1、高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1设 0 0，故选 C.1cos1sin2(文)(2010瑞安中学) 已知双曲线 C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆 1 的长x225y216轴端点、焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为( )A4 x3y0 B3 x4y0C4 x5y0 D5 x4y0答案 A解析 由题意知双曲线 C 的焦点(5,0) ，顶点(3，0)， a3 ， c5 ， b4 ，c2 a2渐近线方程为 y x，即 4x3y0.43(理)(2010广东中山)若椭圆 1 过抛物线 y28 x 的焦点，且与双曲线x2a2y2b2x2 y21，有相同的焦点，则该椭圆的方程是 ( )A. 1 B.
2、 y21x24y22x23C. 1 D x2 1x22y24y23答案 A解析 抛物线 y28 x 的焦点坐标为(2,0) ，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0) ，又椭圆与双曲线 x2 y21 有相同的焦点， a2， c ，2c2 a2 b2， b22，椭圆的方程为 1.x24y223分别过椭圆 1( ab0)的左、右焦点 F1、 F2 作两条互相垂直的直线x2a2y2b2l1、 l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A(0,1) B.(0， 22)C. D.( 22， 1) (0， 22答案 B解析 依题意，结合图形可知以 F1F2 为直径的圆在椭圆的内部， c
3、2c2，即 e2 0，0b0)的离心率为 ，则双曲线x2a2y2b232 1 的渐近线方程为( )x2a2y2b2A y x B y2 x12C y4 x D y x14答案 A解析 由椭圆的离心率 e ，ca32 ， ，故双曲线的渐近线方程为 y x，选 A.c2a2a2 b2a234ba12126(文)(2010南昌市模考) 已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于 ( )A. B. 5131213C. D.3545答案 A解析 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为 a、 b、 c，则由条件知，b6 ， a c9 或 a c9 ，
4、又 b2 a2 c2( a c)(a c)36，故Error! ， Error!， e .ca513(理)(2010北京崇文区)已知点 F， A 分别是椭圆 1( ab0)的左焦点、右顶点，x2a2y2b2B(0， b)满足 0，则椭圆的离心率等于 ( )FB AB A. B.3 125 12C. D.3 125 12答案 B解析 ( c， b)， ( a， b)， 0 ，FB AB FB AB ac b20 ， b2 a2 c2，a2 ac c20， e2 e10，e0， e .5 127(2010浙江金华)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点， F1、 F2 分别是它
5、们的左、右焦点设椭圆离心率为 e1，双曲线离心率为 e2，若 0，则 PF1 PF2 1e12( )1e22A2 B. 2C. D33答案 A解析 设椭圆的长半轴长为 a，双曲线的实半轴长为 a，焦距为 2c，则由条件知|PF1| PF2|2 a，| PF1| PF2|2 a，将两式两边平方相加得：|PF1|2| PF2|22( a2 a2)，又| PF1|2| PF2|24 c2， a2 a22 c2， 2.1e121e221(ca)21(ca)2 a2 a2c28(2010重庆南开中学)已知椭圆 1 的左右焦点分别为 F1、 F2，过 F2 且倾角x24y22为 45的直线 l 交椭圆于
6、A、 B 两点，以下结论中： ABF1 的周长为 8；原点到 l 的距离为 1； | AB| ；正确结论的个数为( )83A3 B2 C1 D0答案 A解析 a2， ABF1 的周长为|AB| AF1| BF1| AF1| AF2| BF1| BF2|4 a8，故 正确；F2( ，0)， l： y x ，原点到 l 的距离 d 1 ，故正确；2 2| 0 2|2将 y x 代入 1 中得 3x24 x0， x10， x2 ，2x24y22 2423|AB| ，故正确1 12|423 0| 839(文)(2010北京西城区) 已知圆 (x2) 2 y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N
7、(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 B解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故| PA| PN|，又 AM 是圆的半径，|PM| PN| PM| PA| AM|6| MN|，由椭圆定义知， P 的轨迹是椭圆(理) F1、 F2 是椭圆 1( ab0)的两焦点， P 是椭圆上任一点，过一焦点引x2a2y2b2F1PF2 的外角平分线的垂线，则垂足 Q 的轨迹为( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案 A解析 PQ 平分 F1PA，且 PQ AF1，Q 为 AF1 的中点，且| PF1| PA|，|OQ| |AF2
