1、江苏省镇江一中 2018 届高三 4 月 14 日数学模拟卷一、填空题1.已知集合 ， ，则 1Ax102B， ， AB2.命题“ ,使得 成立”的否定为0203.复数 （i 为虚数单位）的虚部是1z4.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 45 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图若某高校 A 专业对视力要求不低于 0.9，则该班学生中最多有人能报考 A 专业5.函数 的单调减区间为22log(3)yx6. 若在区间 内任取实数 ,在区间 内任取实数 ,则直线 与圆1,)a(0,1)b0axby相交的概率为_.22()(xy7.若函数 的部分图象如图所示，
2、则 的值为sin)(0x8.已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切若该球的体积为 ，则该三棱43柱的体积是9.已知平面 ，直线 ， ，给出下列命题：mn 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；/m/,n/,/mn/n 若 ，则 ； 若 ， ，则 .,其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号） 10.设等差数列 的公差为 （ ） ，其前 n 项和为 若 ， ，nad0nS2410a210S则 的值为d11.平行四边形 ABCD 中，已知 AB4，AD3，BAD60，点 E，F 分别满足2 ， ，则 的值为AE ED DF FC ABE12.若抛物线 的焦点到双曲线 C： 的渐近线距离等于
3、，24xy21yxab(0)b， 13则双曲线 C 的离心率为13.在平面直角坐标系 中，已知直线 与圆 交于xOy:3450lxy2:10CxyA，B 两点， 为 轴上一动点，则 ABP 周长的最小值为P14.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，sinsin0ABA且 ，则实数 的取值范围是2abc二、解答题15.在ABC 中，角 ，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 ，1a， 23b6A（1）求 的值；sin（2）求 c 的值16.如图，在三棱锥 中， ，点 D 在 AB 上，点 E 为 AC 的中点，且PABCBC 平面 PDE/（1）求证： 平面 PBC；
4、/DE（2）若平面 PCD平面 ABC，求证：平面 PAB平面 PCD17如图，设椭圆 C： (ab0)，离心率 e ，F 为椭圆右焦点若椭圆上21xy12有一点 P 在 轴的上方，且 PFx 轴，线段 PF 32（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆右焦点 F 的直线（不经过 P 点）与椭圆交于 A，B 两点，当 的平分线为APB时，求直线 AB 的方程PF18如图，圆柱体木材的横截面半径为 1 dm，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱 ，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的1ABCD上、下底面，下底面圆的圆心 在梯形 内部， ， 60，OABCDDAB，设 1（1
5、）求梯形 的面积；ABCD（2）当 取何值时，四棱柱 的体积最大？并求出最大值sin1ABCD（注：木材的长度足够长）19已知函数 ， 32()()fxaxR（1）求函数 的单调增区间；（2）若函数 有三个互不相同的零点 0， ， ，其中 ()fx1t212t（）若 ，求 a 的值；213t（）若对任意的 ，都有 成立，求 a 的取值范围12xt， ()16fx20已知数列 的前 项和为 ，把满足条件 的所有数列 构成的集nanS*1()naSNna合记为 M（1）若数列 通项公式为 ，求证： ；n12nanM（2）若数列 是等差数列，且 ，求 的取值范围；a512a（3）设 ，数列 的各项均
6、为正数，且 问数列 中是否存4nb*()Nnannb在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列 的通项；若不存在，说明理由na【参考答案】1. ; 2. ,有 成立; 3.1; 4.18; 5.(-1,1); 6. ;00x210x5167.4; 8. ; 9.; 10.-10; 11.-6; 12.3; 13.14; 1436 4314.解析：由条件， 因为 ，所以 ，sinAB2abcsin2sinABC所以 ，所以 sin12ABC ()isnisiiabcC而 ，所以 222()3co 1abcabc2(1cos)3由 ，得 ，即 ，所以 1os 0C 4in415解：（1）在AB
7、C 中，因为 ， ， ，a23b6BA由正弦定理得， ， 231sini6A于是 ，即 ， 23icosin3sincoA又 ，所以 2sins1A7i14A（2）由（1）知， ，32co则 ， ， sinis14213cssin4A在ABC 中，因为 ， ，所以 ABC6526C则 5sin26C55sinco2sin26 312414由正弦定理得， si17naCcA16证明：（1）因为 BC 平面 PDE， BC 平面 ABC，平面 PDE 平面 ABC=DE ，/所以 BCDE. 因为 DE 平面 PBC，BC 平面 PBC，所以 平面 PBC /DE（2）由（1）知，BCDE在ABC
