1、说明：本系列第一部分（1-20）课件于 2006 年获教育部中央教科所全国课件大赛一等奖，2007 年由教育部主管清华大学主办中国多媒体教学学报电子版连载 6 期发表现已完善至(21-46)共 135 个案例. 目 录一、几个统一定义1椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题3椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）圆锥曲线动态结构135例杭州学军中学 闻 杰 4椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦
2、相关的问题8椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值 1）9椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值 2）10椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3）11椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 1（中点共线）12椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 2（三点共线）13椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 3（对焦点直张角）14椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交
3、弦的蝴蝶特征19椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 1（等比中项）22椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 2（倒数和 2倍）23椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 3（外项积定值）24椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 4（平行线族）25椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 5（切点弦过定点）六、等角问题26椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点
4、相关的问题31圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38圆锥曲面光线反射路径的性质39椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41椭圆、双曲线的 90度的中心角性质42圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线
5、交点轨迹对偶44椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积1椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一问题探究 1动点 P在圆 A： 上运动，定点 ，则2()4xy(,0)B（1）线段 的垂直平分线与直线 的交点 的轨迹是什么？QBQAP（2）若 ，直线 过点 ，与直线 的交于点 ，则点 P轨迹又是什么？MtlM2椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二实验成果 动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆备 用课件定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是
6、双曲线备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线备用 课件问题探究 2已知定点 ，定直线 ： ，动点 在直线 上，过点 且与 垂直的直线 上有一动点 P，(1,0)A1l3xN1lN1l2l满足 ，请讨论点 P的轨迹类型.PN3椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）实验成果 动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于 1 的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于 1 的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于 1 的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件问题
7、探究 3已知两定点 ，动点 满足条件 ，另一动点 Q 满足(1,0),ABP8APB，求动点 Q 的轨迹方程 .,)0QBP4椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质实验成果 动态课件椭圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线备用课件双曲线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线备用课件抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件问题探究 4已知两定点 ，动点 满足条件 ，动点 Q 满足 ，(2,0)(,ABP2APB()0PAB，求动点 Q 的轨迹方程.()PQ5椭圆、双曲线
8、、抛物线的焦半径圆性质实验成果 动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆备用 课件焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆备用课件焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）备用课件问题探究 51已知动点 P在椭圆 上， F为椭圆之焦点， ，探究 是否为定值2143xy0PMF2OMPF2已知点 P在双曲线 上， F为双曲线之焦点， ，探究 是否为定值26椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质实验成果 动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆相切（此圆与双曲线外切）备用课件
9、抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此圆无穷大与曲线外切）备用课件问题探究 6过抛物线 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P点，yx42 .0BA（1）求点 P的轨迹方程；（2）已知点 F（0 ，1 ） ，是否存在实数 使得 ？若存在，求出 的值，若不存)(2FBA在，请说明理由.7椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质实验成果 动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离备用课件双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交备用课件抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切备用课件问题探究 71已知动点 P在椭圆 上， 为椭圆之左右焦点，点 为 的内心，试求点 的轨迹
10、2143xy2,FG12FPG方程.2已知动点 P在双曲线 上， 为双曲线之左右焦点，圆 是 的内切圆，探究圆2xy12, 12是否过定点，并证明之.G8椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值 1）实验成果 动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为 2b)备用课件抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的抛物线备用课件问题探究 8已知椭圆 ， 为椭圆之左焦点，过点 的直线交椭圆于 A， B两点，是否存在实常数 ，使2143xyF1F恒成立.并由此求 AB的最小值.（借