8、| (|PA| PF2|) a，1212Q 点轨迹是以 O 为圆心， a 为半径的圆10 (文)(2010辽宁沈阳)过椭圆 C： 1( ab0)的左顶点 A 的斜率为 k 的直x2a2y2b2线交椭圆 C 于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若 b0)的一个顶点作圆 x2 y2 b2 的两条切线，切x2a2y2b2点分别为 A， B，若 AOB90( O 为坐标原点) ，则椭圆 C 的离心率为_答案 22解析 因为 AOB90，所以 AOF45，所以 ，所以ba22e2 1 ，即 e .c2a2a2 b2a2b2a21222(理)(2010揭阳市模拟)若椭圆 1( a
9、b0)与曲线 x2 y2 a2 b2 无公共点，x2a2y2b2则椭圆的离心率 e 的取值范围是 _答案 (0， 22)解析 易知以半焦距 c 为半径的圆在椭圆内部，故 bc， b2c2，即 a22c2， b0)上存在点 P(x， y)，使x2a2y2b2得 0，则椭圆离心率的范围是_OP PA 答案 ，00， b0)的面积为 ab， M 包含x2a2y2b2于平面区域 ： Error!内，向 内随机投一点 Q，点 Q 落在椭圆 M 内的概率为 ，则椭4圆 M 的方程为_答案 1x24y23解析 平面区域 ：Error!是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得 ，ab834即 ab 2
10、 .3因为 0b0)的长轴长为 4.x2a2y2b2(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y x2 相切，求椭圆 C 的焦点坐标；(2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过焦点的直线 l 与椭圆相交于 M， N 两点，记直线 PM， PN 的斜率分别为 kPM、 kPN，当 kPMkPN 时，求椭圆的方程14解析 (1)圆 x2 y2 b2 与直线 y x2 相切，b ，得 b .21 1 2又 2a4， a2 ， a24， b22，c2 a2 b22，两个焦点坐标为( ，0)，( ，0)2 2(2)由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M， N 关于坐标原点对称，不妨设： M
11、(x0， y0)， N( x0， y0)， P(x， y)，由于 M， N， P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有 1， 1.x02a2y02b2x2a2y2b2两式相减得： .y2 y02x2 x02b2a2由题意可知直线 PM、 PN 的斜率存在，则kPM ， kPN ，y y0x x0y y0x x0kPMkPN ，y y0x x0y y0x x0y2 y02x2 x02b2a2则 ，由 a2 得 b1，b2a214故所求椭圆的方程为 y21.x24(理)(2010北京东城区)已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是 2 .3(1)求椭圆 C 的方程；
12、(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点当 | |最小时，点 P 恰MP 好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围解析 (1) 设椭圆 C 的方程为 1( ab0)x2a2y2b2由题意Error! ，解得 a216， b212.所以椭圆 C 的方程为 1.x216y212(2)设 P(x， y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 1，故4 x4.x216y212因为 ( x m， y)，MP 所以| |2( x m)2 y2MP ( x m)212 .(1 x216) x22 mx m212 (x4 m)2123 m2.1414因为当| |最小时，点 P 恰好落在
13、椭圆的右顶点，MP 即当 x4 时， | |2 取得最小值而 x4,4，MP 故有 4m4，解得 m1.又点 M 在椭圆的长轴上，即4 m4.故实数 m 的取值范围是 m1,416 (2010辽宁文， 20)设 F1， F2 分别为椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点，x2a2y2b2过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，直线 l 的倾斜角为 60， F1 到直线 l 的距离为 2.3(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果 2 ，求椭圆 C 的方程AF2 F2B 解析 (1) 设焦距为 2c，则 F1( c,0)， F2(c,0)kltan60 3l 的方程为 y (x
