解得 x1= 3（舍去），x 2=3点 P 的坐标为（3，1）点 P 在 x 轴下方时， 2x3，整理得，3x 25x6=0，解得 x1= 5976（舍去），x 2= 5976x= 5976时，x 22x2= 318点 P 的坐标为（ 597,6 ）综上所述，点 P 的坐标为（3，1）或（ 597,618
11、 ）【考点】1二次函数综合题；2线动平移问题；3平移的性质；4二次函数的性质；5曲线上点的坐标与方程的关系；6相似三角形的判定和性质；7等腰直角三角形的判定和性质；8锐角三角函数定义；9分类思想和方程思想的应用【分析】（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点 M 的坐标，令 x=0 求出 A 点的坐标，把 x=3 代入函数解析式求出点 B 的坐标（2）过点 B 作 BEAO 于 E，过点 M 作 MFAO 于 M，然后求出EAB=EBA=45，同理求出FAM=FMA=45，然后求出ABE 和AMF 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 M13，再求出BAM=90，然
12、后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解（3）过点 P 作 PHx 轴于 H，分点 P 在 x 轴的上方和下方两种情况利用 的正切值列出方程求解即可6. （2014 年甘肃兰州 12 分）如图，抛物线 21ymn与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什
13、么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标（3）当 y=0 时， 213x0，解得x1=1，x 2=4，B（4，0）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，则 4kb02，解得：1k2b，直线 BC 的解析式为： 1yx2【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与言辞的关系；5.二次函数的性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形的性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出 m、n 的值即可（2）由（1）的解析式求出顶点坐
14、标，再由勾股定理求出 CD 的值，再以点 C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于 P1，以点 D 为圆心 CD 为半径作圆交对称轴于点 P2，P 3，作CE 垂直于对称轴与点 E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论（3）先求出 BC 的解析式，设出 E 点的坐标为（a， 1a2），就可以表示出 F的坐标，由四边形 CDBF 的面积=S BCD +SCEF +SBEF 求出 S 与 a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论7. （2014 年广东广州 14 分）已知平面直角坐标系中两定点 A（1，0）、B（4，0），抛物线 y=ax2+bx2（a0）过点 A，B，顶点为 C，点 P（
15、m，n）（n0）为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；（2）当APB 为钝角时，求 m 的取值范围；（3）若 m 2，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0t 52）个单位，点 C、P 平移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得首尾依次连接A、B、P、C所构成的多边形的周长最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由（3）存在.m 32，APB 为直角，P（3，2）.如答图 2，将 BP 沿 PC 平移，使得点 P 与点 C 重合，点 B 落在点 B处，作直线 5y8，则点 C 在这条直线上，以直线 25y8为对称轴，作B的对称
16、点 B，连接 A B.AB、CP 是定值，只要 AC+BP 最小.AC+BP=AC+ BC=AC+ BCA B.当点 C 为 A B与直线 25y8的交点 C时，AC+BP 最小，即 AC+BP最小.根据平移和对称的性质可得，点 B的坐标为 59,28 ，点 B的坐标为541,28 .设直线 A B的解析式为：y=kx+b，则kb054128有，解得41k28b.线 A B的解析式为： 41yx28.当 5y8时， 93x. 31t24.将抛物线向左平移 5个单位连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长最短8. （2014 年广东梅州 11 分）如图，已知抛物线 23yx84与 x 轴的交点为
17、A、D（A 在 D 的右侧），与 y 轴的交点为 C.（1）直接写出 A、D、C 三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使得 MD+MC 的值最小，并求出点 M 的坐标；（3）设点 C 关于抛物线对称的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）存在，分两种情况：如答图 2，当 BC 为梯形的底边时，点 P 与 D 重合时，四边形 ADCB 是梯形，此时点 P 为(2，0).如答图 3，当 BC 为梯形的腰时，过点 C 作CP/AB，与抛物线交于点 P，点 C，B 关于抛物线对称，B(
18、2，3)设直线 AB 的解析式为 1y=kx+b，则 14k+b023，解得 13k2b6.直线 AB 的解析式为 y=x.CP/AB，可设直线 CP 的解析式为 3y=xm2.点 C 在直线 CP 上， m.直线 CP 的解析式为 3y=x2.联立 23y=x84，解得 103， 2x=6yP(6，6).综上所述，在抛物线上存在点 P，使得以 A、B、C、P 四点为顶点的四边形为梯形，点 P 的坐标为(2，0)或(6，6).9. （2014 年广东汕尾 10 分）如图，已知抛物线 23yx84与 x 轴的交点为A、D（A 在 D 的右侧），与 y 轴的交点为 C（1）直接写出 A、D、C 三
