1、高中数学第五章- 平面向量考试内容：向量向量的加法与减法实数与向量的积平面向量的坐标表示线段的定比分点平面向量的数量积平面两点间的距离、平移考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念（2）掌握向量的加法和减法（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式05. 平面向量平面向量
2、知识要点知识要点1.本章知识网络结构2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示： a；坐标表示法 a j（ ， ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作 a. (4)特殊的向量：零向量 aO aO. 单位向量 aO为单位向量 aO1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 ( 1， 1)（ 2， 2） 21yx(6) 相反向量： a=-b b=-a a+b=0(7)平行向量 (共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 ab.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的加法1.平行四边形
3、法则2.三角形法则12(,)abxyab()()cACB向量的减法三角形法则 12(,)abxy ()ab, BO数乘向量1. a是一个向量,满足:|2. 0 时, 与同向;0 时 , a与 异向;=0 时 , 0.(,)axy()aa()b/a向量的数量积ab是一个数1. 0或时，.2. |cos(,)abaA且 时 ，12bxyab()()abcc22|=axy即|b4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理 e1， e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数 1，2，使 a 1e1 2e2.(2)两个向量平行的充要条件 aba b(b0) x1y2 x
4、2y1O. (3)两个向量垂直的充要条件 a b abO x1x2 y1y2O. (4)线段的定比分点公式 设点 P 分有向线段 21所成的比为 ，即 P1 2，则 O O (线段的定比分点的向量公式) .1,21yx(线段定比分点的坐标公式 )当 1 时，得中点公式： OP 21（ 2P）或 .2,12yx(5)平移公式设点 P(x， y)按向量 a（ ， ）平移后得到点 P（ x， y） ，则 O +a 或 .,kyhx曲线 y f（ x）按向量 a（ ， ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y f（ x )(6)正、余弦定理 正弦定理： .2sinisinRCcBbAa余弦定理： a2 b
5、2 c22 bccosA， b2 c2 a22 cacosB， c2 a2 b22 abcosC.（7）三角形面积计算公式：设 ABC 的三边为 a， b， c， 其高分别为 ha， hb， hc， 半周长为 P，外接圆、内切圆的半径为 R， r. S=1/2aha=1/2bhb=1/2chc S=Pr S=abc/4R S=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA S= cPba 海伦公式 S=1/2（ b+c-a） ra如下图 =1/2（ b+a-c） rc=1/2（ a+c-b） rb注：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心.如图： AB
6、COabcIABCDEFIBEFraracabcACNEF图1 图 2 图 3 图 4图 1 中的 I 为 SABC的内心， S=Pr图 2 中的 I 为 SABC的一个旁心， S=1/2（ b+c-a） ra附：三角形的五个“心” ；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.已知 O 是ABC 的内切圆，若 BC=a， AC=b， AB=c 注： s 为 ABC 的半周长, 即2cba则： AE= as=1/2（ b+c-a） BN= b=
7、1/2（ a+c-b） FC= cs=1/2（ a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）. 特例：已知在 RtABC， c 为斜边，则内切圆半径 r= cba2（如图 3）. 在ABC 中，有下列等式成立 CBACBAtnttanttan.证明：因为 ,CBA所以 tt ，所以 tanta1， 结论！在 ABC 中， D 是 BC 上任意一点，则 DBD22.证明：在 ABCD 中，由余弦定理，有 AAcos2在ABC 中，由余弦定理有 CBcos，代入，化简可得， DBCADA22（斯德瓦定理）若 AD 是 BC 上的中线， 221acbma；若
8、AD 是 A 的平分线， pt，其中 p为半周长；若 AD 是 BC 上的高， cbaha2，其中 为半周长.ABC 的判定： 22bacABC 为直角 A + B = 22 2ABC 为钝角 A + Bc baABC 为锐角 A + B 2附：证明： abcC2cos，得在钝角 ABC 中， 22,00coscbacbaC平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(22ab空间向量1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 奎 屯王 新 敞新 疆DC5注：空间的一个平移就是一个向量 奎 屯王 新 敞新 疆向量一般用有向线段表示 奎 屯王 新 敞新 疆同向等长的有向线段表示同
9、一或相等的向量 奎 屯王 新 敞新 疆空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 奎 屯王 新 敞新 疆2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 baABO)(RP运算律：加法交换律： ab加法结合律： )()(cca数乘分配律： 3 奎 屯王 新 敞新 疆共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 a平行于 b记作 a/当我们说向量 、 共线（或 /b）时，表示 a、 b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线4共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量 a、 b（ 0） ， a
10、/b的充要条件是存在实数，使 a b.推论：如果 l为经过已知点 A且平行于已知非零向量 的直线，那么对于任意一点O，点 P在直线 上的充要条件是存在实数 t满足等式 OPa其中向量 a叫做直线 l的方向向量.5向量与平面平行：已知平面 和向量 a，作 OA，如果直线 A平行于 或在 内，那么我们说向量 平行于平面 ，记作： /通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 奎 屯王 新 敞新 疆说明：空间任意的两向量都是共面的 奎 屯王 新 敞新 疆6共面向量定理：如果两个向量 ,ab不共线， p与向量 ,ab共面的充要条件是存在实数 ,xy使pxy 奎 屯王 新 敞新 疆推论：空间一点 P位
11、于平面 MAB内的充分必要条件是存在有序实数对 ,，使MPAB或对空间任一点 O，有 PxMAB式叫做平面 的向量表达式 奎 屯王 新 敞新 疆7 奎 屯王 新 敞新 疆空间向量基本定理：如果三个向量 ,abc不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组,xyz，使 pxyz 奎 屯王 新 敞新 疆推论：设 ,OABC是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 ,xyz，使 PxyOBzC 奎 屯王 新 敞新 疆8 奎 屯王 新 敞新 疆空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ,ab，在空间任取一点 ，作 ,AaOBb，则 A叫做向量a与 b的夹角，记作 ；且规定
12、 0,b，显然有 ,a；若,2，则称 与 互相垂直，记作： .9向量的模：设 OAa，则有向线段 OA的长度叫做向量 a的长度或模，记作： |a.10向量的数量积： b|cos,ab已知向量 B和轴 l， e是 l上与 同方向的单位向量，作点 A在 l上的射影 ，作点 B在 l上的射影 ，则 AB叫做向量在轴 l上或在 e上的正射影. 可以证明 的长度 |cos,|a11空间向量数量积的性质： （1） |cos,aeae （2 ） 0b （3） 2|a12空间向量数量积运算律：（1） ()()()abab （2 ） ab（交换律） （3 ）cc（分配律） 空间向量的坐标运算一知识回顾：（1）空
13、间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标） ， y 轴是纵轴（对应为纵轴） ， z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.令 a=(a1,a2,a3), ),(321b，则,(321b )(,(321Raa 321babaa), Rbab0 2231(用到常用的向量模与向量之间的转化： aa2)2321321|,cos babba空间两点的距离公式： 21122 )()()( zyxd.（2）法向量：若向量 a所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a，如果 a那么向量 叫做平面 的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射线，其中 A，则点 B 到平面 的距离为 |nAB.利用法向量求二面角的平面角定理：设 21,分别是二面角 l中平面 ,的法向量，则 21,n所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ 21,n方向相同，则为补角，,反方，则为其夹角）.证直线和平面平行定理：已知直线 a平面 ， DCaBA,，且 CDE 三点不共线，则 a的充要条件是存在有序实数对 使 E.（常设 CEAB求解 ,若 ,存在即证毕，若 ,不存在，则直线 AB 与平面相交）.nBCAn21CEDA