14、c)3即： x y c03 3F1 到直线 l 的距离为 2 3 c 2| 3c 3c|32 12 3 3c2椭圆 C 的焦距为 4(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由题可知 y10， y20直线 l 的方程为 y (x2)3由Error! 消去 x 得，(3a2 b2)y24 b2y3 b2(a24)03由韦达定理可得Error! 2 ， y12 y2，代入得AF2 F2B Error!得 21248b43a2 b223a2 b23b2a2 4 16b23a2 b2a2 4又 a2 b24 由解得 a29 b25椭圆 C 的方程为 1.x29y2517 (文)(2010安徽文
15、)椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1， F2 在 x 轴上，离心率 e .12(1)求椭圆 E 的方程；(2)求 F1AF2 的角平分线所在直线的方程解析 (1) 由题意可设椭圆方程为 1( ab0)x2a2y2b2e ，即 ， a2 c12ca12又 b2 a2 c23 c2椭圆方程为 1. 又椭圆过点 A(2,3)x24c2y23c2 1，解得 c24，椭圆方程为 1.44c293c2x216y212(2)法一：由 (1)知 F1(2,0)， F2(2,0)，直线 AF1 的方程 y (x2)，即 3x4 y6 0，34直线 AF2 的方程为 x2.设 P(x， y
16、)为角平分线上任意一点，则点 P 到两直线的距离相等即 | x2|3x 4y 6|53x4 y6 5( x2)或 3x4 y6 5(2 x)即 x2 y80 或 2x y10.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求 F1AF2 的平分线所在直线方程为2x y 10.法二：设 AM 平分 F1AF2，则直线 AF1 与直线 AF2 关于直线 AM 对称由题意知直线 AM 的斜率存在且不为 0，设为 k.则直线 AM 方程 y3 k(x 2)由(1)知 F1(2,0)， F2(2,0)，直线 AF1 方程为 y (x2)，即 3x4 y6 034设点 F2(2,0)关于直线 AM 的对称点 F2(
17、x0， y0)，则Error!解之得 F2( ， ) 6k 2k2 21 k261 k2直线 AF1 与直线 AF2 关于直线 AM 对称，点 F2在直线 AF1 上即 3 4 6 0. 6k 2k2 21 k261 k2解得 k 或 k2.12由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，k (舍去)12故 F1AF2 的角平分线所在直线方程为 2x y10.法三： A(2,3)， F1(2,0)， F2(2,0)， (4 ， 3)， (0 ，3) ，AF1 AF2 (4，3) (0，3)AF1 |AF2 |AF2 |AF2 | 15 13 (1,2)，45kl2 ， l： y32( x2)，即
18、2x y10.点评 因为 l 为 F1AF2 的平分线， 与 的单位向量的和与 l 共线从而可由AF1 AF2 、 的单位向量求得直线 l 的一个方向向量，进而求出其斜率AF1 AF2 (理)(2010湖北黄冈)已知点 A(1,1)是椭圆 1( ab0)上一点， F1， F2 是椭圆x2a2y2b2的两焦点，且满足| AF1| AF2|4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点 B 是椭圆上任意一点，如果| AB|最大时，求证 A、 B 两点关于原点 O 不对称；(3)设点 C、 D 是椭圆上两点，直线 AC、 AD 的倾斜角互补，试判断直线 CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定
19、值，说明理由解析 (1) 由椭圆定义知：2 a4，a2， 1x24y2b2把(1,1) 代入得 1141b2b2 ，则椭圆方程为 143x24y243c2 a2 b24 ， c4383263故两焦点坐标为 ， .(263， 0) ( 263， 0)(2)用反证法：假设 A、 B 两点关于原点 O 对称，则 B 点坐标为( 1 ，1)，此时|AB|2 ，取椭圆上一点 M(2,0)，则| AM|2 10|AM|AB|.从而此时| AB|不是最大，这与| AB|最大矛盾，所以命题成立(3)设 AC 方程为： y k(x1)1联立Error! 消去 y 得(13 k2)x26 k(k1) x3 k26 k10点 A(1,1)在椭圆上xC3k2 6k 13k2 1直线 AC、 AD 倾斜角互补AD 的方程为 y k(x1)1同理 xD3k2 6k 13k2 1又 yC k(xC1)1， yD k(xD1)1yC yD k(xC xD)2 k所以 kCD yC yDxC xD13即直线 CD 的斜率为定值 .13