8、 中，因为点 E 为 AC 的中点，所以 D 是 AB 的中点 因为 ，所以 ， ACBAC因为平面 PCD平面 ABC，平面 PCD 平面 ABC CD ， 平面 ABC，B则 AB 平面 PCD 因为 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PCD 17解：（1）设右焦点 ，由 轴，设 代入椭圆方程，即得 ，)0,(cFxP),(tc),(2abcP所以 ， 23abPF联立 ， 221ecab解得 ，1,3,ca所以椭圆方程为 ，右准线 的方程为 . 42yxl42cax（2）设 ，则直线 的方程为 ，即 ，)1(,0AAB)1(0y10xyk联立 消去 ，13420yx， y即得 (
9、) ， 01(248)( 020200 xx又 为方程()的一根，所以另一根为 ，0x 020438xyB又点 在椭圆上，所以满足 ，代入另一根即得 ，)1(,0xyA12x 5280xB所以 .由（1）知，点523,8500xyB231，P则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， PA01kB)1(520xyk当 的平分线为 时， ， 的斜率 ， 满足 ，BPFA122k所以 ，即 ，所以 ，0)1(25)1(23001 xyxk 0xy故直线 AB 的方程为 x2y 10 18解：（1）由条件可得， ，cosAD所以梯形的高 sin63h又 ， ， 2cos(0)AB2cos(10)C所以梯形
10、的面积D1cs(6)cs()3cs2S o0o0o（ ） (sin6)3cs in22dm（2）设四棱柱 的体积为 ，因为 ，1ABCDV12cosAD所以 23sin2cos6in(1si)VS设 ，因为 ，所以 ，sint030t，所以 ， 23()61)()ttt2t，由 ， 38()Vtttt 令 ，得 ，()0tt与 的变化情况列表如下： t 30， 332，()V 0 t 极大值 由上表知， 在 时取得极大值，即为最大值，且最大值 ()3 34()V答：当 时，四棱柱 的体积取最大值为 sin31ABCD43dm19解：（1） ，其判别式 2()6()fxa2(6)1()2(+1)
11、a当 时， ， 恒成立，a 0 f所以 的单调增区间为 ()fx(,)当 时，由 ，得 或 ，1a)0fx3(1)a3(1)ax所以 的单调增区间为 ， ()fx()(3， ()3，综上，当 时， 的单调增区间为 ；1a )fx(,)当 时， 的单调增区间为 ， (f 13a， (1)3a，（2） （）方程 ，即为 ，亦即 ，)0fx32()0xx2()0xa由题意 ， 是方程 的两个实根，1t22()0a故 ， ，且判别式 ，得 3t 21(3)4)a14由 ，得 ， ， 21t429故 ，所以 76a516a（）因为对任意的 ， 恒成立2xt， ()fxa因为 ， ，所以 ，123t1t1
12、23t所以 或 020t当 时，对 ， ，12t1x， ()0fx所以 ，所以 6a6又 ，所以 120t2当 时， ，2t()3()fxa由（1）知，存在 的极大值点 ，且 ()fx1(0)xt， 13(1)ax（方法1）由题得 ，321116fa将 代入化简得 ，解得 13()ax()()72 1a又 ，所以 因此 120t21a综上，a的取值范围是 1()(4， ，（方法2） ，由题得 ，2136x32111)()6fxax将 ，代入化简得 ，(8得 ，故 ，1x 10x因为 在 上递减，故 236a)， (21a，综上，a 的取值范围是 (2(4， ，20解:（1）因为 ，所以 ， 1
13、na1()2()nnnS所以 ，11 31()()()02224nnnnaS所以 ，即 naM（2）设 的公差为 ，nd因为 ，所以 （*） ，a112()()(1)n naaa特别的当 时， ，即 ， 1n2d由（*）得 ，11()()2nadna整理得 ，23()0n因为上述不等式对一切 恒成立，所以必有 ，解得 ， *N102d1d又 ，所以 ， 1d1d于是 ，即 ，11()0an1()0an所以 ，即 ，所以 ，515111(28) 9aada因此 的取值范围是 )9,（3）由 得 ，所以 ，即 ，1naS1nnS12nS12n所以 ，从而有 ， 3212n 1a=又 ，所以 ，即 ，naS21naS21)3(nna又 ， ，212所以有 ，所以 ， 2*1()nnaN14nna假设数列 （其中 ）中存在无穷多项依次成等差数列，nbn不妨设该等差数列的第 项为 ( 为常数) ，db则存在 ， ，使得 ，*mNn11442mmnaa即 ， 21ndab设 ， *2()3nf,则 ，即 ，2233(1)(1)1) 0nnnff9(1)(3)12fnf于是当 时， ，3n2从而有：当 时 ，即 ，21dab21dab于是当 时，关于 的不等式 有无穷多个解，显然不成立，3nn0n因此数列 中是不存在无穷多项依次成等差数列 nb