11、用柯西不等式）AB9椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值 2）实验成果 动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112|AFBep备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB同同同 112|FBepAB同同同 11|备用 课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 12|AFBep备用课件问题探究 9已知椭圆 ， 为椭圆之左焦点，过点 的直线 分别交椭圆于 A， B两点和 C， D两点，且2143xyF1F12,l，是否存在实常数 ，使 恒成立.并由此求四边形 ABCD面积的最小值和最12lABCD大值.10椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3）实验成果
12、 动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 epCDAB2|1|备用 课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 epCDAB2|1| 备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 epCDAB2|1|备用课件问题探究 10已知椭圆 ， 为椭圆之左焦点，过点 的直线交椭圆于 A， B两点， 中垂线交 轴于点 D，2143xyF1Fx是否存在实常数 ，使 恒成立？1ABD11椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 1（中点共线）实验成果 动态课件设椭圆焦点弦 AB 的中垂线交长轴于点 D，则DF与AB之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦 AB 的中垂线交焦点所在直线于点 D，则DF与
13、AB之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦 AB 的中垂线与对称轴交于点 D，则DF与AB之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件问题探究 11已知椭圆 ， 为椭圆之左焦点，过点 的直线 交椭圆于 A， B两点，直线 ： 交 轴2143xyF1F1l 2l4x于点 G，点 在直线 上的射影分别是 ，设直线 的交点为 D，是否存在实常数 ，使,AB2l,NM,N恒成立.1D12椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 2（三点共线）实验成果 动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影
14、与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段备用课件问题探究 12已知椭圆 ， 为椭圆之左焦点，过点 的直线 交椭圆于 A， B两点， 分别为椭圆的左、2143xyF1F1l ,CD右顶点，动点 满足 试探究点 的轨迹.P,ADPCBP13椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 3（对焦点直张角）实验成果 动态课件椭圆焦点弦端点 A、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点 N、M，则 N、C、B 三点共线，M、 C、A三点共线备用 课件双曲线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D
15、连线与相应准线的交点N、M，则 N、C、B 三点共线，M、C、A 三点共线备用课件抛物线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点N、M，则 N、C、B 三点共线，M、C、A 三点共线（抛物线的 D点在无穷远处）.备用 课件问题探究 13已知双曲线 ， 为双曲线之左焦点，过点 的直线 交双曲线于 A， B两点， 分别为双213xyF1F1l ,CD曲线的左、右顶点，动点 满足 动点 满足 试探究P11,ADPCBQ22,Q是否为定值.1PFQ14椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系实验成果 动态课件椭圆焦点弦端点 A、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点 N、M，则 1N
16、F备用课件双曲线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点N、M，则 1F备用课件抛物线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点N、M，则 （抛物线的FD 点在无穷远处）备用课件问题探究 14已知椭圆 ， 为椭圆之左焦点，过点 的直线 分别交椭圆于 A， B两点和 C， D两点，直线2143xyF1F12,l： ，直线 AD交直线 于点 P，试判断点 P、 C、 B是否三点共线，并证明之.2l2l15椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）实验成果 动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）
17、，因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 备用课件问题探究 15已知椭圆 ， 为椭圆之左焦点，过点 的直线 分别交椭圆于 A， B两点和 C， D两点，直线2143xyF1F12,l： ，直线 AD交直线 于点 P，试证明 .3l3l11APD实验成果 动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分 2AFC备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分 1AFC备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线
18、平分 AFD备用课件16椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究 16已知椭圆 ，过点 的直线 分别交椭圆于 A， B两点和 C， D两点，设直线 AD与直线 CB2184xy(2,0)N12,l交于点 P，试证明点 P的轨迹为直线 .4x实验成果 动态课件过椭圆长轴上任意一点 N（ ）的0,t两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 tax2备用课件过双曲线实轴上任意一点 N（ ）0,t的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线 tax2备用课件过抛物线对称轴上任意一定点 N（）的两条弦端点的直线的交点的0,t轨迹是一定直线 tx备用课件17椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称
19、轴所分比之和为定值问题探究 17已知椭圆 ，点 为椭圆之左焦点，过点 的直线 分别交椭圆于 A， B两点，设直线 AB与 轴2184xyF1F1l y于点 ， 试求 的值.M11,AB实验成果 动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值.备用课件18椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究 18已知方向向量为 的直线 过点 和椭圆 的焦点，且椭圆(1,3)el(0,23)A2:1xyCab(0)的中心 和椭圆的右准线上的点 满足