19、点的坐标；（2）若点 M 在抛物线上，使得MAD 的面积与CAD 的面积相等，求点 M 的坐标；（3）设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以A、B、C、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（2，0），C 点坐标为（0，3）.（3）结论：存在如答图所示，在抛物线上有两个点 P 满足题意：如答图 1，若 BCAP 1，此时梯形为 ABCP1由点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，可知 BCx 轴，则 P1与 D 点重合，P 1（2，0）P 1A=6，BC=2，P
20、1ABC. 四边形 ABCP1为梯形.如答图 2，若 ABCP 2，此时梯形为 ABCP2A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，3），直线 AB 的解析式为3yx62.可设直线 CP2的解析式为 3yxn2.将 C 点坐标（0，3）代入，得 n=3，直线 CP2的解析式为 3点 P2在抛物线 2yx84上， 33x84，化简得：x 26x=0，解得 x1=0（舍去），x 2=6.点 P2横坐标为 6，代入直线 CP2解析式求得纵坐标为6，P 2（6，6）ABCP 2，ABCP 2，四边形 ABCP2为梯形综上所述，在抛物线上存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为
21、梯形；点 P 的坐标为（2，0）或（6，6）10. （2014 年广东深圳 9 分）如图，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，以 A 为顶点的抛物线交直线 AB 于点 D，交 y 轴负半轴于点 C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线 AB 平移，此时顶点记为 E，与 y 轴的交点记为 F，求当BEF 与BAO 相似时，E 点坐标；记平移后抛物线与 AB 另一个交点为 G，则 SEFG 与 SACD 是否存在 8 倍的关系？若有请直接写出 F 点的坐标若4m 2=2m，解得 m= 12或 m=0（与点 B 重合，舍去）；若4m 2
22、=2m，解得 m= 或 m=0（与点 B 重合，舍去），此时点 E 位于第一象限，BEF 为钝角，故此情形不成立m= 12.E（ ，3）【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.一点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.相似三角形的性质；7.解一元二次方程；8.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用【分析】（1）求出点 A 的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式.（2）首先确定点 E 为 RtBEF 的直角顶点，相似关系为：BAOBFE；如答图 21，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点 E 的坐标.首先求出ACD 的面积：S A
23、CD =8；若 SEFG 与 SACD 存在 8 倍的关系，则SEFG =64 或 SEFG =1；如答图 22 所示，求出 SEFG 的表达式，进而求出点 F 的坐标11. （2014 年广东珠海 9 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A（2， 0）、C（0， 23）.将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30，得矩形 OEFG，线段 GE、FO 相交于点 H，平行于 y 轴的直线 MN 分别交线段 GF、GH、GO 和 x 轴于点 M、P、N、D，连结 MH.（1）若抛物线 2l:yaxbc经过 G、O、E 三点，则它的解析式为： ；（2）如果四边形 OHMN 为平行四边形，求点 D 的
24、坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线 MN 抛物线 l 交于点 R，动点 Q 在抛物线 l 上且在 R、E两点之间（不含点 R、E）运动，设 PQH 的面积为 s，当 3s62时，确定点 Q 的横坐标的取值范围.当 0x3时，如答图 1， 2 22PQTH313sSxxx3 6 .当 3x02时，如答图 2， 22PQTH1313sSxx0x3 6 .综上所述， 233sxx6.如答图 3，作 2的函数图象， s6，由函数图象得 2x.又 x32， .抛物线 2l:yaxbc经过 G、O、E 三点，3ac10b3，解得2a3bc0.抛物线的解析式为 23yx.12. （2014 年广西百色
25、 12 分）已知过原点 O 的两直线与圆心为 M（0，4），半径为 2 的圆相切，切点分别为 P、Q，PQ 交 y 轴于点 K，抛物线经过 P、Q 两点，顶点为 N（0，6），且与 x 轴交于 A、B 两点（1）求点 P 的坐标；（2）求抛物线解析式；（3）在直线 y=nx+m 中，当 n=0，m0 时，y=m 是平行于 x 轴的直线，设直线 y=m 与抛物线相交于点 C、D，当该直线与M 相切时，求点 A、B、C、D 围成的多边形的面积（结果保留根号）【答案】解：（1）如图 1，M 与 OP 相切于点 P，MPOP，即MPO=90点 M（0，4）即 OM=4.又MP=2，根据勾股定理得 OP=23M 与 OP 相切于点 P，M 与 OQ 相切于点Q，OQ=OP，POK=QOKOKPQ，QK=PKPK= O23M4OK= 2OPK3点 P 的坐标为（ ，3）