20、： .求椭圆 的方程；设 为椭圆COB,OeBAOCE上任一点，过焦点 的弦分别为 ,设 ，求 的值.12,FEST1,FS2EFT12实验成果 动态课件过椭圆上任点 A 作两焦点的焦点弦AC，AB，其共线向量比之和为定值即 备用课件1221FmBe定 值过双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦AC，AB，其共线向量比之和为定值即 备用课件1221FmBe定 值（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即 PA=m 1AFPB=m2BF 备用课件m1+m2=019椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一问题探究 19已知椭圆 ，过点 的直线
21、 分别交椭圆于 A， B两点和 C， D两点，设直线 过点 T且2184xyT(,0)12,l 3l，交 于点 N， M，试证明 TN= TM.3l轴 12,l实验成果 动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点T（ ）的两条弦端点的直线截过0,tT 点的垂线段相等 NTTM备用 课件过双曲线实轴所在直线上任意一点T（ ）的两条弦端点的直线截过0,tT 点的垂线段相等 NTTM备用课件过抛物线对称轴上任意一点T（ ）的两条弦端点的直线截过0,tT 点的垂线段相等 NTTM备用课件20椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二问题探究 20已知椭圆 ，过点 的直线 分别交椭圆于 两点和2184xy(0,)
22、T12,l12(,)(,)AxyB两点，设直线 过点 T且 ，交 于点 N， M，试证明 .3(,)(,)CD3l3lx轴 12,l 1324yy实验成果 动态课件过椭圆短轴上任意一点 M 的两条弦端点作两条直线,一定截过 M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ备用 课件过双曲线虚轴上任意一点 N（ ）0,t的两条弦端点作两条直线,一定截过N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段 PM=MQ备用课件过抛物线对称轴上任意一点M（ ）的两条弦端点作两条直线 ,0,t一定截过 M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段 PM=MQ备用课件21椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 1（等比中项）问题探究 2
23、1已知椭圆 ，过原点 ，点 的直线 交椭圆于点 N，过点 T的中点弦为 AB，过 A， B2184xy(0,)O(2,1)Tl分别作切线 且交于点 P，求证： .12,l |PN实验成果 动态课件椭圆中心 O与点 的连线交椭圆0(,)Pxy于 N，交切点弦于点 Q，则.且 Q点平分切点弦2|AB（无论点 P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点 P与直线沿直线 PO作反向运动 .01AxBy备用课件双曲线中心 O与点 的连线交双0(,)xy曲线于 N，交切点弦于点 Q，则.且 Q点平分切点弦2|QPAB（无论点 P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点 P与直线沿直线 PO作反向运动01A
24、xBy(直线保持平行).备用课件设过点 P与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N，交切点弦于点 Q，则.且 Q点平分切点2|ON弦 AB（无论点 P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点 P与直线作反向运动(直线保持平00)ypx行).备用课件22椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 2（倒数和 2倍）问题探究 22过抛物线 外一点 作抛物线的两条切线 PA， PB，切点分别为 A， B，另一直线 过点 P与抛物线2yx(,0)P l交于两点 C、 D，与直线 AB交于点 Q，试探求 的值是否为定值. |PCD实验成果 动态课件椭圆 外一点 P的任21AxBy一直线与
25、椭圆的两个交点为 C、 D，与椭圆切点弦 的0y交点为 Q，则 成12|PQ立.反之亦然.备用课件双曲线 外一点 P的21AxBy任一直线与双曲线的两个交点为C、 D，与双曲线切点弦的交点为 Q，则0xy成立.反之亦然 .12|P备用课件过抛物线外一点 P的任一直线与抛物线的两个交点为 C、 D，与抛物线切点弦的交点为 Q，则成立.反之亦然 .12|备用课件23椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 3（外项积定值）问题探究 23已知椭圆 ，过点 T(1,0)的直线 ， 分别交椭圆于两点 C、 D，点 Q在直线 上，且满足2184xy1l2 l，试探求点 Q的轨迹. CPQD实验成果 动态课件过椭圆
26、 外一点 P的任一21AxBy直线与椭圆的两个交点为 C、 D，点 Q是此直线上另一点，且满足，则点 Q的轨迹即CPQD为切点弦 ，反之亦然 .01AxBy备用课件过双曲线 外一点 P的任2一直线与双曲线的两个交点为 C、 D，点Q是此直线上另一点，且满足，则点 Q的轨迹即CPD为切点弦 ，反之亦然 .01AxBy备用课件过抛物线外一点 P的任一直线与抛物线的两个交点为 C、 D，点 Q是此直线上另一点，且满足 ，则点 Q的轨迹即为切点弦，反之亦然.备用课件24椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 4（平行线族）问题探究 24过抛物线 外一点 作抛物线的两条切线 PA， PB，切点分别为 A， B
27、，另一直线 ： 与抛物2yx(,0)P l2x线交于点 N，与直线 AB交于点 Q，求证：（1） N点处的切线与直线 AB平行.（2） . Q实验成果 动态课件椭圆 中心与椭圆21AxBy外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦.0xy备用课件双曲线 中心与双21AxBy曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦 .0xy备用课件过抛物线中心（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦.备用课件25椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 5（弦过定点）问题探究 25过抛物线 外一点 作抛物线的中点弦 AB（ Q为 AB中点） ，两条切线
28、 PA， PB交于点 P，过点 P作2yx(1,)Q直线 ，且 ，点 是直线 上的动点，过 G作抛物线的两条切线 GC、 GD，求证：直线 CD过定点. lABGl实验成果 动态课件点 T是与椭圆 外一点 P21AxBy的切点弦对应的直线上的动点，则与点 T对应的切点弦必过定点 Q.备用课件点 T是与双曲线 外一点 P21AxBy的切点弦对应的直线上的动点，则与点 T对应的切点弦必过定点 Q.备用课件点 T是与抛物线 外一点 P的切2ypx点弦对应的直线上的动点，则与点 T对应的切点弦必过定点 Q.（ PQ平行对称轴）备用课件26椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一问题探究 26已知椭圆 ，点 为椭圆之左焦点，过点 的直线 分别交椭圆于 A， B两点，问是否在 x轴上2184xyF1F1l存在一点 P，使得斜率 .0PABk实验成果 动态课件椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点连线所成角被长轴平分备用课件双曲线准线与实轴的交点与焦半径端点连线所成角被实轴平分备用课件抛物线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分备用课件
